Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 3 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 4. November.

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1 Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 3 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 4. November Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Im Folgenden werden wieder einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt. Es seien G und G Gruppen. Gruppen-Homomorphismen Ein Homomorphismus von G nach G ist eine Abbildung f: G G mit f(gh) = f(g)f(h) (g,h G) Man spricht auch von einem Gruppen-Homomorphismus oder Homomorphismus von Gruppen. Es gilt f(e G ) = e G, f(g 1 ) = f(g) 1 Die Inklusions-Abbildung U G einer Untergruppe ist(offensichtlich!) ein Gruppen- Homomorphismus. Gruppen-Isomorphismen Ist ein Gruppen-Homomorphismus f: G G als Abbildung bijektiv und bezeichnet f 1 : G G die inverse Abbildung, so ist auch f 1 ein Gruppen- Homomorphismus. In diesem Fall heißt f ein Isomorphismus und die Gruppen G, G heißen isomorph, in Zeichen G G. Beispiel: Sei N Z. Die Multiplikation mit N f N : Z Z a Na ist ein Homomorphismus der Gruppe (Z,+) in sich. Für N = 1 und N = 1 ist f N ein Isomorphismus.

2 2 Produkte von Gruppen Die Produktmenge G G = {(g,g ) g G, g G } ist selbst auf natürliche Weise ein Gruppe mit Produkt Dabei gilt (g,g ) (h,h ) = (gh,g h ) e G G = (e G,e G ), (g,g ) 1 = (g 1,g 1 ) Dies verallgemeinert sich leicht auf mehrere Faktoren: Sind G 1,..., G n Gruppen, so ist n G i = G 1 G n = {(g 1,...,g n ) g i G i } i=1 wieder eine Gruppe mit Produkt (g 1,...,g n ) (h 1,...,h n ) = (g 1 h 1,...,g n h n ) Noch allgemeiner sind hier sogar beliebige Index-Mengen möglich: Es sei I irgendeine Menge und für i I sei eine Gruppe G i gegegeben. Dann ist G i = {(g i ) i I g i G i für i I} i I eine Gruppe mit Produkt (g i ) i I (h i ) i I = (g i h i ) i I Beispiel:(AusderVorlesung)EsistC n diegruppederdrehungenumdiewinkel 2πk/n (siehe Blatt 1). Die Abbildung f: C 2 C 3 C 6 f(α,β) = αβ ist ein Isomorphismus von Gruppen mit der inversen Abbildung g: C 6 C 2 C 3 g(γ) = (γ 3,γ 2 )

3 Erzeugende einer Gruppe Es sei G eine Gruppe und M G eine Teilmenge. Wir betrachten alle Produkte der Form a 1 a 2 a n G wobei für i = 1,..., n der Faktor a i in M oder sein Inverses a 1 i in M liegt. Die Anzahl n der Faktoren ist dabei beliebig. Ist n = 0, so handelt es sich um das leere Produkt, worunter man das Einselement versteht. Die Menge all dieser Produkte wird mit M bezeichnet. Sie ist eine Untergruppe von G: Die Abgeschlossenheit gegenüber Produkten ist offensichtlich, das Einselement kommt als leeres Produkt sowieso vor und das Inverse eines Produktes ist wegen (a 1 a 2 a n 1 a n ) 1 = a 1 n a 1 n 1 a 1 2 a 1 1 von der gleichen Form. M heißt die von M (oder auch: die von den Elementen von M) erzeugte Untergruppe. Man kann M auch viel kürzer beschreiben als die kleinste Untergruppe von G, die M enthält. Gilt M = G, so sagt man, daß die Elemente von M die Gruppe G erzeugen. 3 Beispiel: (Aus der Vorlesung) Die Gruppe S 3 wird erzeugt von den Elementen τ 12, σ. Sie wird auch erzeugt von den Elementen τ 12, τ 23.

