Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

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1 Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten: Erstens sind sie kommutativ und nicht-trivial. Zweitens ist das Produkt zweier Elemente ungleich Null immer ungleich Null. Drittens, und das ist wirklich das Besondere, gibt es Größenfunktion oder wie man allgemein sagt Gradfunktion (den Absolutbetrag für Z und den Grad für K[X]). Bezüglich dieser Gradfunktion gibt es eine Division mit Rest und ist das Produkt zweier Element ist größer-gleich den Faktoren. Einen Ring mit diesen Eigenschaften nennt man einen Euklidischen Ring. In diesem Abschnitt geht es hauptsächlich um solche Ringe. Ideale und Teilbarkeit Wir beginnen mit einer grundlegenden Betrachtung über Ringe: Sei R ein Ring und U eine Untegruppe von (R, +). Dann haben wir ja die Faktorgruppe R/U (mit der induzierten Addition [a] U +[b] U = [a+b] U ). Es stellt sich die folgende Frage: Wann gibt es eine Verknüpfung : R/U R/U R/U mit [a] U [b] U = [a b] U für alle a, b R? Man sagt: Wann induziert die Multiplikation auf R eine Verknüpfung auf R/U? Die Antwort liefert die folgende Aussage. Aussage 4.1 Seien R und U wie oben. Dann induziert die Multiplikation auf R genau dann eine Verknüpfung auf R/U, wenn r R a U : ra U ar U. 183

2 184 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Falls dies der Fall ist, ist R/U mit der induzierten Addition und der Verknüpfung als Multiplikation ein Ring, und die kanonische Abbildung R R/U, r [r] U ist ein Ringhomomorphismus. Beweis. Es existiere zunächst die Verknüpfung. Dann gilt für a U und r R: [ar] U = [a] U [r] U = [0] U [r] U = [0 r] U = [0] U und damit ar U. Analog zeigt man ra U. Es gelte nun die angegebene Bedingung. Seien a, a R mit a U a und b U b. Dann ist ab a b = ab a b+a b a b = (a a ) b+a (b b ) U, da nach Voraussetzung (a a ) b und a (b b ) in U liegen. Die weiteren Aussagen sind einfach. Definition Eine Untergruppe I von R mit der Eigenschaft r R a I : ra I ar I heißt Ideal von R. Wenn I ein Ideal von R ist, heißt der Ring R/I Restklassenring von R modulo I. Sei nun S ein weiterer Ring und ϕ : R S ein Ringhomomorphismus. Der Kern von ϕ ist per Definition der Kern von ϕ aufgefasst als Homomorphismus von abelschen Gruppen, d.h. Kern(ϕ) = {r R ϕ(r) = 0 S }. Man sieht sofort, dass Kern(ϕ) ein Ideal in R ist. Wir haben nun die induzierte Abbildung ϕ : R/ Kern(ϕ) S mit ϕ([r] U ) = ϕ(r) für alle r R. Diese Abbildung ist injektiv und ein Homomorphismus von Ringen. Wir beschäftigen uns im Folgenden nur mit kommutativen Ringen. Sei also R kommutativ. Beispiel 4.2 Seien a 1,...,a k R. Dann ist die Menge {r 1 a 1 + r k a k r 1,..., r k R} ein Ideal von R. Es ist (bzgl. der Inklusion) das kleinste Ideal von R, das die Elemente a 1,...,a k enthält. Dieses Ideal heißt das von a 1,..., a k erzeugte Ideal. Es wird mit (a 1,..., a k ) bezeichnet. Wenn wir nur ein Element nehmen, sagen wir a R, erhalten wir das so genannte von a erzeugte Hauptideal (a) = a R. Konkret ist das von einer natürlichen Zahl n erzeugte Ideal in Z gleich n Z, und der Restklassenring modulo n, Z/nZ = Z/(n), ist ein Spezialfall eines Restklassenrings modulo eines Ideals. Achtung: Das Tupel von Elementen (a 1,...,a k ) und das von a 1,...,a k erzeugte Ideal werden genau gleich bezeichnet, sind aber unterschiedlich.

