Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe"

Transkript

1 Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten: Erstens sind sie kommutativ und nicht-trivial. Zweitens ist das Produkt zweier Elemente ungleich Null immer ungleich Null. Drittens, und das ist wirklich das Besondere, gibt es Größenfunktion oder wie man allgemein sagt Gradfunktion (den Absolutbetrag für Z und den Grad für K[X]). Bezüglich dieser Gradfunktion gibt es eine Division mit Rest und ist das Produkt zweier Element ist größer-gleich den Faktoren. Einen Ring mit diesen Eigenschaften nennt man einen Euklidischen Ring. In diesem Abschnitt geht es hauptsächlich um solche Ringe. Ideale und Teilbarkeit Wir beginnen mit einer grundlegenden Betrachtung über Ringe: Sei R ein Ring und U eine Untegruppe von (R, +). Dann haben wir ja die Faktorgruppe R/U (mit der induzierten Addition [a] U +[b] U = [a+b] U ). Es stellt sich die folgende Frage: Wann gibt es eine Verknüpfung : R/U R/U R/U mit [a] U [b] U = [a b] U für alle a, b R? Man sagt: Wann induziert die Multiplikation auf R eine Verknüpfung auf R/U? Die Antwort liefert die folgende Aussage. Aussage 4.1 Seien R und U wie oben. Dann induziert die Multiplikation auf R genau dann eine Verknüpfung auf R/U, wenn r R a U : ra U ar U. 183

2 184 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Falls dies der Fall ist, ist R/U mit der induzierten Addition und der Verknüpfung als Multiplikation ein Ring, und die kanonische Abbildung R R/U, r [r] U ist ein Ringhomomorphismus. Beweis. Es existiere zunächst die Verknüpfung. Dann gilt für a U und r R: [ar] U = [a] U [r] U = [0] U [r] U = [0 r] U = [0] U und damit ar U. Analog zeigt man ra U. Es gelte nun die angegebene Bedingung. Seien a, a R mit a U a und b U b. Dann ist ab a b = ab a b+a b a b = (a a ) b+a (b b ) U, da nach Voraussetzung (a a ) b und a (b b ) in U liegen. Die weiteren Aussagen sind einfach. Definition Eine Untergruppe I von R mit der Eigenschaft r R a I : ra I ar I heißt Ideal von R. Wenn I ein Ideal von R ist, heißt der Ring R/I Restklassenring von R modulo I. Sei nun S ein weiterer Ring und ϕ : R S ein Ringhomomorphismus. Der Kern von ϕ ist per Definition der Kern von ϕ aufgefasst als Homomorphismus von abelschen Gruppen, d.h. Kern(ϕ) = {r R ϕ(r) = 0 S }. Man sieht sofort, dass Kern(ϕ) ein Ideal in R ist. Wir haben nun die induzierte Abbildung ϕ : R/ Kern(ϕ) S mit ϕ([r] U ) = ϕ(r) für alle r R. Diese Abbildung ist injektiv und ein Homomorphismus von Ringen. Wir beschäftigen uns im Folgenden nur mit kommutativen Ringen. Sei also R kommutativ. Beispiel 4.2 Seien a 1,...,a k R. Dann ist die Menge {r 1 a 1 + r k a k r 1,..., r k R} ein Ideal von R. Es ist (bzgl. der Inklusion) das kleinste Ideal von R, das die Elemente a 1,...,a k enthält. Dieses Ideal heißt das von a 1,..., a k erzeugte Ideal. Es wird mit (a 1,..., a k ) bezeichnet. Wenn wir nur ein Element nehmen, sagen wir a R, erhalten wir das so genannte von a erzeugte Hauptideal (a) = a R. Konkret ist das von einer natürlichen Zahl n erzeugte Ideal in Z gleich n Z, und der Restklassenring modulo n, Z/nZ = Z/(n), ist ein Spezialfall eines Restklassenrings modulo eines Ideals. Achtung: Das Tupel von Elementen (a 1,...,a k ) und das von a 1,...,a k erzeugte Ideal werden genau gleich bezeichnet, sind aber unterschiedlich.