4 4 Ringe Eine Ring ist eine Menge R zusammen mit Abbildungen R R R (a,b) a+b (a, b) ab (Addition) (Multiplikation, P rodukt) Dabei gelten folgende Axiome (für a, b, c R): (1) (R,+) ist eine abelsche Gruppe. (2) Distributivität: a(b+c) = ab+ac (b+c)a = ba+ca (3) Assoziativität der Multiplikation: (ab)c = a(bc) (4) Einselement: Es gibt ein Element e R mit ea = a = ae Ein Ring R heißt kommutativ wenn zusätzlich gilt: (5) Kommutativität der Multiplikation: ab = ba Das neutrale Element bzgl. Addition wird mit 0 (oder auch 0 R ) bezeichnet. Es gilt (zum Beweis siehe Vorlesung): 0 R a = 0 R = a 0 R Das Einselement e wird meist einfach mit 1 (oder auch 1 R ) bezeichnet. Wie bei Gruppen kann man zeigen, daß das Einselement eindeutig ist. Es wird 0 R 1 R nicht vorausgesetzt. Ist 0 R = 1 R, so folgt aus a = 1 R a = 0 R a = 0 R, daß der Ring dann nur aus einem einzigem Element besteht, nämlich 0 R. In diesem Fall heißt R der Nullring. Unterringe Ein Unterring eines Ringes R ist Teilmenge S R mit folgenden Eigenschaften: (1) Für a, b S gilt a b S. (2) Für a, b S gilt ab S. (3) 1 R S.

5 Ein Unterring ist selbst wieder ein Ring mit 0 S = 0 R und 1 S = 1 R. Die Gruppe (S,+) ist eine Untergruppe von (R,+). Invertierbare Elemente Ein Element a R heißt invertierbar falls ein b R existiert mit ab = ba = 1 R Man sagt b ist Inverses (Rechtsinverses und Linksinverses) von a bzgl. der Multiplikation. Wie bei Gruppen (siehe Blatt 2) sieht man, daß das Element b durch a eindeutig bestimmt ist (falls es existiert) und schreibt dafür a 1.!!! Korrektur der Vorlesung: Leichtsinnigerweise habe ich für die Invertierbarkeit von a nur die Existenz eines Elementes b mit ab = 1 R gefordert. Man muß aber noch zusätzlich ba = 1 R fordern. Bei kommutativen Ringen macht dies natürlich keinen Unterschied. Die Menge der invertierbaren Elemente eines Ringes R wird mit R (oft auch mit R ) bezeichnet: R = {a R b R : ab = ba = 1 R } Die Menge R zusammen mit der Multiplikation bildet (offensichtlich!) eine Gruppe. Sie heißt die multiplikative Gruppe des Ringes. Ist S R ein Unterring, so ist S eine Untergruppe von R. Körper Ein Ring in dem jedes von 0 verschiedene Element invertierbar ist heißt Schiefkörper. Es gilt dann also R = R\{0} Ist der Ring auch noch kommutativ, so heißt der Ring ein Körper. Ein Unterring eines Körpers, der selbst ein Körper ist, heißt Unterkörper. 5 Beispiele: Die Inklusionen Z Q R C sind Inklusionen von Unterringen bzw. Unterkörpern. Es gilt Z = {1, 1} Die Ringe Q, R, C sind Körper, es gilt also Q = Q\{0} etc.

6 6 Beispiel: (Aus der Vorlesung) Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen ist der Unterring der komplexen Zahlen Z[i] = Z+iZ = {a+ib C a,b Z} Für die multiplikative Gruppe ergibt sich Z[i] = {1, 1,i, i} Der Beweis soll hier noch einmal dargestellt werden. Es sei u = a+ib Z[i] (a,b Z,u 0) Der Ring Z[i] ist Unterring von C. Ist also u invertierbar im Unterring, so ist das Inverse auch das Inverse im Körper C und das ist ja (a+ib) 1 = a ib a 2 +b = α iβ 2 mit a α = a 2 +b 2, β = b a 2 +b 2 u ist also invertierbar genau dann wenn (a+ib) 1 in Z[i] liegt, d. h. wenn α, β ganze Zahlen sind. Wegen α 2 +β 2 1 = a 2 +b 2 ist dann auch 1/(a 2 +b 2 ) eine ganze Zahl. Dies ist nur möglich falls a 2 +b 2 = 1. Dann aber ist (a,b) = (±1,0) oder (a,b) = (0,±1), also u = ±1 bzw. u = ±i.

