8. Algebraische Strukturen - Themenübersicht

Transkript

1 8. Algebraische Strukturen - Themenübersicht Mengen mit einer Operation Halbgruppen Monoide Gruppen Mengen mit zwei Operationen Körper Ringe Strukturerhaltende Abbildungen Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

2 8.1 Mengen mit einer Operation Halbgruppen Definition 8.1 Eine Menge G mit Verknüpfung : G G G heißt Halbgruppe g.d.w. sich auf G assoziativ verhält: Beispiel Halbgruppe? a, b, c G : (a b) c = a (b c) Z, Nein, da ( 3 4) 5 3 (4 5). Z, + Ja, Addition in Z assoziativ. A +, Ja, Konkatenation ist assoziativ. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

3 8.1 Mengen mit einer Operation Eindeutigkeit von neutralen Elementen Definition (Neutrales Element) Sei G mit eine Halbgruppe. Ein Element e G heißt neutrales Element g.d.w. für alle a G Lemma 8.2 a e = e a = a. Neutrale Elemente in einer Halbgruppe sind eindeutig bestimmt. Proof. Seien e, e neutrale Elemente. Dann gilt: e = e e = e Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

4 8.1 Mengen mit einer Operation Monoid Definition Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element besitzt, heißt Monoid. Beispiel 8.3 Monoid? A +, Nein, ε A +. Z, + Ja, 0 Z. A, Ja, ε A neutrales Element (A = df A + {ε}). A A, (Funktionen f : A A,Komposition) Ja, identische Abbildung id M ist neutrales Element. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

5 8.1 Mengen mit einer Operation Gruppen Definition 8.4 (Inverses Element) Sei G mit ein Monoid und a G. Ein Element a 1 G mit heißt inverses Element zu a. Definition 8.5 (Gruppe) a a 1 = a 1 a = e Ein Monoid, bei dem zu jedem Element a G ein inverses Element a 1 G existiert, heißt Gruppe. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

6 8.1 Mengen mit einer Operation Gruppen: Beispiele Beispiel 8.6 Gruppen? R\{0}, Ja, mit neutralem Element 1 und inversem Element x 1 zu x. R, +, Z, + Ja, mit neutralem Element 0 und inversem Element x zu x. R, Nein, aufgrund fehlender Abgeschlossenheit. A +, Nein, da Elemente in A + keine inversen Elemente besitzen. Z, Nein, da Elemente in Z i.a. keine inversen Elemente besitzen. { 1, 1}, Ja, da alle Eigenschaften erfüllt. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

7 8.1 Mengen mit einer Operation Strukturtafeln + n n Figure : Additions- und Multiplikationstafeln für Z 6 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

8 8.1 Mengen mit einer Operation Rechenregeln in Gruppen Lemma 8.8 Sei G mit eine Gruppe. Dann gilt: 1 a, b, c G.a b = c b a = c, 2 a, b G.(a b) 1 = b 1 a 1 Proof. 1 Wir folgern die Konklusion unter Anwendung der Prämisse: a (Neu.) (Def. Inv.) = a e = a (b b 1 ) (Assoz.) 1 (Vor.) = (a b) b = (c b) b 1 (Assoz.) = c (b b 1 (Def. Inv.) ) = c e (Neu.) = c Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

9 8.1 Mengen mit einer Operation Rechenregeln in Gruppen Lemma 8.8 Sei G mit eine Gruppe. Dann gilt: 1 a, b, c G.a b = c b a = c, 2 a, b G.(a b) 1 = b 1 a 1 Proof. 2 Übungen Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

10 8.1 Mengen mit einer Operation Untergruppen Definition 8.9 Ist G, eine Gruppe und H eine Teilmenge von G, so dass H, auch eine Gruppe ist, so nennen wir H, Untergruppe von G,. Analog für Halbgruppen und Monoide Unterstrukturen müssen insbesondere mit der gleichen Operation definiert sein, so ist z.b. die Gruppe Z, keine Untergruppe der Gruppe R, +, obwohl Z R. Beispiel 8.10 Die Gruppe R, + hat als Untergruppe Z, +. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

11 8.1 Mengen mit einer Operation Neutrale Elemente in Untergruppen Beispiel 8.11 Bei einem Monoid mit Untermonoid müssen die neutralen Elemente nicht die gleichen sein. Gegeben sei das Monoid G, gemäß der folgenden Verknüpfungstabelle: a b a a b b b b G, besitzt als neutrales Element a. Das Untermonoid {b}, hat jedoch neutrales Element b. Satz 8.12 Eine Untergruppe H, von G, besitzt das gleiche neutrale Elemente wie G,. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