3 4.1. EUKLIDISCHE RINGE 185 Definition Seien a, b R. Dann sagen wir, dass das Element a das Element b teilt, a b, falls ein c R mit ca = b existiert. In diesem Fall sagen wir auch, dass a ein Teiler von b ist. Bemerkung Für a, b R gilt a b genau dann, wenn b (a) d.h. wenn (b) (a). Bemerkung Teilbarkeit ist eine reflexive und transitive Relation. Für Z, K[X] (K ein Körper) und viele weitere Ringe ist sie aber nicht antisymmetrisch und somit keine Ordnungsrelation. Definition Ein Element aus R (der multiplikativen Gruppe des Rings) heißt auch eine Einheit von R. Somit ist a R genau dann eine Einheit, wenn 1 (a) ist, und dies ist äquivalent zu (a) = (1), d.h. (a) = R. Definition Ein Nullteiler in R ist ein Element a R {0}, so dass ein Element b R {0} mit ab = 0 existiert. Ein kommutativer Ring ohne Nullteiler heißt nullteilerfrei. Ein Integritätsring bzw. Integritätsbereich ist ein kommutativer nullteilerfreier Ring R mit 0 R 1 R (bzw. mit R {0 R }). Achtung: In jedem Ring teilt jedes Element die 0. Das folgt direkt aus der Definition von teilt. Die Aussage r teilt 0 sollte man nicht in r ist ein Nullteiler unformulieren. Das wäre falsch. Bemerkung Ein Ring ist genau dann eine Integritätsbereich, wenn R {0} ein Untermonoid von (R, ) ist. Lemma 4.3 Sei R ein Integritätsbereich, und seien a, b R. Dann sind äquivalent: a b und b a (a) = (b) ǫ R : b = ǫa.

4 186 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Beweis. Die Äquivalenz der ersten beiden Aussagen ist offensichtlich. Wir wollen, zeigen, dass die zweite und die dritte Aussage äquivalent sind. Sei (a) = (b). Dann gibt es c, d R: b = ca, a = db. Nun ist dca = db = a, also (dc 1)a = 0. Da R nullteilerfrei ist, folgt dc = 1. Die Rückrichtung ist einfach. Definition Wenn zwei Elemente a, b in einem Integritätsbereich die Bedingungen im obigen Lemma erfüllen, heißen sie assoziiert zueinander. Wir schreiben dann a b. Wenn a ein Teiler von b ist aber die Elemente nicht assoziiert zueinander sind, sagen wir, dass a ein echter Teiler von b ist. Offensichtlich ist Assoziiertheit eine Äquivalenzrelation auf dem Ring. Beispiele 4.4 In Z sind zwei Elemente genau dann assoziiert zueinander, wenn sie denselben Absolutbetrag haben. Ein Repräsentantensystem der Äquivalenzrelation Assoziiertheit auf Z {0} wird hier durch die natürlichen Zahlen (die Elemente in N) gegeben. In K[X], K ein Körper, sind zwei Elemente (Polynome) f, g genau dann assoziiert zueinander, wenn es eine Konstante c K mit g = cf gibt. In K[X] {0} bilden die normierten Polynome ein Repräsentatensystem. Bemerkung Wie schon gesagt ist Teilbarkeit nicht für jeden Ring eine Ordnungsrelation. Aber wenn man Teilbarkeit auf ein Repräsentatensystem der Relation Assoziiertheit einschränkt, erhält man eine Ordnungsrelation. Alternativ kann man zur durch Assoziiertkeit definierten Partition übergehen. Hierauf induziert dann Teilbarkeit eine Ordungsrelation. Man kann aber auch einfach so mit der Relation Teilbarkeit arbeiten. Definition Sei R ein Integritätsbereich. Eine Gradfunktion auf R ist eine Abbildung δ : R N 0 { }, so dass für alle a, b R mit b 0 Elemente q, r R mit a = qb + r und δ(r) < δ(b) existieren, für alle a, b R {0} δ(a) δ(ab) gilt. Ein Euklidischer Ring ist ein Integritätsbereich, auf dem eine Gradfunktion existiert.

5 4.1. EUKLIDISCHE RINGE 187 Die Bezeichnung δ deutet übrigens auf degree hin. Achtung: Die Gradfunktion ist nicht Bestandteil der Struktur des Euklidischen Rings. Es ist also nicht so wie z.b. bei Euklidischen Vektorräumen, welche Tupel von Vektorräumen und Skalarprodukten sind. Verlangt wird nur, dass eine Gradfunktion existiert. Die Standardbeispiele für Euklidische Ring sind, wie bereits erwählt, Z und die Polynomringe K[X], wobei K ein Körper ist. (Wie man die Unbestimmte bezeichnet, spielt natürlich keine Rolle.) Für Z kann man als Gradfunktion den Absolutbetrag nehmen und für K[X] die normale Gradfunktion (mit Grad(0) := ). Es gibt übrigens abweichende Definitionen von Gradfunktion. Die zweite Bedingung wird oft weggelassen (das ist eine starke Änderung), und der 0 wird manchmal kein Element zugeordnet (das ist eine geringfügige Änderung). Dementsprechend werden auch Euklidische Ringe unterschiedlich definiert. Lemma 4.5 Sei R ein Euklidischer Ring mit einer Gradfunktion δ, und seien a, b R mit a b. Dann sind äquivalent: a) a b b) δ(a) = δ(b) Beweis. Wenn a b gilt, ist nach Definition δ(a) δ(b) und δ(b) δ(a). Es gelte nun δ(a) = δ(b) (und sowieso a b). Sei c R mit ca = b. Seien q, r R mit a = qb + r und δ(r) < δ(b) = δ(a). Dann ist also a = qca + r und somit (1 qc) a = r. Wenn nun 1 qc 0 wäre, wäre δ(a) δ(r), ein Widerspruch. Also ist 1 qc = 0 bzw. qc = 1. Somit ist also c eine Einheit, d.h. a b. Aussage 4.6 Sei R ein Euklidischer Ring mit einer Gradfunktion δ, und sei I ein nicht-triviales Ideal in R. Sei a I, so dass δ(a) = min{δ(b) b I {0}}. Dann ist I = (a). Beweis. Da a I gilt auch (a) I. Sei nun b I. Dann gibt es q, r R mit b = qa + r und δ(r) < δ(a). Es gilt nun r = b qa I. Aus der Definition von a folgt r = 0 also b = qa. Wir haben soeben bewiesen, dass jedes Ideal in einem Euklidischen Ring ein Hauptideal ist.

