Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 5 (WS 2015/16) 1. Abgabetermin: Donnerstag, 26. November.

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1 Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 5 (WS 2015/16) 1 Abgabetermin: Donnerstag, 26. November Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen. Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per oder in der Vorlesung). Freie Gruppen Zuerst die konkrete Definition (die Notationen sind gegenüber der Vorlesung leicht verändert): Definition 1. Es sei S eine Menge. Die freie Gruppe F(S) auf S ist folgendermaßen definiert. Als Menge besteht F(S) aus den Folgen (den sogenannten gekürzten Worten in den s S) s n 1 1 sn 2 2 snr r (r 0, s i s i+1, n i Z\{0}) Die Gruppen-Verknüpfung besteht aus der Nebeneinanderstellung (juxtaposition) zweier gekürzter Worte und der Reduktion auf ein gekürztes Wort mittels der Rechen-Regeln in einer Gruppe. Bemerkungen Ein gekürztes Wort ist genaugenommen zunächst nur eine Folge (s 1,n 1 ),(s 2,n 2 ),...,(s r,n r ) von Elementen in S Z mit s i s i+1, n i 0. Die Schreibweise s n 1 1 s n 2 2 s nr r für solche Folgen ist der geplanten Verwendung angepaßt. 1 Fassung vom 20. November

2 2 Für die Reduktion der Nebeneinanderstellung zweier gekürzter Worte habe ich in der Vorlesung ein explizites Rezept angegeben. Somit ist eine Verknüpfungs-Abbildung F(S) F(S) F(S) erklärt. Damit F(S) als Gruppe etabliert ist, ist die Assoziativität dieser Verknüpfung nachzuprüfen (was ich unterlassen will). Im Fall r = 0 ergibt sich das leere Wort. Dies ist das neutrale Element in F(S). Im Fall r = 1, n 1 = 1 erhält man die Elemente s = s 1 (s S) Auf diese Weise wird S als Teilmenge von F(S) aufgefaßt. Die Elemente s S erzeugen die Gruppe F(S). Jedes Wort s n 1 1 s n 2 2 s nr r (ohne spezielle Bedingungen) läßt sich mittels der Rechen-Regeln in einer Gruppe als gekürztes Wort darstellen. Beispiele Die freie Gruppe auf der leeren Menge ist die triviale Gruppe: F( ) = {1}. Besteht S nur einem Element, S = {s}, so besteht F(S) aus den Elementen s n (n Z) (der Fall n = 0 ergibt das leere Wort). Diese Gruppe ist eine unendlich zyklische Gruppe (isomorph zu Z). Besteht S nur aus endlich vielen Elementen, etwa S = {s 1,...,s n }, so schreibt man gerne F(S) = F n = s 1,...,s n Beispielsweise ist F 2 = a,b die freie Gruppe in a, b. FürdieGruppeF 2 hatteichindervorlesungeinengraphenγbeschrieben auf dem die Gruppe F 2 operiert. (Es handelt sich dabei um den Caley- Graphen von F 2, siehe Links.)

3 Lemma 2 (Universelle Eigenschaft der freien Gruppe). Es sei G eine Gruppe, S eine Menge und ϕ: S G eine Abbildung. Dann gibt es genau einen Gruppen-Homomorphismus mit Φ: F(S) G Φ(s) = ϕ(s) Beweis. Man definiert Φ als Abbildung durch Φ(s n 1 1 s n 2 2 s nr r ) = ϕ(s 1) n 1 ϕ(s 1 ) n2 ϕ(s 1 ) nr Es ist evident, daß Φ ein Gruppen-Homomorphismus ist. Die Eindeutigkeit von Φ folgt aus der Bedingung Φ(s) = ϕ(s) und der Tatsache, daß die Elemente s S die Gruppe F(S) erzeugen. Definition 3 (freies Erzeugendensystem). Es sei G eine Gruppe und S G eine Teilmenge, die G erzeugt (jedes Element von G ist also ein Wort in den s S). S heißt freies Erzeugendensystem von G falls der durch die Inklusion ϕ: S G ϕ(s) = s nach Lemma 2 definierte Homomorphismus ein Isomorphismus ist. Φ: F(S) G Ein Erzeugendensystem ist also frei genau dann wenn sich jedes Element von G sich auf genau eine Weise als gekürztes Wort in den s S darstellen läßt. Definition 4. Eine Gruppe heißt frei wenn sie ein freies Erzeugendsystem hat. Wie Basen von Vektorräumen sind freie Erzeugenden-Systeme nicht eindeutig. Die Gruppe Z etwa hat +1 und 1 jeweils als freie Erzeuger. Die Gruppe F 2 = a,b hat a,b aber auch a,a 5 b oder auch a 2 b,ab als freie Erzeugendensysteme. Als Beispiel einer Anwendung der universellen Eigenschaft (Lemma 2) soll die letzte Aussage bewiesen werden: Lemma 5. Der Homomorphismus ist ein Isomorphismus. f: u,v a,b f(u) = a 2 b f(v) = ab 3