12 8.1 Mengen mit einer Operation Symmetrische Gruppe Definition 8.13 S n = {f f ist Bijektion von {1,..., n} auf {1,..., n}} mit der Komposition bildet die symmetrische Gruppe. Die Elemente in S n können als Permutation angesehen werden. S 3 = { ( ( ) ( 1 2 3, ), ( ) ( 1 2 3, ), ( ), ) } Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

13 8.1 Mengen mit einer Operation Symmetrische Gruppe Die Komposition ist von rechts nach links zu lesen, d.h. für f g wendet man zuerst die Permutation g und dann f an. f g = ( ) ( ) = ( ) Zyklenschreibweise: f = (1, 3), g = (1, 2) und f g = (1, 2, 3). Dabei steht (c 1, c 2, c 3..., c k 1, c k ) für c 1 c 2, c 2 c 3,...,c k 1 c k, c k c 1. Kommt ein c i nicht vor so bedeutet dies, dass c i c i. S 3 = {(), (23), (12), (123), (132), (13)} Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

14 8.1 Mengen mit einer Operation Nebenklassen Definition 8.14 Sei H, eine Untergruppe von G, und a G. Dann bezeichne ah = df {a h h H} Ha = df {h a h H} die Links- und Rechtsnebenklassen von a. Beispiel 8.15 Betrachten wir die Untergruppe H = {id, (1, 2)}, von S 3, und das Element a = (23) G. Dann gilt: ah = {(23) id, (23) (12)} = {(23), (132)} Ha = {id (23), (12) (23)} = {(23), (123)} Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

15 8.1 Mengen mit einer Operation Satz von Lagrange Satz 8.16 Sei G, eine endliche Gruppe und H, eine Untergruppe von G. Es gilt H G Proof. Wir zeigen: Die Menge der Rechtsnebenklassen bildet eine Partition mit gleichgroßen Klassen. Im Detail: 1 gh = G g G 2 gh paarweise disjunkt 3 gh = H Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

16 8.1 Mengen mit einer Operation 1 ah = G a G Beweis: Klar, da e H (H ist Untergruppe). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

17 8.1 Mengen mit einer Operation Beweis: 2 a, a G. ah a H ah = a H. Beweis: Seien a, a G mit ah a H. Dann gibt es h, h H mit a h = a h, also a = a h h 1 (2.1) Zeige o.b.d.a. ah a H (Antisymmetrie-Beweisprinzip). Sei g ah. Dann gibt es ein h H mit g = a h. Also folgt: g = a h (1) = a {}}{ a } h h {{ 1 h } a H H Beachte: h h 1 h H, da H eine Untergruppe ist. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

18 8.1 Mengen mit einer Operation Beweis: 3 a, a G. ah = a H. Beweis: Sei f : ah G mit b a a 1 b. Zu zeigen 1 b ah. f (b) a H 2 f ist injektiv Zu 1) Wegen b ah gibt es ein h H mit b = a h ah. Es gilt: f (b) = f (a h) = a a } 1 {{ a } h e = a h a H. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

19 8.1 Mengen mit einer Operation Beweis: Es gelte: f (b 1 ) = f (b 2 ). Zu zeigen: b 1 = b 2. b 1 = a h 1 e b {}}{ 1 {}}{ = a } a 1 {{ a a 1 } a h 1 e = a a 1 a a 1 a h }{{} 1 Vor. = a a 1 f (b 2 ) f (b 1 ) f (b 2 ) {}}{ = a a 1 a a 1 a h 2 e b {}}{ 2 {}}{ = a } a 1 {{ a a 1 } a h 2 e = a h 2 = b 2 b 1 = a h 1 b 2 = a h 2 f (b) = a a 1 b Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

20 8.1 Mengen mit einer Operation Normalteiler Definition 8.17 Sei H, eine Untergruppe von G,. Wenn die Rechts- und Linksnebenklassen für alle a G übereinstimmen (Ha = ah), wird H ein Normalteiler von G genannt (Notation: H G). Beispiel 8.18 Wähle z.b. a = (23) S 3. Dann gilt {id, (123), (132)}, S 3, (23) N = {(23) id, (23) (123), (23) (132)} = {(23), (13), (12)} N (23) = {id (23), (123) (23), (132) (23)} = {(23), (12), (13)} = (23) N Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

21 8.1 Mengen mit einer Operation Normalteiler Definition 8.17 Sei H, eine Untergruppe von G,. Wenn die Rechts- und Linksnebenklassen für alle a G übereinstimmen (Ha = ah), wird H ein Normalteiler von G genannt (Notation: H G). Beispiel 8.18 {id, (123), (132)}, S 3, {id, (123), (132)}, wird auch als A 3 (alternierende Gruppe) bezeichnet. A 3, = Z 3, + 3 (Isomorphie: später formal) id id id id id Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