6 188 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Definition Ein Hauptidealring oder Hauptidealbereich ist ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Somit ist also jeder Euklidische Ring ein Hauptidealring. Aussage 4.7 Sei R ein Hauptidealring, und seien a 1,...,a k R, nicht alle gleich 0. Sei ferner a R. Dann sind äquivalent: a) (a 1,...,a k ) = (a) b) a a 1,...,a a k und es existieren s 1,..., s k R mit s 1 a s k a k = a. c) a a 1,...,a a k und für alle b R mit b a 1,...,b a k gilt b a. Je zwei Elemente a, a mit den obigen Eigenschaften sind zueinander assoziiert. Wenn R ein Euklidischer Ring mit einer Gradfunktion δ ist, sind die obigen Bedingungen äquivalent zu: a a 1,...,a a k und δ(a) = max{δ(b) b a 1,...,b a k }. Beweis. Aussagen a) und b) sind offensichtlich äquivalent. a) c). Es gelte a) und es sei b wie in c). Dann gilt a 1,..., a k (b) und somit (a) = (a 1,..., a k ) (b). Also ist a (b) bzw. b a. c) a). Es gelte c). Dann gilt sicher (a 1,...,a k ) (a). Es sei b R mit (a 1,...,a k ) = (b). (Wir benutzen, dass R ein Hauptidealring ist.) Dann gilt also b a 1,...,b a k. Somit gilt b a. Also gilt (a) (b) = (a 1,...,a k ). Insgesamt gilt also (a 1,...,a k ) = (a). Nach a) ist es offensichtlich, dass je zwei solche Elemente a, a zueinander assoziiert sind. Sei nun R Euklidisch mit Gradfunktion δ. Es gelten zunächst die ersten Bedingungen. Dann ist max{δ(b) b a 1,...,b a k } = max{δ(b) b a} = δ(a). Es gelte nun die angebene Bedingung. Dann ist zunächst (a 1,...,a k ) (a). Sei a R mit (a ) = (a 1,...,a k ). Dann gilt also (a ) (a), d.h. a (a), d.h. a a. Ferner ist, wie soeben gezeigt, max{δ(b) b a 1,...,b a k } = δ(a ), d.h. δ(a) = δ(a ). Mit Lemma 4.5 folgt: (a) = (a ) = (a 1,..., a k ). Dies motiviert: Definition Sei R ein Integritätsbereich und seien a 1,...,a k R, nicht alle gleich 0. Ein Element g R mit (g) = (a 1,...,a k ) heißt ein größter gemeinsamer Teiler (ggt) von a 1,...,a k.