3 4.1. EUKLIDISCHE RINGE 185 Definition Seien a, b R. Dann sagen wir, dass das Element a das Element b teilt, a b, falls ein c R mit ca = b existiert. In diesem Fall sagen wir auch, dass a ein Teiler von b ist. Bemerkung Für a, b R gilt a b genau dann, wenn b (a) d.h. wenn (b) (a). Bemerkung Teilbarkeit ist eine reflexive und transitive Relation. Für Z, K[X] (K ein Körper) und viele weitere Ringe ist sie aber nicht antisymmetrisch und somit keine Ordnungsrelation. Definition Ein Element aus R (der multiplikativen Gruppe des Rings) heißt auch eine Einheit von R. Somit ist a R genau dann eine Einheit, wenn 1 (a) ist, und dies ist äquivalent zu (a) = (1), d.h. (a) = R. Definition Ein Nullteiler in R ist ein Element a R {0}, so dass ein Element b R {0} mit ab = 0 existiert. Ein kommutativer Ring ohne Nullteiler heißt nullteilerfrei. Ein Integritätsring bzw. Integritätsbereich ist ein kommutativer nullteilerfreier Ring R mit 0 R 1 R (bzw. mit R {0 R }). Achtung: In jedem Ring teilt jedes Element die 0. Das folgt direkt aus der Definition von teilt. Die Aussage r teilt 0 sollte man nicht in r ist ein Nullteiler unformulieren. Das wäre falsch. Bemerkung Ein Ring ist genau dann eine Integritätsbereich, wenn R {0} ein Untermonoid von (R, ) ist. Lemma 4.3 Sei R ein Integritätsbereich, und seien a, b R. Dann sind äquivalent: a b und b a (a) = (b) ǫ R : b = ǫa.

4 186 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Beweis. Die Äquivalenz der ersten beiden Aussagen ist offensichtlich. Wir wollen, zeigen, dass die zweite und die dritte Aussage äquivalent sind. Sei (a) = (b). Dann gibt es c, d R: b = ca, a = db. Nun ist dca = db = a, also (dc 1)a = 0. Da R nullteilerfrei ist, folgt dc = 1. Die Rückrichtung ist einfach. Definition Wenn zwei Elemente a, b in einem Integritätsbereich die Bedingungen im obigen Lemma erfüllen, heißen sie assoziiert zueinander. Wir schreiben dann a b. Wenn a ein Teiler von b ist aber die Elemente nicht assoziiert zueinander sind, sagen wir, dass a ein echter Teiler von b ist. Offensichtlich ist Assoziiertheit eine Äquivalenzrelation auf dem Ring. Beispiele 4.4 In Z sind zwei Elemente genau dann assoziiert zueinander, wenn sie denselben Absolutbetrag haben. Ein Repräsentantensystem der Äquivalenzrelation Assoziiertheit auf Z {0} wird hier durch die natürlichen Zahlen (die Elemente in N) gegeben. In K[X], K ein Körper, sind zwei Elemente (Polynome) f, g genau dann assoziiert zueinander, wenn es eine Konstante c K mit g = cf gibt. In K[X] {0} bilden die normierten Polynome ein Repräsentatensystem. Bemerkung Wie schon gesagt ist Teilbarkeit nicht für jeden Ring eine Ordnungsrelation. Aber wenn man Teilbarkeit auf ein Repräsentatensystem der Relation Assoziiertheit einschränkt, erhält man eine Ordnungsrelation. Alternativ kann man zur durch Assoziiertkeit definierten Partition übergehen. Hierauf induziert dann Teilbarkeit eine Ordungsrelation. Man kann aber auch einfach so mit der Relation Teilbarkeit arbeiten. Definition Sei R ein Integritätsbereich. Eine Gradfunktion auf R ist eine Abbildung δ : R N 0 { }, so dass für alle a, b R mit b 0 Elemente q, r R mit a = qb + r und δ(r) < δ(b) existieren, für alle a, b R {0} δ(a) δ(ab) gilt. Ein Euklidischer Ring ist ein Integritätsbereich, auf dem eine Gradfunktion existiert.