22 8.1 Mengen mit einer Operation Faktorgruppen Lemma 8.19 Sei G, eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Dann ist G/N, N mit G/N = df {an a G} eine Gruppe, wobei N wie folgt definiert ist: an N bn = (a b)n Wir nennen G/N, N die Faktorgruppe von G bezüglich N. Zu zeigen: 1 Wohldefiniertheit (Representantenunabhängigkeit) 2 G/N hat ein neutrales Element e N. 3 a G. a 1 G. an a 1 N = e N Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

23 8.1 Mengen mit einer Operation Die Faktorgruppe ist eine Gruppe 1 Wohldefiniertheit, d.h. a, a, b, b G. an = a N bn = b N an N bn = a N N b N Beweis: Seien a, a, b, b gegeben mit an = a N bn = b N. Zu zeigen: a N b N = an N bn Zunächst gilt: n, n, n N. mit a = a n, b = b n und n b = b n. Dann gilt: a N N b N = (a b )N = ((a n) (b n ))N = (a (n b) n )N = (a (b n ) n )N = ((a b) n } {{ n } )N n = (a b)n = an N bn Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

24 8.1 Mengen mit einer Operation Die Faktorgruppe ist eine Gruppe 2 G/N hat ein neutrales Element e N. Behauptung: e G N = N = Ne G ist neutrales Element. Sei a G. Dann gilt: an N e G N = (a e G )N = an 3 G/N hat inverse Elemente: a G a 1 G. an a 1 N = e N Sei N G/N. Dann ist zu zeigen: N.N N N = N. Zunächst gilt a G.N = an und damit: an a 1 N = (a a 1 )N = e G N Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

25 8.1 Mengen mit einer Operation Korollar zum Satz von Lagrange Lemma 8.20 Sei G, eine endliche Gruppe und H ein Normalteiler von G. Es gilt G = H G/H Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

26 8.1 Mengen mit einer Operation Homomorphismen Definition 8.21 Seien G 1, 1 und G 2, 2 Gruppen und f : G 1, 1 G 2, 2 eine Abbildung. f heißt (Gruppen-)Homomorphismus gdw. a, b G 1. f (a 1 b) = f (a) 2 f (b) Die Abbildung heißt Monomorphismus, wenn f zusätzlich injektiv ist. Epimorphismus, wenn f zusätzlich surjektiv ist. Isomorphismus, wenn f zusätzlich bijektiv ist. Bei Gleichheit der beiden Gruppen nennt man f ferner Endomorphismus Automorphismus, wenn f auch Isomorphismus ist. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

27 8.1 Mengen mit einer Operation Homomorphismen - Eigenschaften Lemma 8.22 Seien G 1, 1 und G 2, 2 Gruppen mit neutralen Elementen e 1 und e 2. Ferner sei f : G 1, 1 G 2, 2 ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: 1 f (e 1 ) = e 2 2 a G 1. f (a 1 ) = (f (a)) 1 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

28 8.1 Mengen mit einer Operation Beispiele für Homomorphismen Beispiel ϕ : A, N, + mit w w bildet einen Monoidepimorphismus, denn es gilt ϕ(ε) = ε = 0 und ϕ(w 1 w 2 ) = ϕ(w 1 w 2 ) = w 1 w 2 = w 1 + w 2 = ϕ(w 1 ) + ϕ(w 2 ) Surjektiv: Sei a A. n N : ϕ(a n ) = n. Nicht injektiv: ϕ(ab) = ϕ(ba) = 2. 2 ϕ : Z, + N, + mit f (x) = x 2 bildet keinen Homomorphismus, denn ϕ(x + y) = (x + y) 2 x 2 + y 2 = ϕ(x) + ϕ(y) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

29 8.1 Mengen mit einer Operation Beispiele für Homomorphismen Beispiel Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Dann ist f : G G/N mit f (g) = gn ein Gruppenepimorphismus. 4 Sei G eine Gruppe und b G. Dann ist ein Gruppenautomorphismus. A b : G G mit A b (g) = b 1 gb Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

30 8.1 Mengen mit einer Operation Kern eines Homomorphismus Definition 8.24 Für einen Homomorphismus ϕ : G 1, G 2, 2 mit neutralem Element e 1 und e 2, ist der Kern von ϕ die Menge der Elemente die auf das neutrale Element in G 2 abgebildet werden: Beispiel 8.25 kern(ϕ) = {x G 1 ϕ(x) = e 2 } ϕ : Z 6, + 6 Z 6, + 6 mit ϕ(x) = 2x ist ein Homomorphismus. Es gilt: Kern(ϕ) = {0, 3} Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

