Eine Menge K, auf der eine Addition. + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Körper 1-1

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1 Körper Eine Menge K, auf der eine Addition + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Körper 1-1

2 Körper Eine Menge K, auf der eine Addition + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Additive Gruppenstruktur: (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (Nullelement), Körper 1-2

3 Körper Eine Menge K, auf der eine Addition + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Additive Gruppenstruktur: (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (Nullelement), d.h. für alle a, b K gilt a + b = b + a Körper 1-3

4 Körper Eine Menge K, auf der eine Addition + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Additive Gruppenstruktur: (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (Nullelement), d.h. für alle a, b K gilt a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) Körper 1-4

5 Körper Eine Menge K, auf der eine Addition + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Additive Gruppenstruktur: (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (Nullelement), d.h. für alle a, b K gilt a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a Körper 1-5

6 Körper Eine Menge K, auf der eine Addition + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Additive Gruppenstruktur: (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (Nullelement), d.h. für alle a, b K gilt a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a a + ( a) = 0 wobei ( a) das inverse Element zu a bezeichnet. Körper 1-6

7 Multiplikative Gruppenstruktur: (K\{0}, ) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 (Einselement), Körper 1-7

8 Multiplikative Gruppenstruktur: (K\{0}, ) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 (Einselement), d.h. für alle a, b, c K\{0} gilt a b = b a Körper 1-8

9 Multiplikative Gruppenstruktur: (K\{0}, ) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 (Einselement), d.h. für alle a, b, c K\{0} gilt a b = b a (a b) c = a (b c) Körper 1-9

10 Multiplikative Gruppenstruktur: (K\{0}, ) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 (Einselement), d.h. für alle a, b, c K\{0} gilt a b = b a (a b) c = a (b c) a 1 = a Körper 1-10

11 Multiplikative Gruppenstruktur: (K\{0}, ) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 (Einselement), d.h. für alle a, b, c K\{0} gilt a b = b a (a b) c = a (b c) a 1 = a a a 1 = 1 wobei a 1 das inverse Element zu a bezeichnet. Körper 1-11

12 Multiplikative Gruppenstruktur: (K\{0}, ) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 (Einselement), d.h. für alle a, b, c K\{0} gilt a b = b a (a b) c = a (b c) a 1 = a a a 1 = 1 wobei a 1 das inverse Element zu a bezeichnet. Distributivgesetz: a (b + c) = a b + a c für alle a, b, c K. Körper 1-12

13 Beispiel: Q R C Nullelement: 0 und Einselement: 1 Körper 2-1

14 Beispiel: Q R C Nullelement: 0 und Einselement: 1 Inverses Element bezüglich der Multiplikation einer komplexen Zahl z = x + iy 0 : x w = x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2 Körper 2-2

15 Beispiel: Q R C Nullelement: 0 und Einselement: 1 Inverses Element bezüglich der Multiplikation einer komplexen Zahl z = x + iy 0 : x w = x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2 denn z w = (x +iy) ( ) x x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2 Körper 2-3

16 Beispiel: Q R C Nullelement: 0 und Einselement: 1 Inverses Element bezüglich der Multiplikation einer komplexen Zahl z = x + iy 0 : x w = x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2 denn z w = (x +iy) ( ) x x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2 = x 2 i 2 y 2 x 2 + y 2 + yx +i xy x 2 + y 2 Körper 2-4

17 Beispiel: Q R C Nullelement: 0 und Einselement: 1 Inverses Element bezüglich der Multiplikation einer komplexen Zahl z = x + iy 0 : x w = x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2 denn z w = (x +iy) ( ) x x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2 = x 2 i 2 y 2 x 2 + y 2 + yx +i xy x 2 + y 2 = 1+i0 Körper 2-5

18 Beispiel: Verknüpfungstabellen der Addition und Multiplikation für den Galois-Körper GF[2 2 ] mit 4 Elementen a b a b b a a a b 0 1 b b a 1 0 Körper 3-1

19 Beispiel: Verknüpfungstabellen der Addition und Multiplikation für den Galois-Körper GF[2 2 ] mit 4 Elementen a b a b b a a a b 0 1 b b a a b a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a Körper 3-2

20 Beispiel: Verknüpfungstabellen der Addition und Multiplikation für den Galois-Körper GF[2 2 ] mit 4 Elementen a b a b b a a a b 0 1 b b a a b a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a Konstruktion von Körpern mit p l Elementen, l N, für beliebige Primzahlen p durchführbar Körper 3-3

21 Beispiel: Verknüpfungstabellen der Addition und Multiplikation für den Galois-Körper GF[2 2 ] mit 4 Elementen a b a b b a a a b 0 1 b b a a b a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a Konstruktion von Körpern mit p l Elementen, l N, für beliebige Primzahlen p durchführbar alle endlichen Körper Körper 3-4

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