7 4.1. EUKLIDISCHE RINGE 189 Bemerkung und Notation Wenn g ein ggt von a 1,...,a k ist, dann sind genau die zu g assoziierten Elemente alle ggts von a 1,...,a k. Es gibt also in der Regel nicht den ggt. Nichtsdestoweniger schreibt man: ggt(a 1,...,a k ) = g, wenn g ein ggt von a 1,...,a k ist. Besser ist allerdings die uneindeutige Aussage (g) = (a 1,..., a k ). Wir nehmen nun an, dass wir ein Repräsentantensystem der Relation Assoziiertheit ausgewählt haben. Dann gibt es zu jedem System a 1,..., a k wie oben genau einen ggt in dem Repräsentantensystem, und oftmals meint man mit dem ggt dann denjenigen ggt in dem Repräsentatensystem (z.b. eine natürliche Zahl oder ein normiertes Polynom). Auf dem Repräsentatensystem ist ja Teilbarkeit eine Äquivalenzrelation. Wenn nun a 1,..., a k aus dem Repräsentantensystem sind und g der ggt von a 1,..., a k aus dem Repräsentantenystem ist, dann ist g das größte Element, das a 1,...,a k teilt im Sinne der allgemeinen Definition von größtem Element. Alternativ kann man die Definition von größten Elementen auf reflexive und transitive Relationen ausweiten. Dann ist ein ggt von a 1,...,a k ein größtes Element, das a 1,..., a k teilt. Der Euklidische Algorithmus Der Euklidische Algorithmus ist ein Algorithmus, um den ggt zweier Elemente in einem Euklidischen Ring explizit auszurechnen. Sei hierzu R ein Euklidischer Ring mit einer Gradfunktion δ. Die Grundidee ist die folgende: Seien a, b R {0}. Wir betrachten nun die Division mit Rest: a = qb + r mit δ(r) < δ(b). Nun gibt es zwei Fälle: Entweder r = 0. Dann ist b ein Teiler von a und ggt(a, b) = b. Oder r 0. Dann ist (a, b) = (b, r), denn: a (b, r) und r (b, a) und somit (a, b) (b, r) und (b, r) (a, b). Somit ist ggt(a, b) = ggt(b, r). (Man beachte die Symbolik: Wir behaupten nicht, dass es einen einzigen ggt gibt, aber wenn wir einen ggt von a, b haben, dann haben wir auch einen von b, r und umgekehrt.) Nun kann man a, b durch b, r ersetzen und das Vefahren iterieren. Da die Reste immer kleiner werden, gelangt man irgendwann zum ggt von a und b. Sei nun g ein ggt von a und b. Dann gibt es wie oben bemerkt Elemente c, d R mit ca + db = g. Mit dem so genannten erweiterten Euklidischen Algorithmus kann man solche Elemente ausrechnen.

8 190 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Nehmen wir an, dass wir mit den Euklidischen Algorithmus das Folgende berechnet haben: a = p 1 b + r 1 b = p 2 r 1 + r 2 r 1 = p 3 r 2 + r 3. r k 3 = p k 1 r k 2 + r k 1 r k 2 = p k r k Dann ist also ggt(a, b) = ggt(b, r 1 ) = ggt(r 1, r 2 ) = = ggt(r k 2, r k 1 ) = r k 1. Die Idee ist, von unten nach oben zurückzurechnen. Wir haben ggt(a, b) = r k 1 = r k 3 p k 1 r k 2. Nun substituieren wir r k 2 mittels der Zeile darüber. Wir erhalten eine Darstellung der Form ggt(a, b) = c k 4 r k 4 + d k 4 r k 3 mit gewissen Ringelementen c k 4, d k 4. Wenn wir so fortfahren, erhalten wir Darstellungen ggt(a, b) = c i r i + d i r i+1 mit gewissen c i, d i Z für alle i 1. Ausgehend von ggt(a, b) = c 1 r 1 + d 1 r 2 liefert eine Substitution von r 2 mittels der zweiten Zeile eine Darstellung ggt(a, b) = c 0 b + d 0 r 1, und eine weitere Substitution mittels der ersten Zeile liefert eine Darstellung wie gewünscht. Faktorisierung ggt(a, b) = ca + db, Definition Sei R ein Integritätsbereich und sei r R. r ist irreduzibel, falls r nicht 0 und keine Einheit ist und es gilt: s R : s r s r s R r ist prim, falls r nicht 0 und keine Einheit ist und es gilt: a, b R : r ab r a r b

9 4.1. EUKLIDISCHE RINGE 191 Bemerkung Eine Primzahl ist also per Definition ein irreduzibles Element im Ring Z, das in N liegt. Wir werden sogleich sehen, dass Primzahlen auch prim im Sinne der obigen Definition sind. Bemerkung Wenn r prim ist und r ein Produkt beliebig vieler Faktoren teilt, dann teilt r auch einen Faktor. Dies sieht man sofort aus der Definition. Lemma 4.8 Jedes Primelement in einem Integritätsbereich ist auch irreduzibel. Beweis. Sei R ein Integritätsbereich und p R prim. Sei nun s p mit s / R. Dann gibt es also ein a R mit as = p; wir fixieren so ein a. Es gilt nun p s oder p a. Wir nehmen zuerst an, dass p a gilt. Dann gibt es ein c R mit cp = a. Mit so einem c ist nun scp = p und somit sc = 1. Hiermit ist s eine Einheit, ein Widerspruch. Es gilt also p s. Sei d R mit dp = s. Dann ist dap = p, also ad = 1. Hiermit ist a eine Einheit und somit s p. Satz 4.1 Sei R ein Hauptidealring und r R. Dann ist r genau dann irreduzibel, wenn es prim ist. Beweis. Die eine Richtung haben wir schon gezeigt. Sei nun r irreduzibel und seien a, b R mit r ab. Sei s R mit s = ggt(r, a), d.h. (s) = (r, a). Wir nehmen an, dass r a ist und wollen zeigen, dass dann b r gilt. Nun ist (r, a) echt größer als (r) und somit s / (r) bzw. r s. Damit ist s ein echter Teiler von r, also ist s eine Einheit und (r, a) = (1) = R. Hieraus folgt: b (b) = b (1) = b (r, a) = (br, ba) = (br, ab). Da sowohl br als auch ab Vielfache von r sind, folgt, dass jedes Element in (br, ab) ein Vielfaches von r ist. Somit ist auch b ein Vielfaches von r. Dieser Satz zeigt auch Lemma Wir wollen nun die eindeutige Primfaktorzerlegung in Euklidischen Ringen beweisen, also insbesondere in Z und K[X], K ein Körper, beweisen. Wir wählen bezüglich der Äquivalenzrelation Assoziiertheit in jeder Äquivalenzklasse primer Elemente genau eins aus. (Wir wählen ein Repräsentationsystem.) Sei P so eine Menge. Die folgenden Beispiele sollte man im Kopf behalten: Im Ring Z ist es natürlich, die Primzahlen auszuwählen. Im Ring K[X], K ein Körper, ist es natürlich, die normierten irreduziblen Polynome auszuwählen. Es gilt nun:

10 192 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Satz 4.2 Sei R ein Euklidischer Ring und sei P eine Menge wie beschrieben. Sei nun r R. Dann gibt es k N 0 und Elemente p 1,...,p k P, ǫ R mit r = ǫp 1 p k. So eine Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der p i. Beweis. Sei δ eine Gradfunktion auf R. Beachten Sie, dass aus Lemma 4.5 folgt: Für a, b R, wobei a ein echter Teiler von b ist, ist δ(a) < δ(b). Die Existenz folgt nun sofort per Induktion über den Grad. Zur Eindeutigkeit: Es gelte ǫp 1 p k = ǫ p 1 p k mit ǫ, ǫ R und p i, p i R. Da p k prim ist, gibt es ein i = 1,...,k mit p k p i. Hieraus folgt dann sofort p k = p i. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass i = k. Hiermit ist ǫ p 1...p k 1 = ǫ p 1 p k 1. Aus diesen Überlegungen folgt der Satz per Induktion nach k. Wir haben also bewiesen, dass es sowohl im Ring Z als auch in dem Ringen K[X], K ein Körper, eindeutige Primfaktorzerlegung gibt. Wir diskutieren noch Varianten der Notation der Primfaktorzerlegung. Seien hierzu R und P wie oben. Man kann die eindeutige Primfaktorzerlegung auch so ausdrücken: Zu r R {0} gibt es ǫ R, p 1,..., p k P, wobei die p i paarweise verschieden sind, sowie e 1,..., e k N, so dass r = p e 1 1 p e k k. Wiederum ist die Darstellung eindeutig bis auf die Reihenfolge. Eleganter ist die folgende Vorgehensweise: Sei für eine Menge X N (X) 0 die Menge der Abbildungen von X nach N 0, die nur für endlich viele x X ungleich Null sind. D.h. N (X) 0 = {(n x ) x X es gibt nur endlich viele x X mit n x 0}. Dies ist ein Untermonoid des Monoids N X 0 mit der komponentenweisen Addition. Sei nun (n p ) N (P) 0. Dann gilt ja für alle bis auf endlich viele p P p np = 1. Wir definieren nun als dasjenige Element in R, das man pnp erhält, wenn man alle Elemente p np, die nicht 1 sind, aufmultipliziert. (Also, P kann unendlich groß sein, aber es gibt immer nur endlich viele p np, die ungleich 1 sind, und hierüber wird das Produkt gebildet.) Es gilt nun für (n p ), (n p ) N (P) 0 : p np p n p = p np+n p Man erhält, dass die Abbildung N (P) 0 R {0}, (n p ) ein pnp Homomorphismus von Monoiden von (N (P) 0, +) nach (R {0}, ) ist.

11 4.2. DIE JORDANSCHE NORMALFORM 193 Die Aussage des Satzes ist nun: Zu r R {0} gibt es eine eindeutig bestimmte Einheit ǫ und einen eindeutig bestimmtes Tupel von Exponenten (e p ) mit r = ǫ p ep. Man kann dies auch so formulieren: Die Abbildung R N (P) 0 R {0}, (ǫ, (n p ) ) ǫ ist ein Isomorphismus von Monoiden. Mit dieser Darstellung haben wir übrigens auch für beliebige (e p ) N (P) 0, (e p ) N (P) 0 : ggt ( ) = p min{ep,e p }, wie man leicht sieht. p ep, p e p 4.2 Die Jordansche Normalform Wir kehren zur Linearen Algebra zurück. Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum der Dimension n und ϕ ein Endomorphismus von V. Wie schon in Abschnitt 2.11 besprochen, können wir ϕ in Polynome in K[T] einsetzen und erhalten wieder einen Endomorphismus von V. Wir erinnern uns: Die Abbildung K[T] End K (V ), f f(ϕ) ist ein Homomorphismus von K-Vektorräumen und von Ringen. Ferner ist die Abbildung nicht injektiv, weil End K (V ) die Dimension n 2 hat und K[T] nicht endlich erzeugt ist. Definition Das Minimalpolynom von ϕ, µ ϕ, ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades f K[T] mit f(ϕ) = 0. Anders ausgedrückt: Das Minimalpolynom von ϕ ist das eindeutig bestimte normierte Polynom kleinsten Grades im Kern des Homomorphismus K[T] End K (V ). Dieser Kern ist ein Ideal in K[T], und nach Aussage 4.6 wissen wir: Das Minimalpolynom erzeugt den Kern. Mit anderen Worten: Lemma 4.9 Sei f K[T] mit f(ϕ) = 0. Dann teilt µ ϕ das Polynom f. p np