4 4 Beweis. Zunächst sei bemerkt, daß bereits die Definition von f als Homomorphismus auf u,v durch Angabe auf den Erzeugern u, v die universelle Eigenschaft (Lemma 2) benutzt. Man definiert nun eine inverse Abbildung auf ähnliche Weise. Dazu sei g der Homomorphismus g: a,b u,v g(a) = uv 1 g(b) = vu 1 v Man rechnet auf den jeweiligen Erzeugern nach, daß f und g invers zueinander sind. Man kann zeigen, daß die Mächtigkeit eines freien Erzeugenden-Systems einer Gruppe eindeutig bestimmt ist. Insbesondere gilt F n F m (n m) Der folgende Satz sei hier ohne Beweis mitgeteilt (er ist nicht ganz offensichtlich). Satz 6. Jede Untergruppe einer freien Gruppe ist frei. Beispiel (ohne Beweis): In der freien GruppeF 2 = a,b wird die Untergruppe U erzeugt von a 2,ab,b 2 von diesen Elementen sogar frei erzeugt (es gilt U F 3 ). Erzeugende und Relationen Vorbemerkung: Definition 7. Es sei G ein Gruppe und A G eine Teilmenge. Der kleinste NormalteilervonGderAenthält,wirdmit A N bezeichnet (nichtzuverwechseln mit dem Normalisator). DieGruppe A N enthältnachdefinitiondieteilmengeaundwegendernormalteiler-eigenschaft auch alle konjugierten Mengen gag 1. Sie enthält also die Teilmenge A = g GgAg 1 G Wegen ga g 1 = A (g G) ist dievon A erzeugte UntergruppeNormalteiler unddamit A N.Anders gesagt: Lemma 8. A N wird als Gruppe erzeugt von den Konjugierten der Elemente aus A. Die Elemente von A N sind von der Form g 1 a 1 g 1 1 g 2a 2 g 1 2 g n a n g 1 n (a i A, g i G)

5 5 Es sei nun und es sei S = {s 1,...,s n } R = {r 1,...,r m } F(S) eine Teilmenge der von S erzeugten freien Gruppe. Definition 9. Die Gruppe s 1,...,s n r 1,...,r m := F(S)/ R N heißt die Gruppe mit Erzeugern s i und Relationen r j. Diese Gruppe ist also die Faktorgruppe der freien Gruppe (ohne Relationen) s 1,...,s n modulo den Elementen r j (genauer: des von den r j erzeugten Normalteilers). (Die Endlichkeit von S und R ist für diese Konstruktion nicht wichtig. Ich habe sie hier nur der Einfachheit halber angenommen.) Es gilt die folgende universelle Eigenschaft. Sie ist eine Kombination der universellen Eigenschaften der freien Gruppe und der Faktorgruppe. Wir denken uns ein Element r F(S) als ein Wort in den s i. r = r(s 1,...,s n ) = s n 1 1 sn 2 2 snr r Lemma 10. Es sei G eine Gruppe und es seien Elemente von G. g 1,...,g n G Es gibt genau dann einen Homomorphismus mit wenn in G die Bedingungen gelten. Ψ: s 1,...,s n r 1,...,r m G Ψ(s i ) = g i r j (g 1,...,g n ) = 1 (i = 1,...,n) (j = 1,...,m) Beweis. Nach der universellen Eigenschaften der freien Gruppe gibt es einen Homomorphismus Ψ : s 1,...,s n G mit Ψ (s i ) = g i (i = 1,...,n)

6 6 Nach der universellen Eigenschaften der Faktorgruppe faktorisiert Ψ genau dann über die gewünschte Abbildung Ψ wenn Ψ ( R N ) = {1} Dies ist gleichbedeutend mit Ψ (r j ) = 1 Die Behauptung folgt aus Ψ (r j ) = r j (g 1,...,g n ) Variante zur Notation: Man schreibt die Relationen oft in Gleichungsform. Statt s 1,...,s n r 1,...,r m schreibt man etwa s 1,...,s n r 1 = = r m = 1 Variationen davon sind a,b,c c = aba 1 = a,b,c aba 1 c 1 etc. a,b a = a 1, ab = ba = a,b a 2,aba 1 b 1 Beispiele: Die symmetrische Gruppe S 3 : Wie in der Vorlesung besprochen, haben wir den Homomorphismus f 3 : s,t s 2 = t 2 = (st) 3 = 1 S 3 s (12) t (23) Dies ist ein Isomorphismus (Beweis siehe unten). Die symmetrische Gruppe S n : Nach Blatt 4 (vor allem Aufgabe 2) erhalten wir einen Homomorphismus f n : a 1,...,a n 1 a 2 i,(a i a i+1 ) 3,(a i a j ) 2 ( i j > 1) S n a i t i = (i,i+1) Weil die t i die Gruppe S n erzeugen, ist f n surjektiv. Man kann zeigen, daß f n ein Isomorphismus ist. Siehe hierzu auch Blatt 4, Lemma 1. Die Diedergruppe D n : Hier gibt es den Isomorphismus (ohne Beweis). h n : a,b a 2 = 1, b n = 1,aba 1 = b 1 D n

