Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen

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1 Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen Gabriele Link Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 1

2 Erinnerung: Verknüpfung Gegeben sei eine Menge M. Eine (innere) Verknüpfung auf M ist eine Abbildung : M M M, (x, y) x y. Eine Verknüpfung heißt assoziativ, wenn für alle a, b, c M gilt (a b) c = a (b c), und kommutativ, wenn für alle a, b M gilt a b = b a. Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 2

3 Neutrales und inverses Element Ist eine Verknüpfung auf M und gibt es ein Element e M mit a M : e a = a = a e, so heißt e neutrales Element bezüglich. Ist eine Verknüpfung auf M mit neutralem Element e und gibt es zu einem Element a M ein a 1 M mit a 1 a = e = a a 1, so heißt a 1 inverses Element von a. Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 3

4 Zwei Bemerkungen Definition einer Gruppe Es gibt höchstens ein neutrales Element für eine Verknüpfung auf M. Falls assoziativ ist, gibt es zu einem a M höchstens ein Inverses a 1. Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 4

5 Gruppe: die Definition Eine Gruppe ist ein Paar (G, ) bestehend aus einer (nichtleeren) Menge G und einer Verknüpfung auf G mit: (1) a, b, c G : (a b) c = a (b c) (assoziativ) (2) e G a G : e a = a = a e (3) a G a 1 G : a 1 a = e = a a 1 (neutrales Element) (inverses Element) Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 5

6 Abelsche Gruppe Definition einer Gruppe Gilt zusätzlich a, b G : a b = b a, so heißt die Gruppe G kommutativ oder auch abelsch. Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 6

7 Beispiele 1 (Z, +), (Q, +), (R, +), (R\{0}, ) sind abelsche Gruppen. (Z, ) und (Q, ) sind keine Gruppen. 2 (Z/nZ, +) ist eine abelsche Gruppe. [0] ist das neutrale Element und [n r] ist das zu [r] inverse Element (0 r < n). 3 Die Menge Bij(M) Abb(M, M) der bijektiven Selbstabbildungen einer Menge M ist bezüglich der Komposition eine Gruppe; die Identität id M ist das neutrale Element. Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 7

8 Symmetrische Gruppe, Permutationen Ist M = {1, 2,..., n}, so heißt die Menge der bijektiven Selbstabbildungen Bij(M, M) von M die symmetrische Gruppe von n Elementen und wird bezeichnet mit S n statt Bij(M). Ihre Elemente nennt man Permutationen. Es gibt n = n! Permutationen der Menge {1, 2,..., n}; die Gruppe S n hat also n! Elemente. Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 8

9 Produkt, erzeugende Menge, zyklische Gruppe Es sei (G. ) eine Gruppe. Für endlich viele Elemente a 1, a 2,... a n G schreibt man das Produkt dieser Elemente abkürzend in der Form n a i := a 1 a 2... a n. i=1 Man sagt, eine Teilmenge M G erzeugt die Gruppe G (und schreibt G = M ), falls jedes Element von G als Produkt von (endlich vielen) Elementen in M M 1 geschrieben werden kann. Dabei ist M 1 := {a 1 a M}. Eine Gruppe G heißt zyklisch, falls a G existiert mit G = {a}. Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 9

10 Strukturerhaltende Abbildungen zwischen Gruppen Seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen und Φ : G H eine Abbildung. Φ heißt (Gruppen-)Homomorphismus, wenn gilt x, y G : Φ(x y) = Φ(x) Φ(y). Stimmen die beiden Gruppen (G, ) und (H, ) überein (ist Φ also eine Selbstabbildung), so heißt Φ Endomorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus, einen bijektiven Endomorphismus nennt man Automorphismus. Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 10

11 Beispiele Φ 1 : Z Q, x x 2 ist kein Homomorphismus. Φ 2 : Z Q, x 3x ist ein injektiver Homomorphismus der Gruppe (Z, +) in die Gruppe (Q, +), aber kein Isomorphismus. Φ 3 : Z Z, x 3x ist ein Endomorphismus der Gruppe (Z, +), aber kein Automorphismus. Die Abbildung Φ 4 : R R, x 3x ist ein Endomorphismus der Gruppe (R, +), der sogar ein Automorphismus ist. Die Exponentialabbildung exp: R R >0, x e x ist ein Isomorphismus der additiven Gruppe der reellen Zahlen (R, +) in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen (R >0, ). Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 11

12 Sei (G, ) eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Dann heißt H Untergruppe von G, falls H bezüglich der von G induzierten Verknüpfung ebenfalls eine Gruppe ist. Satz: -Kriterium Sei (G, ) eine Gruppe. Eine Teilmenge H G ist genau dann Untergruppe von G, wenn gilt (1) e H (2) h H : h 1 H (3) g, h H : g h H Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 12

13 Beispiele 1 (Z, +) ist eine Untergruppe von (Q, +). 2 Jede Gruppe (G, ) hat mindestens zwei : ({e}, ) und (G, ). 3 Für n N 0 ist die Menge nz := {nk k Z} eine Untergruppe von (Z, +). 4 Die Teilmenge Aut(G) der Automorphismen einer Gruppe G ist eine Untergruppe von Bij(G). Gabriele Link Vorlesung 6: Gruppen und Homomorphismen 13