31 8.1 Mengen mit einer Operation Gruppenstruktur und Morphismen Satz 8.27 Sei ϕ ein Gruppenhomomorphismus. 1 Kern(ϕ) bildet einen Normalteiler von G 1, 2 Bild(ϕ) = {y G 2 x G 1. ϕ(x) = y} bildet eine Untergruppe von G 2. Homomorphiesatz G/Kern(ϕ) ist isomorph zu Bild(ϕ). Satz 8.28 Die Menge aller Automorphismen einer Gruppe ist zusammen mit der Komposition selbst eine Gruppe. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

32 8.1 Mengen mit einer Operation Konstruktionsmuster für Gruppen Lemma 8.31 (Schnitte von Unter(halb)gruppen) Sei G, eine Gruppe (Halbgruppe) und H 1,, H 2, Untergruppen (Unterhalbgruppen) von G. Dann gilt: Der Schnitt H 1 H 2, ist ebenfalls eine Untergruppe (Unterhalbgruppe) von G. Achtung: Gilt nicht für Monoide (siehe Beispiel 8.11 mit Untermonoiden {a} und {b}. ) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

33 8.1 Mengen mit einer Operation Konstruktionsmuster für Gruppen Analog zu Produktverbänden definiert man: Produktstruktur Für Halbgruppen (Monoiden, Gruppen) A, A und B, B definieren wir das Produkt als Struktur A B,, wobei die Verknüpfung wie folgt definiert ist: (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = df (a 1 A a 2, b 1 B b 2 ). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

34 8.1 Mengen mit einer Operation Konstruktionsmuster für Gruppen Lemma 8.32 (Produkte von (Halb)gruppen) Seien A, A und B, B Halbgruppen (Monoide, Gruppen). Dann gilt: Das Produkt A B, ist ebenfalls eine Halbgruppe (ein Monoid, eine Gruppe). Sind A und B (mindestens) Monoide, und sind e A bzw. e B die neutralen Elemente in A bzw. B, so ist (e A, e B ) das neutrale Element des Produktmonoids. Sind A und B Gruppen, und sind zu a A, b B die inversen Elemente jeweils a 1 und b 1, so ist (a 1, b 1 ) in der Produktgruppe das zu (a, b) inverse Element. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

35 8.1 Mengen mit einer Operation Konstruktionsmuster für Gruppen Lemma (Erweiterte Produkte von (Halb)gruppen) Sei A, A Halbgruppe (Monoid, Gruppe) und M eine Menge. Dann gilt: Das erweiterte Produkt A M, ist ebenfalls eine Halbgruppe (ein Monoid, eine Gruppe). Dabei ist die Verknüpfung komponentenweise wie folgt definiert: (f g)(m) = df f (m) A g(m). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

36 8.1 Mengen mit einer Operation Konstruktionsmuster für Gruppen Lemma 8.33 (Produkthomorphismen) Seien A 1, A1, B 1, B1, A 2, A2 sowie B 2, B2 Halbgruppen (Monoide, Gruppen), und seien ferner h A : A 1, A1 A 2, A2 sowie h B : B 1, B1 B 2, B2 Halbgruppen- (Monoid-, Gruppen-)Homomorphismen. Dann ist h : A 1 B 1 A 2 B 2 mit h((a, b)) = df (h A (a), h B (b)) ein Halbgruppen- (Monoid-, Gruppen-)Homomorphismus von A 1 B 1, 1 nach A 2 B 2, 2, wobei 1 und 2 wie üblich durch komponentenweise Anwendung von A1 und B1 bzw. A2 und B2 definiert sind. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

37 8.1 Mengen mit einer Operation Themenübersicht Mengen mit einer Operation Halbgruppen Monoide Gruppen Mengen mit zwei Operationen Körper Ringe Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

38 8.2 Mengen mit zwei Operationen Mengen mit zwei Operationen Mengen mit zwei Operationen Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

39 8.2 Mengen mit zwei Operationen Rückblick Bisher: Mengen mit einer Operation Halbgruppen Monoide Gruppen Halbgruppe +Neutrales Element bezüglich Monoid + Inverses Element bezüglich Gruppe Jetzt: Weitere Operation : G G G definiert. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