7 7 Die Quaternionen-Gruppe Q 8 : Hier gibt es den Isomorphismus (siehe Aufgaben). k: a,b a 4 = 1, a 2 = b 2 = (ab) 2 Q 8 Die Gruppe SL 2 (Z): Die ganzzahligen Matrizen ( ) ( ) A =, B = haben die Determinante 1, liegen also in SL 2 (Z). Sie erfüllen die Relationen ( ) 1 0 A 4 = E 4, A 2 = = B Nach Lemma 10 gibt es daher den Homomorphismus a,b a 4 = 1, a 2 = b 3 SL 2 (Z) a A b B Dieser Homomorphismus ist sogar ein Isomomorphismus (nicht einfach). Zum Abschluß sollen explizit die Argumente zur Beschreibung der Gruppe S 3 mit Erzeugenden und Relationen wiederholt werden. Lemma 11. Es gibt einen Homomorphismus und dieser ist ein Isomorphismus. f 3 : s,t s 2 = t 2 = (st) 3 = 1 S 3 s t 1 = (12) t t 2 = (23) Beweis. Schritt 1: Existenz von f 3. Nach Lemma 10 sind die Relationen für s,t für die Elemente t 1, t 2 in S 3 nachzurechnen: t 2 1 = t2 2 = (t 1t 2 ) 3 = 1 Nun, dies rechnet man nach (die t i sind Transpositionen, t 1 t 2 = (123) ist ein 3-Zykel). Schritt 2: f 3 ist surjektiv. Dies folgt durch Inspektion in der Gruppe S 3. Man findet, daß die Elemente genau die 6 Permutationen sind. 1, t 1, t 2, t 1 t 2, t 2 t 1, t 1 t 2 t 1 = (31) = t 2 t 1 t 2 Schritt 3: f 3 ist injektiv. Man versucht, die Elemente in s,t s 2 = t 2 = (st) 3 = 1

8 8 auf möglichst einfache Form zu bringen. Jedes Element ist ein Wort in s,t. Wegen der Relationen s 2 = 1 und t 2 = 1 kann man annehmen, daß die Exponenten von s und t alle 1 (oder 0) sind. Daher ist jedes Element von einer der 4 Formen (st) n, (ts) n, s(ts) n, t(st) n Die dritte Relation 1 = (st) 3 = ststst = (sts)(tst) schreibt man bequemerweise so (unter Verwendung von s 2 = 1 und t 2 = 1): sts = tst Damit kann man die 4 Typen reduzieren auf die Elemente 1,s,t,st,ts,sts = tst Jedes Element ist also von dieser Form. Diese werden bijektiv auf die Elemente von S 3 abgebildet.

9 Aufgabe 1. Erinnerung: Q 8 ist die Untergruppe von GL 2 (C) erzeugt von den Matrizen ( ) ( ) i α = β = 0 i 1 0 Man zeige, daß einen Isomorphismus 9 gibt. k: a,b a 4 = 1, a 2 = b 2 = (ab) 2 Q 8 Aufgabe 2. Wir betrachten die Gruppe H = u,v,w u 2 = v 2 = w 2 = 1, uw = wu, (uv) 3 = 1 = (vw) 3 (a) Man zeige in H. (b) Man zeige, daß die Elemente in H miteinander kommutieren. (c) Man gebe einen Epimorphismus an. (uwv) 4 = 1 uw, v(uw)v H S 3 Anmerkung. Erinnert sei an den Epimorphismus f 4 : H S 4 u t 1 = (12) v t 2 = (23) w t 3 = (34) Dieser tritt in den Aufgaben nicht explizit auf, ist aber vielleicht zum Verständnis hilfreich. (Sie dürfen nicht benutzen, daß f 4 ein Isomorphismus ist. Die Aufgaben sind vielmehr erste Schritte zum Beweis dazu.)

10 10 Aufgabe 3. Die sogenannte obere Halbebene ist die Menge H = {z C Imz > 0} der komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil. Die Menge der nicht-rellen komplexen Zahlen ist die Vereinigung der oberen und unteren Halbebene: R\C = H ( H) Für eine reelle 2 2-Matrix ( ) a b A = (ad bc 0) c d mit nicht verschwindender Determinante sei f A : C\R C\R az +b f A (z) = cz +d (Weil c,d reell sind, hat der Nenner nur reelle Nullstellen, die Funktion ist also für alle nicht-reellen komplxen Zahlen definiert.) (a) Man zeige: Ist det(a) > 0, so bildet f A die Halbebenen H, H jeweils in sich ab. Ist det(a) < 0, so werden die obere und untere Halbebene vertauscht. (b) Man zeige: f AB = f A f B Anmerkung. Manerhält so eineoperationvonsl 2 (R)aufder oberenhalbebene. Aufgabe 4. Man zeige, daß die Gruppe GL 2 (Z) von den Matrizen ( ) ( ) ( ) A =, B =, T = erzeugt wird.