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Wintersemester 2012/2013 Universität Bayreuth Michael Stoll Inhaltsverzeichnis 1. Wiederholung: Gruppen, Ringe, Körper 2 2. Teilbarkeitslehre

Mehr

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Ringe, Algebren und Körper

Ringe, Algebren und Körper KAPITEL 3 Ringe, Algebren und Körper Wir kommen nun zu Strukturen mit zwei verträglichen Operationen, wobei wir etwas Hintergrund aus der linearen Algebra voraussetzen werden. Wir werden oft auf die Analogie

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

Noethersche und artinsche Ringe

Noethersche und artinsche Ringe Noethersche und artinsche Ringe Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Prof. Dr. K. Wingberg, Dr. J. Gärtner Vortrag 6 Yassin Mousa 05.06.2014 Im Folgenden bezeichne R immer einen kommutativen Ring

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie

Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie Kryptografie Grundlagen RSA KASH Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Kryptografie Grundlagen RSA KASH Überblick Kryptografie mit

Mehr

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz Tobias Kraushaar Kaiserstr. 178 44143 Dortmund Matr.- Nr.: 122964 Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz 1. EINLEITUNG... 2 2. HAUPTTEIL... 3 2.1. Der

Mehr

Lösungen zu Kapitel 7

Lösungen zu Kapitel 7 Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 1: Nach Definition 7.1 ist eine Verknüpfung auf der Menge H durch eine Abbildung : H H H definiert. Gilt H = {a 1,..., a m }, so wird eine Verknüpfung auch vollständig

Mehr

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester

Mehr

Ringe. Kapitel 3. 3.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln

Ringe. Kapitel 3. 3.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln Kapitel 3 Ringe Gruppen- und Ringstrukturen sind uns schon in den verschiedensten Zusammenhängen begegnet. In diesem Kapitel wollen wir einige wichtige Klassen von Ringen im Hinblick auf Anwendungen in

Mehr

Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie

Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie von Peter Hellekalek Fakultät für Mathematik, Universität Wien, und Fachbereich Mathematik, Universität Salzburg Tel: +43-(0)662-8044-5310 Fax:

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k.

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k. 25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer

Mehr

Teilbarkeit von natürlichen Zahlen

Teilbarkeit von natürlichen Zahlen Teilbarkeit von natürlichen Zahlen Teilbarkeitsregeln: Die Teilbarkeitsregeln beruhen alle darauf, dass man von einer Zahl einen grossen Teil wegschneiden kann, von dem man weiss, dass er sicher durch

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null)

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null) Algebra und Zahlentheorie Vorlesung Algebra und Zahlentheorie Leitfaden 1 Zahlentheorie in Z Bezeichnungen: Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (ganze Zahlen) und N := {1, 2, 3,...} (natürliche Zahlen

Mehr

Probabilistische Primzahltests

Probabilistische Primzahltests Probabilistische Primzahltests Daniel Tanke 11. Dezember 2007 In dieser Arbeit wird ein Verfahren vorgestellt, mit welchem man relativ schnell testen kann, ob eine ganze Zahl eine Primzahl ist. Für einen

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

RSA-Verschlüsselung. von Johannes Becker Gießen 2006/2008

RSA-Verschlüsselung. von Johannes Becker Gießen 2006/2008 RSA-Verschlüsselung von Johannes Becker Gießen 2006/2008 Zusammenfassung Es wird gezeigt, wieso das nach Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman genannte RSA-Krptosstem funktioniert, das mittlerweile

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Kleiner Satz von Fermat

Kleiner Satz von Fermat Kleiner Satz von Fermat Satz Kleiner Satz von Fermat Sei p P. Dann gilt a p a mo p für alle a Z. Wir führen zunächst eine Inuktion für a 0 urch. IA a = 0: 0 p 0 mo p. IS a a+1: Nach vorigem Lemma gilt

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

KAPITEL 0. Einführung

KAPITEL 0. Einführung Lineare Algebra KAPITEL 0 Einführung Dieses Skript zur Vorlesung Lineare Algebra an der Goethe Universität Frankfurt im Sommersemester 2011 befindet sich noch in der Entstehung und wird fortlaufend aktualisiert