40 8.2 Mengen mit zwei Operationen Ringe Definition 8.34 Eine Menge R mit Operationen und heißt Ring gdw. R, bildet eine kommutative Gruppe, R, bildet eine Halbgruppe, Es gelten die Distributivgesetze: a, b, c R. a (b c) = (a b) (a c) a, b, c R. (a b) c = (a c) (b c) Ein Ring R,, heißt kommutativ gdw. auch R, kommutativ ist. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

41 8.2 Mengen mit zwei Operationen Ringe Beispiel 8.35 Ringe? Z, +, Ja, kommutativer Ring mit neutralem Element 0 (bzgl. +) und neutralem Element 1 (bzgl. ). mz, +, Unterring von Z, +, Ja. P(M),, (Potenzmenge, symmetrische Differenz, Schnittmenge) Ja. { n i=0 a ix i n N a i R}, +, (Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten). Ja. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

42 8.2 Mengen mit zwei Operationen Unterringe Definition Analog zum Begriff der Untergruppe bildet eine nichtleere Teilmenge R R eines Ringes R,, einen Unterring, wenn R,, ein Ring ist. Bemerkungen: Ein Unterring eines kommutativen Ringes ist kommutativ. Ein Unterring eines Ringes mit Einselement hat nicht notwendig selbst ein Einselement. Beispiel: 2Z Z. Triviale Unterringe von R,, : R,, und {0},,. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

43 8.2 Mengen mit zwei Operationen Unterringe von Z 8 Beispiel 8.36 Ring Z 8 mit Unterring {[0], [2], [4], [6]}. [7] 8 [0] 8 [1] 8 [6] 8 [2] 8 [5] 8 [4] 8 [3] 8 Weitere Unterringe: Z 8 selbst und {[0]} und {[0], [4]}. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

44 8.2 Mengen mit zwei Operationen Ideale Definition 8.37 Sei R,, ein Ring. I R heißt Linksideal gdw. 1 I, ist Untergruppe von R, 2 a I, r R. r a I (Mit a I, r R. a r I analog Rechtsideal) I R heißt Ideal gdw. I Links- und Rechtsideal. Notation: I R. Bemerkungen Wegen 1) gilt I Falls R kommutativ ist gilt: I Linksideal I Rechtsideal I Ideal Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

45 8.2 Mengen mit zwei Operationen Ideale Bemerkungen 2 Z ist Ideal in Z Sowohl 0 als auch R sind Ideale in jedem Ring. Triviale Ideale. Ein Ring heißt einfach gdw. nur triviale Ideale. Beispiel 8.38 Unterringe mz von Z mit m N\{0} sind Ideale. Endlichen oder co-endlichen Teilmengen von N sind Unterring von P(N),,. Kein Ideal. Polynome p(x) mit p(1) = 0 sind Ideal der Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

46 8.2 Mengen mit zwei Operationen Abgeschlossenheitseigenschaften Satz 8.39 Es gilt für beliebige Ideale I, J R, auch, dass I J R (Infimum) I + J = df {a b a I, b J} R (Supremum!) Ideale sind. Satz 8.40 (Verband der Ideale) Die Menge aller Ideale eines Rings bildet einen algebraischen Verband. ({I I R}, +, ) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

47 8.2 Mengen mit zwei Operationen Faktorringe Lemma 8.41 Sei R,, ein Ring. und I ein Ideal von R. Dann bezeichne R/I = df {a + I a R} mit a I = df {a i i I } und (a I ) F (b I ) = (a b) I (a I ) F (b I ) = (a b) I den Faktorring R/I, F, F von R bezüglich I. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

48 8.2 Mengen mit zwei Operationen Ringhomomorphismen Definition 8.42 Eine Funktion f : R, R, R S, S, S heißt Ringhomomorphismus gdw. a, b R: 1 f (a R b) = f (a) S f (b) 2 f (a R b) = f (a) S f (b) Sind R und S Ringe mit Einselement, also solche, für die 1 R und 1 S existieren, so gilt zusätzlich: a 3) f (1 R ) = 1 S. a Diese Bedingung ist ohnehin erfüllt, wenn f surjektiv ist. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

49 8.2 Mengen mit zwei Operationen Ringhomomorphismen Beispiel 8.43 ϕ n : Z Z\nZ mit z (z mod n)z α r : { n i=0 a ix i n N, a i R}, +, R, +, mit n i=0 a ix i n i=0 a ir i Satz 8.44 Sei R,, ein Ring und I ein Ideal von R. Dann bildet die Funktion f : R R/I mit a a I einen Ringepimomorphismus mit Kern(f ) = I. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

50 8.2 Mengen mit zwei Operationen Ringhomomorphismen Satz 8.45 Sei f ein Ringhomomomorphismus. Dann gilt: bildet ein Ideal Kern(f ) = df {a R f (a) = 0} Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