7 7 Es seien nun R, R Ringe. Ring-Homomorphismen Ein Homomorphismus von R nach R ist eine Abbildung f: R R f(x+y) = f(x)+f(y) f(xy) = f(x)f(y) f(1 R ) = 1 R Man spricht auch von einem Ring-Homomorphismus oder Homomorphismus von Ringen. Offensichtlich ist ein Ring-Homomorphismus auch ein Gruppen-Homomorphimus (R,+) (R,+) zwischen den unterliegenden additiven Gruppen. Ähnliches gilt für die multiplikativen Gruppen von R und R. Dazu zunächst eine Vorbemerkung: Lemma. Ist f: R R ein Ring-Homomorphismus und ist a R invertierbar, so ist f(a) invertierbar. Beweis. Es seien b, c R mit bc = 1 R. Dann gilt f(b)f(c) = f(bc) = f(1 R ) = 1 R Wendet man dies auf (b,c) = (a,a 1 ) und (b,c) = (a 1,a) an, so folgt daß f(a 1 ) ein Inverses von f(a) ist. Es gilt also f(r ) R Durch Einschränkung der Abbildung f auf R R erhält man damit eine Abbildung f R : R R Diese Abbildung ist ein Gruppen-Homomorphismus. Ring-Isomorphismen Ist ein Ring-Homomorphismus f: R R als Abbildung bijektiv und bezeichnet f 1 : R R die inverse Abbildung, so ist auch f 1 ein Ring-Homomorphismus. In diesem Fall heißt f ein Isomorphismus und die Ringe R, R heißen isomorph, in Zeichen R R. Beispiel: Die komplexe Konjugation : C C z = x+iy z = x iy ist ein Ring-Isomorphismus von C in sich.

8 8 Aufgabe 1. Es sei G eine Gruppe. Man zeige, daß folgende Bedingungen äquivalent sind: (a) G ist abelsch (b) Die Multiplikations-Abbildung µ: G G G µ(g,h) = gh ist ein Homomorphismus von Gruppen. (c) Die Inversen-Abbildung ι: G G ι(g) = g 1 ist ein Homomorphismus von Gruppen. Aufgabe 2. (1) Es sei G eine Gruppe und es seien U 1, U 2 G Untergruppen. Man zeige, daß U 1 U 2 G eine Untergruppe von G ist. (2) Es sei R ein Ring und es seien S 1, S 2 S Unterringe. Man zeige, daß S 1 S 2 R ein Unterring von R ist. (3) Es sei G eine abelsche Gruppe und es seien U 1, U 2 G Untergruppen. Man zeige, daß U 1 U 2 = {g 1 g 2 g 1 U 1, g 2 U 2 } G eine Untergruppe von G ist. (4) Zeigen Sie durch ein Gegenbeipiel, daß in (3) die Voraussetzung abelsch notwendig ist. Anmerkung. Die Aufgaben (1) (2) sind nur der Einfachheit halber auf jeweils zwei Untergruppen bzw. Unterringe beschränkt. Allgemein ist jeder Durchschnitt i U i von Untergruppen wieder eine Untergruppeund jeder Durchschnitt i S i von Unterringen wieder ein Unterring (mit praktisch dem gleichem Beweis).

9 Aufgabe 3. (1) Man zeige: R = {( ) x y M y x 2 (R) } x,y R ist ein Unterring von M 2 (R) isomorph zum Körper C der komplexen Zahlen. (2) Man zeige: Q( 2) = {x+ 2y R x,y Q} ist ein Unterkörper der reellen Zahlen. Anmerkung. Als bekannt vorausgesetzt wird hier 2 Q, d. h. die Irrationalität von 2. Siehe hierzu den Link auf der Homepage. 9 Aufgabe 4. Es sei { n } R = 2 Q n Z,k 0 k die Menge der Brüche mit nur 2er-Potenzen im Nenner. (1) Man zeige, daß R ein Unterring von Q ist. (2) Man bestimme die multiplikative Gruppe R von R.