5 4.1. EUKLIDISCHE RINGE 187 Die Bezeichnung δ deutet übrigens auf degree hin. Achtung: Die Gradfunktion ist nicht Bestandteil der Struktur des Euklidischen Rings. Es ist also nicht so wie z.b. bei Euklidischen Vektorräumen, welche Tupel von Vektorräumen und Skalarprodukten sind. Verlangt wird nur, dass eine Gradfunktion existiert. Die Standardbeispiele für Euklidische Ring sind, wie bereits erwählt, Z und die Polynomringe K[X], wobei K ein Körper ist. (Wie man die Unbestimmte bezeichnet, spielt natürlich keine Rolle.) Für Z kann man als Gradfunktion den Absolutbetrag nehmen und für K[X] die normale Gradfunktion (mit Grad(0) := ). Es gibt übrigens abweichende Definitionen von Gradfunktion. Die zweite Bedingung wird oft weggelassen (das ist eine starke Änderung), und der 0 wird manchmal kein Element zugeordnet (das ist eine geringfügige Änderung). Dementsprechend werden auch Euklidische Ringe unterschiedlich definiert. Lemma 4.5 Sei R ein Euklidischer Ring mit einer Gradfunktion δ, und seien a, b R mit a b. Dann sind äquivalent: a) a b b) δ(a) = δ(b) Beweis. Wenn a b gilt, ist nach Definition δ(a) δ(b) und δ(b) δ(a). Es gelte nun δ(a) = δ(b) (und sowieso a b). Sei c R mit ca = b. Seien q, r R mit a = qb + r und δ(r) < δ(b) = δ(a). Dann ist also a = qca + r und somit (1 qc) a = r. Wenn nun 1 qc 0 wäre, wäre δ(a) δ(r), ein Widerspruch. Also ist 1 qc = 0 bzw. qc = 1. Somit ist also c eine Einheit, d.h. a b. Aussage 4.6 Sei R ein Euklidischer Ring mit einer Gradfunktion δ, und sei I ein nicht-triviales Ideal in R. Sei a I, so dass δ(a) = min{δ(b) b I {0}}. Dann ist I = (a). Beweis. Da a I gilt auch (a) I. Sei nun b I. Dann gibt es q, r R mit b = qa + r und δ(r) < δ(a). Es gilt nun r = b qa I. Aus der Definition von a folgt r = 0 also b = qa. Wir haben soeben bewiesen, dass jedes Ideal in einem Euklidischen Ring ein Hauptideal ist.

6 188 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Definition Ein Hauptidealring oder Hauptidealbereich ist ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Somit ist also jeder Euklidische Ring ein Hauptidealring. Aussage 4.7 Sei R ein Hauptidealring, und seien a 1,...,a k R, nicht alle gleich 0. Sei ferner a R. Dann sind äquivalent: a) (a 1,...,a k ) = (a) b) a a 1,...,a a k und es existieren s 1,..., s k R mit s 1 a s k a k = a. c) a a 1,...,a a k und für alle b R mit b a 1,...,b a k gilt b a. Je zwei Elemente a, a mit den obigen Eigenschaften sind zueinander assoziiert. Wenn R ein Euklidischer Ring mit einer Gradfunktion δ ist, sind die obigen Bedingungen äquivalent zu: a a 1,...,a a k und δ(a) = max{δ(b) b a 1,...,b a k }. Beweis. Aussagen a) und b) sind offensichtlich äquivalent. a) c). Es gelte a) und es sei b wie in c). Dann gilt a 1,..., a k (b) und somit (a) = (a 1,..., a k ) (b). Also ist a (b) bzw. b a. c) a). Es gelte c). Dann gilt sicher (a 1,...,a k ) (a). Es sei b R mit (a 1,...,a k ) = (b). (Wir benutzen, dass R ein Hauptidealring ist.) Dann gilt also b a 1,...,b a k. Somit gilt b a. Also gilt (a) (b) = (a 1,...,a k ). Insgesamt gilt also (a 1,...,a k ) = (a). Nach a) ist es offensichtlich, dass je zwei solche Elemente a, a zueinander assoziiert sind. Sei nun R Euklidisch mit Gradfunktion δ. Es gelten zunächst die ersten Bedingungen. Dann ist max{δ(b) b a 1,...,b a k } = max{δ(b) b a} = δ(a). Es gelte nun die angebene Bedingung. Dann ist zunächst (a 1,...,a k ) (a). Sei a R mit (a ) = (a 1,...,a k ). Dann gilt also (a ) (a), d.h. a (a), d.h. a a. Ferner ist, wie soeben gezeigt, max{δ(b) b a 1,...,b a k } = δ(a ), d.h. δ(a) = δ(a ). Mit Lemma 4.5 folgt: (a) = (a ) = (a 1,..., a k ). Dies motiviert: Definition Sei R ein Integritätsbereich und seien a 1,...,a k R, nicht alle gleich 0. Ein Element g R mit (g) = (a 1,...,a k ) heißt ein größter gemeinsamer Teiler (ggt) von a 1,...,a k.