51 8.2 Mengen mit zwei Operationen Verbandshomomorphismen Lemma 8.46 Die Abbildung f : {nz n N\{0}}, N,, nz n aller Ideale nz Z nach N, ist ein Ordnungshomomorphismus auf Verbänden.. 4 Z 6 Z 2 Z 3 Z 5 Z 1 Z Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

52 8.2 Mengen mit zwei Operationen Nullteiler Definition 8.47 Ein Element 0 a R in einem Ring R,, heißt Nullteiler gdw. b 0 R. a b = 0 b a = 0. Existieren keine Nullteiler in einem Ring, so heißt er nullteilerfrei. Beispiel 8.48 Nullteilerfrei? Z, +,, Z 7, + 7, 7 Ja, nullteilerfrei. Z 6, + 6, 6 Nicht nullteilerfrei. Nullteiler sind 2, 3 und 4, denn = 0 und = 0. R n m (n m-matrizen über R). Nicht nullteilerfrei (Sogar unendlich viele Nullteiler) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

53 8.2 Mengen mit zwei Operationen Nullteiler Lemma Ist G,, ein Ring und a R Nullteiler, so hat a kein multiplikativ Inverses. Beweis O.B.d.A sei a b = 0 für a, b 0. Annahme es gäbe multiplikativ inverses Element zu a. Dann gilt: b = 1 b = (a 1 a) b = a 1 (a b) (Assoziativität) = a 1 0 (Voraussetzung) = 0 (Widerspuch!) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

54 8.2 Mengen mit zwei Operationen Integritätsbereich Definition 8.49 Ist G,, ein nullteilerfreier kommutativer Ring, so heißt G,, Integritätsbereich. Definition 8.50 Ist R,, ein kommutativer Ring und P R ein Ideal von R, so heißt P Primideal genau dann, wenn a, b R. a b P a P b P Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

55 8.2 Mengen mit zwei Operationen Integritätsbereich Satz 8.51 Ist R,, ein kommutativer Ring. Dann gilt R/P nullteilerfrei P Primideal Korollar 8.52 Ist R,, ein kommutativer Ring mit 1. Dann gilt: R/P Integritätsbereich P Primideal Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

56 8.2 Mengen mit zwei Operationen Konstruktionsmuster für Ringe Schnitte von Unterringen Sei R,, ein Ring und R 1, 1, 1, R 2, 2, 2 Unterringe von R. Dann gilt: Der Schnitt R 1 R 2,, ist ebenfalls ein Unterring von R. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

57 8.2 Mengen mit zwei Operationen Konstruktionsmuster für Ringe Produkte von Ringen Seien A, A, A und B, B, B Ringe. Dann gilt: Das Produkt A B,, ist ebenfalls ein Ring, wobei (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = df (a 1 A a 2, b 1 B b 2 ). Das Nullelement ist (0 A, 0 B ). Sind sowohl A als B Ringe mit 1, so ist (1 A, 1 B ) Einselement von A B. Achtung: Das Produkt erhält nicht die Nullteilerfreiheit. Beispiel Z 2 Z 2 : (0, 1) (1, 0) = (0, 0). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

58 8.2 Mengen mit zwei Operationen Körper Definition 8.53 Ein Integritätsbereich R,, heißt Körper, falls G\{0}, ebenfalls eine Gruppe ist. Beispiel 8.54 Körper? Z, +, Nein, bzgl. Multiplikation i.a. keine Inverse. Z p, + p, p, p Primzahl. Ja (siehe folgenden Satz 8.50). Q, +, Ja. R, +, Ja. Bemerkung: Ist die multiplikative Gruppe nicht kommutativ, liegt ein sogenannter Schiefkörper vor. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

59 8.2 Mengen mit zwei Operationen Körper Satz 8.55 Ein endlicher Integritätsbereich R,, ist bereits schon ein Körper. Beweisidee Zu zeigen ist die Existenz der multiplikativ Inversen für R\{0}. Sei r R\{0}. Betrachte (wg. Nullteilerfreiheit): f r :R\{0} R\{0} s r s f r ist injektiv. Weil R endlich ist folgt, dass f r auch surjekiv ist. Also existiert ein s R\{0} mit r s = 1. Wegen der Kommutativität von gilt dann auch: r s = s r = 1. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

60 8.2 Mengen mit zwei Operationen Unterkörper Definition (Unterkörper) Analog zum Begriff des Unterringes bildet eine nichtleere Teilmenge K K eines Körpers K,, einen Unterkörper, wenn K,, ein Körper ist. Beispiele: Q ist Unterkörper von R R ist Unterkörper von C Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