Mehr

2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen

2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2012 61 2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Bei der Konstruktion der Restklassengruppe Z/mZ hatten wir auf der Gruppe Z mit Hilfe einer Untergruppe mz eine

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) Wie kann man beweisen, dass (H, )

Mehr

Primzahlzertifikat von Pratt

Primzahlzertifikat von Pratt Primzahlzertifikat von Pratt Daniela Steidl TU München 17. 04. 2008 Primzahltests in der Informatik "Dass das Problem, die Primzahlen von den Zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren

Mehr

7 Der so genannte chinesische Restsatz

7 Der so genannte chinesische Restsatz 7 Der so genannte chinesische Restsatz Der Chinese Sun Tsu stellte, so wird berichtet, in seinem Buch Suan-Ching ua die folgende Aufgabe: Wir haben eine gewisse Anzahl von Dingen, wissen aber nicht genau

Mehr

Algebra I Wintersemester 2006/07

Algebra I Wintersemester 2006/07 Algebra I Wintersemester 2006/07 Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter Fassung vom 31. Januar 2007 Dies ist ein Vorlesungsskript und kein Lehrbuch. Mit Fehlern muss gerechnet werden! Math. Institut 0341-97

Mehr

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 5 Invariantenringe zu Untergruppen Proposition 5.1. Es sei R G R eine Operation einer Gruppe G auf einem kommutativen Ring durch

Mehr

Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker

Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam Inhaltsverzeichnis Vorwort

Mehr

Diplomarbeit: FGC-Ringe und der Satz über Geschachtelte Basen

Diplomarbeit: FGC-Ringe und der Satz über Geschachtelte Basen Diplomarbeit: FGC-Ringe und der Satz über Geschachtelte Basen Nicole Hülsmann Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Notationen 5 1 FGC-Ringe 6 1.1 Grundlagen............................ 6 1.2

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12

Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12 1 Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12 Ergänzungsskript zum Kapitel 4.2. Hinweis: Dieses Manuskript ist nur verständlich und von Nutzen für Personen, die regelmäßig und aktiv die zugehörige Vorlesung

Mehr

Elementare Zahlentheorie (Version 1)

Elementare Zahlentheorie (Version 1) Elementare Zahlentheorie (Version (Winter Semester, 2005-6 Zur Notation N ist die Menge der natürlichen Zahlen:, 2, 3, 4, 5,... und so weiter. Z ist die Menge aller ganzen Zahlen:..., 4, 3, 2,, 0,, 2,

Mehr

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Ulrich Loup 24.03.2006 Prüfungsstoff: Alegebra I, Analysis IV, Graphentheorie I Prüfer: Prof. Dr. Wilhelm Plesken Protokollant: Dipl.

Mehr

Kommutative Algebra. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014. 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1. 1 Noethersche Ringe 5

Kommutative Algebra. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014. 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1. 1 Noethersche Ringe 5 Kommutative Algebra Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014 Inhaltsverzeichnis 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1 1 Noethersche Ringe 5 2 Moduln über Ringen und exakte Sequenzen 7 3 Lokalisierungen

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Zuerst einige Bemerkungen zum Punkteschema. Eine vollständige und korrekte Lösung einer Aufgabe ist jeweils 7 Punkte wert. Für komplette Lösungen mit kleineren Fehlern

Mehr

Das RSA-Kryptosystem

Das RSA-Kryptosystem www.mathematik-netz.de Copyright, Page 1 of 12 Das RSA-Kryptosystem Um dieses Dokument verstehen zu können benötigt der Leser nur grundlegende Kenntnisse der Algebra und ein gewisses mathematisches Verständnis.

Mehr

Pratts Primzahlzertifikate

Pratts Primzahlzertifikate Pratts Primzahlzertifikate Markus Englert 16.04.2009 Technische Universität München Fakultät für Informatik Proseminar: Perlen der Informatik 2 SoSe 2009 Leiter: Prof. Dr. Nipkow 1 Primzahltest Ein Primzahltest

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Algebra. Professor Walter Gubler

Algebra. Professor Walter Gubler Algebra Professor Walter Gubler 29. April 2010 2 Inhaltsverzeichnis I Algebra I 11 I Gruppentheorie 13 I.1 Gruppen................................... 13 I.1.1 Denition einer Gruppe.......................