7 4.1. EUKLIDISCHE RINGE 189 Bemerkung und Notation Wenn g ein ggt von a 1,...,a k ist, dann sind genau die zu g assoziierten Elemente alle ggts von a 1,...,a k. Es gibt also in der Regel nicht den ggt. Nichtsdestoweniger schreibt man: ggt(a 1,...,a k ) = g, wenn g ein ggt von a 1,...,a k ist. Besser ist allerdings die uneindeutige Aussage (g) = (a 1,..., a k ). Wir nehmen nun an, dass wir ein Repräsentantensystem der Relation Assoziiertheit ausgewählt haben. Dann gibt es zu jedem System a 1,..., a k wie oben genau einen ggt in dem Repräsentantensystem, und oftmals meint man mit dem ggt dann denjenigen ggt in dem Repräsentatensystem (z.b. eine natürliche Zahl oder ein normiertes Polynom). Auf dem Repräsentatensystem ist ja Teilbarkeit eine Äquivalenzrelation. Wenn nun a 1,..., a k aus dem Repräsentantensystem sind und g der ggt von a 1,..., a k aus dem Repräsentantenystem ist, dann ist g das größte Element, das a 1,...,a k teilt im Sinne der allgemeinen Definition von größtem Element. Alternativ kann man die Definition von größten Elementen auf reflexive und transitive Relationen ausweiten. Dann ist ein ggt von a 1,...,a k ein größtes Element, das a 1,..., a k teilt. Der Euklidische Algorithmus Der Euklidische Algorithmus ist ein Algorithmus, um den ggt zweier Elemente in einem Euklidischen Ring explizit auszurechnen. Sei hierzu R ein Euklidischer Ring mit einer Gradfunktion δ. Die Grundidee ist die folgende: Seien a, b R {0}. Wir betrachten nun die Division mit Rest: a = qb + r mit δ(r) < δ(b). Nun gibt es zwei Fälle: Entweder r = 0. Dann ist b ein Teiler von a und ggt(a, b) = b. Oder r 0. Dann ist (a, b) = (b, r), denn: a (b, r) und r (b, a) und somit (a, b) (b, r) und (b, r) (a, b). Somit ist ggt(a, b) = ggt(b, r). (Man beachte die Symbolik: Wir behaupten nicht, dass es einen einzigen ggt gibt, aber wenn wir einen ggt von a, b haben, dann haben wir auch einen von b, r und umgekehrt.) Nun kann man a, b durch b, r ersetzen und das Vefahren iterieren. Da die Reste immer kleiner werden, gelangt man irgendwann zum ggt von a und b. Sei nun g ein ggt von a und b. Dann gibt es wie oben bemerkt Elemente c, d R mit ca + db = g. Mit dem so genannten erweiterten Euklidischen Algorithmus kann man solche Elemente ausrechnen.

8 190 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Nehmen wir an, dass wir mit den Euklidischen Algorithmus das Folgende berechnet haben: a = p 1 b + r 1 b = p 2 r 1 + r 2 r 1 = p 3 r 2 + r 3. r k 3 = p k 1 r k 2 + r k 1 r k 2 = p k r k Dann ist also ggt(a, b) = ggt(b, r 1 ) = ggt(r 1, r 2 ) = = ggt(r k 2, r k 1 ) = r k 1. Die Idee ist, von unten nach oben zurückzurechnen. Wir haben ggt(a, b) = r k 1 = r k 3 p k 1 r k 2. Nun substituieren wir r k 2 mittels der Zeile darüber. Wir erhalten eine Darstellung der Form ggt(a, b) = c k 4 r k 4 + d k 4 r k 3 mit gewissen Ringelementen c k 4, d k 4. Wenn wir so fortfahren, erhalten wir Darstellungen ggt(a, b) = c i r i + d i r i+1 mit gewissen c i, d i Z für alle i 1. Ausgehend von ggt(a, b) = c 1 r 1 + d 1 r 2 liefert eine Substitution von r 2 mittels der zweiten Zeile eine Darstellung ggt(a, b) = c 0 b + d 0 r 1, und eine weitere Substitution mittels der ersten Zeile liefert eine Darstellung wie gewünscht. Faktorisierung ggt(a, b) = ca + db, Definition Sei R ein Integritätsbereich und sei r R. r ist irreduzibel, falls r nicht 0 und keine Einheit ist und es gilt: s R : s r s r s R r ist prim, falls r nicht 0 und keine Einheit ist und es gilt: a, b R : r ab r a r b

9 4.1. EUKLIDISCHE RINGE 191 Bemerkung Eine Primzahl ist also per Definition ein irreduzibles Element im Ring Z, das in N liegt. Wir werden sogleich sehen, dass Primzahlen auch prim im Sinne der obigen Definition sind. Bemerkung Wenn r prim ist und r ein Produkt beliebig vieler Faktoren teilt, dann teilt r auch einen Faktor. Dies sieht man sofort aus der Definition. Lemma 4.8 Jedes Primelement in einem Integritätsbereich ist auch irreduzibel. Beweis. Sei R ein Integritätsbereich und p R prim. Sei nun s p mit s / R. Dann gibt es also ein a R mit as = p; wir fixieren so ein a. Es gilt nun p s oder p a. Wir nehmen zuerst an, dass p a gilt. Dann gibt es ein c R mit cp = a. Mit so einem c ist nun scp = p und somit sc = 1. Hiermit ist s eine Einheit, ein Widerspruch. Es gilt also p s. Sei d R mit dp = s. Dann ist dap = p, also ad = 1. Hiermit ist a eine Einheit und somit s p. Satz 4.1 Sei R ein Hauptidealring und r R. Dann ist r genau dann irreduzibel, wenn es prim ist. Beweis. Die eine Richtung haben wir schon gezeigt. Sei nun r irreduzibel und seien a, b R mit r ab. Sei s R mit s = ggt(r, a), d.h. (s) = (r, a). Wir nehmen an, dass r a ist und wollen zeigen, dass dann b r gilt. Nun ist (r, a) echt größer als (r) und somit s / (r) bzw. r s. Damit ist s ein echter Teiler von r, also ist s eine Einheit und (r, a) = (1) = R. Hieraus folgt: b (b) = b (1) = b (r, a) = (br, ba) = (br, ab). Da sowohl br als auch ab Vielfache von r sind, folgt, dass jedes Element in (br, ab) ein Vielfaches von r ist. Somit ist auch b ein Vielfaches von r. Dieser Satz zeigt auch Lemma Wir wollen nun die eindeutige Primfaktorzerlegung in Euklidischen Ringen beweisen, also insbesondere in Z und K[X], K ein Körper, beweisen. Wir wählen bezüglich der Äquivalenzrelation Assoziiertheit in jeder Äquivalenzklasse primer Elemente genau eins aus. (Wir wählen ein Repräsentationsystem.) Sei P so eine Menge. Die folgenden Beispiele sollte man im Kopf behalten: Im Ring Z ist es natürlich, die Primzahlen auszuwählen. Im Ring K[X], K ein Körper, ist es natürlich, die normierten irreduziblen Polynome auszuwählen. Es gilt nun:

10 192 KAPITEL 4. EUKL. RINGE, JORDANSCHE NORMALFORM Satz 4.2 Sei R ein Euklidischer Ring und sei P eine Menge wie beschrieben. Sei nun r R. Dann gibt es k N 0 und Elemente p 1,...,p k P, ǫ R mit r = ǫp 1 p k. So eine Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der p i. Beweis. Sei δ eine Gradfunktion auf R. Beachten Sie, dass aus Lemma 4.5 folgt: Für a, b R, wobei a ein echter Teiler von b ist, ist δ(a) < δ(b). Die Existenz folgt nun sofort per Induktion über den Grad. Zur Eindeutigkeit: Es gelte ǫp 1 p k = ǫ p 1 p k mit ǫ, ǫ R und p i, p i R. Da p k prim ist, gibt es ein i = 1,...,k mit p k p i. Hieraus folgt dann sofort p k = p i. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass i = k. Hiermit ist ǫ p 1...p k 1 = ǫ p 1 p k 1. Aus diesen Überlegungen folgt der Satz per Induktion nach k. Wir haben also bewiesen, dass es sowohl im Ring Z als auch in dem Ringen K[X], K ein Körper, eindeutige Primfaktorzerlegung gibt. Wir diskutieren noch Varianten der Notation der Primfaktorzerlegung. Seien hierzu R und P wie oben. Man kann die eindeutige Primfaktorzerlegung auch so ausdrücken: Zu r R {0} gibt es ǫ R, p 1,..., p k P, wobei die p i paarweise verschieden sind, sowie e 1,..., e k N, so dass r = p e 1 1 p e k k. Wiederum ist die Darstellung eindeutig bis auf die Reihenfolge. Eleganter ist die folgende Vorgehensweise: Sei für eine Menge X N (X) 0 die Menge der Abbildungen von X nach N 0, die nur für endlich viele x X ungleich Null sind. D.h. N (X) 0 = {(n x ) x X es gibt nur endlich viele x X mit n x 0}. Dies ist ein Untermonoid des Monoids N X 0 mit der komponentenweisen Addition. Sei nun (n p ) N (P) 0. Dann gilt ja für alle bis auf endlich viele p P p np = 1. Wir definieren nun als dasjenige Element in R, das man pnp erhält, wenn man alle Elemente p np, die nicht 1 sind, aufmultipliziert. (Also, P kann unendlich groß sein, aber es gibt immer nur endlich viele p np, die ungleich 1 sind, und hierüber wird das Produkt gebildet.) Es gilt nun für (n p ), (n p ) N (P) 0 : p np p n p = p np+n p Man erhält, dass die Abbildung N (P) 0 R {0}, (n p ) ein pnp Homomorphismus von Monoiden von (N (P) 0, +) nach (R {0}, ) ist.

11 4.2. DIE JORDANSCHE NORMALFORM 193 Die Aussage des Satzes ist nun: Zu r R {0} gibt es eine eindeutig bestimmte Einheit ǫ und einen eindeutig bestimmtes Tupel von Exponenten (e p ) mit r = ǫ p ep. Man kann dies auch so formulieren: Die Abbildung R N (P) 0 R {0}, (ǫ, (n p ) ) ǫ ist ein Isomorphismus von Monoiden. Mit dieser Darstellung haben wir übrigens auch für beliebige (e p ) N (P) 0, (e p ) N (P) 0 : ggt ( ) = p min{ep,e p }, wie man leicht sieht. p ep, p e p 4.2 Die Jordansche Normalform Wir kehren zur Linearen Algebra zurück. Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum der Dimension n und ϕ ein Endomorphismus von V. Wie schon in Abschnitt 2.11 besprochen, können wir ϕ in Polynome in K[T] einsetzen und erhalten wieder einen Endomorphismus von V. Wir erinnern uns: Die Abbildung K[T] End K (V ), f f(ϕ) ist ein Homomorphismus von K-Vektorräumen und von Ringen. Ferner ist die Abbildung nicht injektiv, weil End K (V ) die Dimension n 2 hat und K[T] nicht endlich erzeugt ist. Definition Das Minimalpolynom von ϕ, µ ϕ, ist das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades f K[T] mit f(ϕ) = 0. Anders ausgedrückt: Das Minimalpolynom von ϕ ist das eindeutig bestimte normierte Polynom kleinsten Grades im Kern des Homomorphismus K[T] End K (V ). Dieser Kern ist ein Ideal in K[T], und nach Aussage 4.6 wissen wir: Das Minimalpolynom erzeugt den Kern. Mit anderen Worten: Lemma 4.9 Sei f K[T] mit f(ϕ) = 0. Dann teilt µ ϕ das Polynom f. p np

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