61 8.2 Mengen mit zwei Operationen Körper und Ideale Satz 8.56 Sei R,, kommutativer Ring mit 1 0. Dann gilt: R ist Körper R ist einfach (d.h. hat nur die trivialen Ideale). Beweis: : Sei I K Ideal mit I {0}. Dann existiert a I, so dass a 0. Weil K Körper ist, gilt a a 1 = 1 I. Wegen 1 I gilt I = K. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

62 8.2 Mengen mit zwei Operationen Körper und Ideale Satz 8.56 Sei R,, kommutativer Ring mit 1 0. Dann gilt: R ist Körper R ist einfach (d.h. hat nur die trivialen Ideale) Beweis: : Per Kontraposition. Wenn R nicht Körper ist, existiert a R/{0} ohne multiplikativ Inverses. Dieses gilt insbesondere, wenn R Nullteiler besitzt (Lemma auf Folie 251). Betrachte Ideal (a) = df a R (Hauptideal zu a). Wegen 1 / (a) gilt: {0} (a) R. Also ist R nicht einfach. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

63 8.2 Mengen mit zwei Operationen Faktorstrukturen Satz 8.57 Sei R,, kommutativer Ring mit 1 0 und {0} I R nichttriviales Ideal. Dann: R/I ist Körper I ist maximal. Beweis: I maximal Ideal J. I J R R/I ist einfach (*) R/I ist Körper (Satz 8.56) Zu (*): Einem Ideal {0} J R ordne das Ideal {0} J/I R/I zu. Einem Ideal {0} J R/I ordne das Ideal {r R (r) J} zu. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

64 8.2 Mengen mit zwei Operationen Körperhomomorphismen Satz 8.59 Körperhomomorphismen sind injektiv, also stets Körpermonomorphismen. Beweis: Sei h : K K Körperhomomorphismus. Weil h insbesondere Ringhomomorphismus ist, folgt dass Kern(h) Ideal ist (analog Satz 8.27). Weil K nach Satz 8.56 nur triviale Ideale besitzt, kommen nur Kern(h) = {0} oder Kern(h) = K in Frage. Kern(h) = K scheidet aus wegen h(1 K ) = 1 K 0 K. Aus Kern(h) = {0} folgt, dass h injektiv ist. ( Übungen) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

65 8.2 Mengen mit zwei Operationen Konstruktionsmuster für Körper Schnitte von Unterkörpern Sei K,, ein Körper und K 1,,, K 2,, Unterkörper von K. Dann gilt: Der Schnitt K 1 K 2,, ist ebenfalls ein Unterkörper von K. Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

66 8.2 Mengen mit zwei Operationen Konstruktionsmuster für Körper Produkte von Körpern Seien A, A, A und B, B, B Körper. Dann gilt: Das Produkt A B,, ist ein kommutativer Ring mit 1, i.a. aber kein Körper (siehe Produkte von Integritätsbereichen). Veralleinerte Produkte Sei M eine Menge und K, K, K ein Körper. Dann ist das erweiterte Produkt K M, eine kommutative Gruppe. Definiert man eine äußere (skalare) Multiplikation : K K M durch (k v)(m) = df k K v(m) für alle m M so erhält man einen K-Vektorraum ( näheres im Teil Lineare Algebra ). Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

67 Zusammenfassung Aussagen und Mengen Was bisher geschah... 2 Aussagen und Mengen 3 Relationen und Funktionen 4 Induktives Definieren 5 Darstellung und deren Bedeutung 6 Induktives Beweisen 7 Ordnungsstrukturen 8 Algebraische Strukturen Aussagenlogik / Prädikatenlogik Semantische Äquivalenz Beweisprinzipien (semantisch / syntaktisch) Mengengesetze... Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

68 Zusammenfassung Relationen und Funktionen Was bisher geschah... 2 Aussagen und Mengen 3 Relationen und Funktionen 4 Induktives Definieren 5 Darstellung und deren Bedeutung 6 Induktives Beweisen 7 Ordnungsstrukturen 8 Algebraische Strukturen Kartesische Produkte / Bitvektoren Funktionen und deren Eigenschaften Beweisprinzipien ( Direkter Beweis Kontraposition / Widerspruchsbeweis / Quantoren Auflösung / Diagonalverfahren ) Mächtigkeiten Äquivalenzrelationen / Partitionen... Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

69 Zusammenfassung Induktives Definieren Was bisher geschah... 2 Aussagen und Mengen 3 Relationen und Funktionen 4 Induktives Definieren 5 Darstellung und deren Bedeutung 6 Induktives Beweisen 7 Ordnungsstrukturen 8 Algebraische Strukturen Peano-Axiome Induktive Mengen, Algorithmen und Operationen Boolesche Terme... Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

70 Zusammenfassung Darstellung und deren Bedeutung Was bisher geschah... 2 Aussagen und Mengen 3 Relationen und Funktionen 4 Induktives Definieren 5 Darstellung und deren Bedeutung 6 Induktives Beweisen 7 Ordnungsstrukturen 8 Algebraische Strukturen Zeichenreihen Semantikschemata Backus Naur Form... Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

71 Zusammenfassung Induktives Beweisen Was bisher geschah... 2 Aussagen und Mengen 3 Relationen und Funktionen 4 Induktives Definieren 5 Darstellung und deren Bedeutung 6 Induktives Beweisen 7 Ordnungsstrukturen 8 Algebraische Strukturen Partielle Ordnungen / Hasse-Diagramme Noethersche Induktion Strukturelle Induktion Vollständige Induktion Verallgemeinerte Induktion Ringschluss (Antisymmetrie Beweisprinzip)... Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

72 Zusammenfassung Euklidischer Algorithmus Was bisher geschah... Euklid, ca v. Chr. EUKLID (a, b) wenn b = 0 dann return a sonst wenn a = 0 dann return b sonst wenn a > b dann EUKLID (a b, b) sonst return EUKLID (a, b a) Kern: Invariante GGT(a,b) = GGT(a,a-b) = GGT(b,b-a) Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

73 Zusammenfassung Ordnungsstrukturen Was bisher geschah... 2 Aussagen und Mengen 3 Relationen und Funktionen 4 Induktives Definieren 5 Darstellung und deren Bedeutung 6 Induktives Beweisen 7 Ordnungsstrukturen 8 Algebraische Strukturen Algebraische Verbände Ordnungsstrukturelle Verbände Vollständige Verbände Boolesche Verbände Homomorphismen... Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

74 Zusammenfassung Algebraische Strukturen Was bisher geschah... 2 Aussagen und Mengen 3 Relationen und Funktionen 4 Induktives Definieren 5 Darstellung und deren Bedeutung 6 Induktives Beweisen 7 Ordnungsstrukturen 8 Algebraische Strukturen Halbgruppen, Monoide, Gruppen Untergruppen Normalteiler Satz von Lagrange Homomorphismen Faktorstrukturen Ringe, Körper Ideale Schubfachprinzip... Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

75 Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Inwieweit werden die folgenden Kompetenzen in Ihrer gegenwärtigen Erwerbstätigkeit gefordert? Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

76 Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Inwieweit werden die folgenden Kompetenzen in Ihrer gegenwärtigen Erwerbstätigkeit gefordert? Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

77 Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Warum haben Sie länger studiert, als in der Regelstudienzeit vorgesehen? Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

78 Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Warum haben Sie länger studiert, als in der Regelstudienzeit vorgesehen? Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

79 Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11 Ergebnisse der Absolventenbefragung des Prüfungsjahrgangs 2008/09 im WS 2010/11 Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

80 Zusammenfassung Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen Halbgruppe Monoid Gruppe {}}{ G, Normalteiler HG M G R K N\{0}, + A, Z, +, Z, +, R, +, Ring Körper {}}{ Ideale G,, Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

81 Zusammenfassung Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen Halbgruppe Monoid Gruppe Ring Integritätsbereich Vektorraum Körper Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

82 Zusammenfassung Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen 1 Operation Assoziativität, Neutrales und Inverses Element Untergruppen Normalteiler Faktorgruppen Gruppe Lineare Abbildungen Matrizen Determinanten Eigenvektoren u.v.m... Ring Vektorraum 2 Operationen, Keine inv. bzgl. Unterringe, Ideale Faktorringe (endl.) Körper Existenz von e Nullteilerfreiheit Existenz von Inversen Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669

83 Zusammenfassung Teil1/Teil2-Schnittstelle Teil1/Teil2-Schnittstelle Strukturen Gruppe/Ringe/Körper Normalteiler/Ideal/Unterkörper Faktor-Gruppe/-Ringe Vektorräume Untervektorräume Faktorräume Lösungsansatz Homomorphismen Lineare Abbildung / Matrizen (Nebenklassen des ) Kerns Lösungsraum Isomorphismen Determinante 0 Damit eindeutige Lösbarkeit des zug. lin. Gleichungssystems. Engineering Finden geeigneter Repräsentationen Basistransformationen Induktiv definierte Strukturen Basis aus Eigenvektoren Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker / 669