Mehr

Einleitung Shor s Algorithmus Anhang. Thomas Neder. 19. Mai 2009

Einleitung Shor s Algorithmus Anhang. Thomas Neder. 19. Mai 2009 19. Mai 2009 Einleitung Problemstellung Beispiel: RSA Teiler von Zahlen und Periode von Funktionen Klassischer Teil Quantenmechanischer Teil Quantenfouriertransformation Algorithmus zur Suche nach Perioden

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Das RSA-Verfahren. Armin Litzel. Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009

Das RSA-Verfahren. Armin Litzel. Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 Das RSA-Verfahren Armin Litzel Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 1 Einleitung RSA steht für die drei Namen Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman und bezeichnet ein von diesen Personen

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1

Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1 Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1 1 Primzahltest 1.1 Motivation Primzahlen spielen bei zahlreichen Algorithmen, die Methoden aus der Zahlen-Theorie verwenden, eine zentrale Rolle. Hierzu

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

2 Algebraische Grundstrukturen

2 Algebraische Grundstrukturen 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 1 8. November 2002 2 Algebraische Grundstrukturen Definitionen. Eine binäre Operation (binary operation) oder zweistellige Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung

Mehr

Karl-Heinz Zimmermann. Diskrete Mathematik. Books on Demand

Karl-Heinz Zimmermann. Diskrete Mathematik. Books on Demand Diskrete Mathematik Karl-Heinz Zimmermann Diskrete Mathematik Books on Demand Prof. Dr. Karl-Heinz Zimmermann TU Hamburg-Harburg 21071 Hamburg Germany Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

Oft kommt es darauf an, Potenzen a n mod m zu berechnen. Dabei kann n eine sehr groÿe Zahl sein.

Oft kommt es darauf an, Potenzen a n mod m zu berechnen. Dabei kann n eine sehr groÿe Zahl sein. Oft kommt es darauf an, Potenzen a n mod m zu berechnen. Dabei kann n eine sehr groÿe Zahl sein. 3 1384788374932954500363985493554603584759389 mod 28374618732464817362847326847331872341234 Wieso kann ein

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Hans Kurzweil. Endliche Körper. Verstehen, Rechnen, Anwenden. Zweite, überarbeitete Auflage

Hans Kurzweil. Endliche Körper. Verstehen, Rechnen, Anwenden. Zweite, überarbeitete Auflage Springer-Lehrbuch Hans Kurzweil Endliche Körper Verstehen, Rechnen, Anwenden Zweite, überarbeitete Auflage 123 Prof. Dr. Hans Kurzweil Mathematisches Institut Friedrich-Alexander-Universität Bismarckstraße

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 11: Abstrakte Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt: A

Mehr

Zahlentheoretische Grundlagen der Public-Key Kryptographie und deren Behandlung im Mathematikunterricht

Zahlentheoretische Grundlagen der Public-Key Kryptographie und deren Behandlung im Mathematikunterricht Zahlentheoretische Grundlagen der Public-Key Kryptographie und deren Behandlung im Mathematikunterricht Erik Einhaus Schriftliche Hausarbeit im Fach Mathematik Referent: Prof. Dr. Michael Hortmann Korreferent:

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Elementare Kryptographie

Elementare Kryptographie Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Mathematik Elementare Kryptographie Kai Gehrs gehrs@mupad.de Paderborn, 9. Juli 2007 Inhaltsverzeichnis Grundlagen:

Mehr

SAGE-Crashkurs SoSe 2009

SAGE-Crashkurs SoSe 2009 SAGE-Crashkurs SoSe 2009 Lars Fischer (lars. fischer (an der) uni - siegen. de) Diese Zusammenstellung erläutert die wichtigsten Dinge, um SAGE in der Zahlentheorie- Vorlesung zum Lösen der ersten Übungsblätter

Mehr

Kapitel II Ringe. 1 Grundbegriffe. 1.1 Definition eines Rings

Kapitel II Ringe. 1 Grundbegriffe. 1.1 Definition eines Rings Kapitel II Ringe Eine zentrale Aufgabe der Algebra ist es, Aussagen über die Nullstellen von Polynomen zu machen. Für den Umgang mit Polynomen ist es nützlich, die abstrakten Hintergründe der Addition

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung Source coding is what Alice uses to save money on her telephone bills. It is usually used for data compression, in other words, to make messages shorter. John Gordon 3 Quellencodierung 3. Einleitung Im

Mehr

Elementare Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie Elementare Zahlentheorie Prof. Dr. L. Kramer WWU Münster, Sommersemester 2009 Vorlesungsmitschrift von Christian Schulte zu Berge 27. Juli 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Primzerlegung 3 1.1 Grundlagen.............................................

Mehr

Lehrstuhl für Mathematik II Algebraische Kombinatorik, Diskrete Strukturen Prof. Dr. Adalbert Kerber. Bachelor-Thesis

Lehrstuhl für Mathematik II Algebraische Kombinatorik, Diskrete Strukturen Prof. Dr. Adalbert Kerber. Bachelor-Thesis Universität Bayreuth Fakultät für Mathematik und Physik Lehrstuhl für Mathematik II Algebraische Kombinatorik, Diskrete Strukturen Prof. Dr. Adalbert Kerber Bachelor-Thesis zur Erlangung des Grades Bachelor

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010 Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr