PROSEMINAR DARSTELLUNGEN ENDLICHEN GRUPPEN: FUNDAMENTALE BEGRIFFEN. pg 1, g 2 q ÞÑ g 1 G g 2,

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1 PROSEMINAR DARSTELLUNGEN ENDLICHEN GRUPPEN: FUNDAMENTALE BEGRIFFEN LOUIS-HADRIEN ROBERT 1. Gruppe und Wirkungen Definition 1.1. Eine Gruppe pg, Gq ist eine Menge G mit einer Multiplikation: so dass G : G ˆ G Ñ G pg 1, g 2 q ÞÑ g 1 G g 2, für alle pg 1, g 2, g 3 q in G 3 pg 1 G g 2 q G g 3 g 1 G pg 2 G g 3 q gilt, ein neutrales Element e G existiert, so dass für jedes g in G e G Gg g Ge G g gilt, für alle g in G ein Element g 1 (die Inverse von g) existiert, so dass g G g 1 g 1 G g e G gilt. Eine Gruppe pg, Gq ist abelsch oder kommutativ, wenn für alle Elemente g 1 und g 2 aus G g 1 G g 2 g 2 G g 1 gilt. Seien pg 1, G1 q und pg 2, G2 q zwei Gruppen. Eine Abbildung : G 1 Ñ G 2 ist ein Gruppemorphismus, wenn für jede Elemente g und h aus G 1 pg G1 ph 1 qq pgq G2 pphqq 1 gilt. Die Mächtigkeit einer Gruppe G heißt die Ordnung von G und ist G oder #G bezeichnet. Bemerkung 1.2. Man kann beweisen, dass das neutral Element und die Inverse eindeutig definiert sind. Man schreibt oft Sei G eine Gruppe. Das bedeutet, dass die Multiplikation implizit gegeben ist. Die Multiplikation von g 1 und g 2 ist g 1 g 2 oder g 1 g 2 geschrieben. Beispiel 1.3. (1) Wir betrachten I n : t1, 2,..., nu (für n in Nzt0u). Die Menge S n von allen Bijektion auf I n mit der Verknüpfung als Multiplikation ist eine Gruppe, die die symmetrische Gruppe auf n Elemente heißt. (2) Sei V eine K-Vektorraum. Die Menge GLpV q von allen invertierbaren linearen Abbildungen mit der Verknüpfung als Multiplikation ist eine Gruppe, die die allgemeine lineare Gruppe von V heißt. Es gibt viele Variante: SLpV q, OpV q, SOpV q, P SLpV q usw. (3) Sei X eine endliche 1 Menge. Wir betrachten die Menge WpXq von allen 2 endlichen Wörtern in den Buchstaben pxq xpx Y px 1 q xpx. Wir betrachten die kleinste Äquivalenzrelation, die tpw 1 xx 1 w 2, w 1 w 2 q w 1, w 2 P WpXq, x P XuYtpw 1 x 1 xw 2, w 1 w 2 q w 1, w 2 P WpXq, x P Xu 1 Das geht auch mit X unendlich. 2 Das leere Wort, das ε genannt ist, ist ein Wort. 1

2 2 LOUIS-HADRIEN ROBERT enthält. Die Menge F pxq : WpX q{ mit der (Quotient)-Verknüpfung ist eine Gruppe, die heißt die freie Gruppe auf X. (4) Wenn G 1 und G 2 zwei Gruppen sind, dann ist die direkte Produkt G 1 ˆ G 2 mit der Multiplikation pg 1, g 2 q G1ˆG 2 pg 1 1, g 1 2q : pg 1 G1 g 1 1, g 2 G2 g 1 2q ist eine Gruppe, die direkte Produkte von G 1 und G 2 heißt. Definition 1.4. Sei G eine Gruppe, und H eine Teilmenge von G, die e G enthält. Wir sagen dass, H eine Untergruppe von G ist, wenn für jede h 1 und h 2 aus H h 1 Gh 2 in H ist und für jedes h in H h 1 in H ist. Wir sagen, dass eine Untergruppe H von G normal ist, wenn für jedes h in H und jedes g in G, ghg 1 in H ist. Satz 1.5. Sei G eine Gruppe und H eine normale Untergruppe von G. Die Menge G{H : G{ H mit g 1 H g 2 genau dann wenn g 1 g 1 2 in H ist. mit der wohldefiniert (!) Multiplikation g 1 G{H g 2 g 1 G g 2 ist eine Gruppe, die heißt die Faktorgruppe von G durch H. Seien G 1 und G 2 zwei Gruppen und : G 1 Ñ G 2 eine Gruppenmorphismus. Die Teilmenge Ker tg P G 1 pgq e G2 u von G 1 ist eine normale Untergruppen von G 1. Definition 1.6. Sei X eine endliche Menge und R eine endliche Teilmenge von WpXq. Die Gruppe xx Ry ist der Faktorgruppe F pxq{nprq, wobei NpRq ist die kleinste normale Untergruppe von F pxq die r für jedes r in R enthält. Wenn G xx Ry, sagen wir, dass G durch Ergänzter und Relationnen präsentiert ist oder, dass px, Rq eine Präsentation von G ist. Beispiel 1.7. xa a n y xa a n ey {n xa, b aba 1 b 1 y xa, b ab bay 2 C s 2 i für alle i in t1,..., n 1u, G s 1,... s n 1, s i s j s i s j für alle i und j in t1,..., n 1u wenn i j ě 2, ˇ s i s i`1 s i s i`1 s i s i`1 für alle i in t1,..., n 2u. C s 2 i 1 für alle i in t1,..., n 1u, s 1,... s n 1, s i s j s j s i für alle i und j in t1,..., n 1u wenn i j ě 2, ˇ s i s i`1 s i s i`1 s i s i`1 für alle i in t1,..., n 2u. G S n. Bemerkung 1.8. Eine Gruppe kann verschiedene Präsentationen haben. Definition 1.9. Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine (links) Wirkung w von G auf X (wir schreiben G X) ist eine Gruppenmorphismus w : G Ñ BijpXq. Wenn g ein Element aus G und x ein Element aus X sind, schreiben wir g x statt wpgqpxq. ý Beispiel (1) Die Gruppe Op3q wirkt auf die 2-dimensionale Sphäre.

3 PROSEMINAR DARSTELLUNGEN ENDLICHEN GRUPPEN: FUNDAMENTALE BEGRIFFEN3 (2) Die Gruppe P GLpV q wirkt auf die Menge alle Gerade in V, auf die Menge alle Ebene in V. Die Gruppe GLpV q wirkt auf V und auf die Menge alle alle Base von V. (3) Die Gruppe S 1 wirkt auf die Menge alle 2π-periodische reelle Funktionen auf R durch e iθ f : x ÞÑ fpx ` θq. (4) Eine Gruppe G wirkt auf G selbst durch links Multiplikation: g g 1 : gg 1 und durch Konjugation: g c g 1 gg 1 g 1. Satz Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Wir nehmen an, dass G auf X wirkt. Die Relation R auf X definiert durch xry genau dann wenn eine Element g auf G existiert, so dass x g y ist eine Äquivalenzrelation. Beweis. Wir müssen Symmetrie, Reflexivität und Transitivität von R beweisen. Symmetrie Für jedes x aus X, gilt xrx, weil x e G x. Reflexivität Seien x und y zwei Elemente aus X. Wenn xry gilt, gilt auch yrx, weil, wenn x g y gilt, y g 1 x gilt. Transitivität Seien x, y und z drei Elemente aus X. Wenn xry und yrz gelten, gilt auch xrz, weil, wenn x g y und y g 1 z gelten, x gg 1 z gilt. Sei G eine Gruppe. Die Äquivalenzklasse von G für die Konjugationwirkung heißen die Konjugation klasse. 2. Linear Algebra Alle Vektorräume sind für uns endlich dimensionale C-Vektorräume. Bemerkung 2.1. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Eine Basis auswählen ist wie Isomorphismus zwischen V und C n entscheiden. Definition 2.2. Seien V ein Vektorraum und W 1 und W 2 Unterraüme mit triviale Schnitt (W 1 X W 2 t0u). Die Summe W 1 ` W 2 heißt die innere direkte Summe und ist W 1 W 2 geschrieben. Man kann jedes Element x in W 1 W 2 eindeutig als Summe x 1 ` x 2 mit x i in W i schreiben. Falls V W 1 W 2, sagen wir dass W 2 ein Komplement von W 1 ist (und W 1 ein Komplement von W 2 ist). In dem Fall V W 1 W 2, die Projektion auf W 1 entlang W 2 ist die linear Abbildung p : V Ñ V v x 1 ` x 2 ÞÑ x 1 mit x 1 in W 1 und x 2 in W 2. Satz 2.3. Seien V ein Vektorraum und W 1 und W 2 zwei Unterraüme mit triviale Schnitt. Wir betrachten pe 1,..., e k1 q und pf 1,..., f k2 q, Basen von W 1 und W 2. Die Familie pe 1,..., e k1, f 1,..., f k2 q ist eine Basis von W 1 W 2. Es gilt dim W 1 W 2 dim W 1 ` dim W 2. Beweis. Die Familie pe 1,..., e k1, f 1,..., f k2 q ergänzt W 1 W 2. Wir müssen nur zeigen, dass diese Familie linear unabhängig ist. Sei pλ 1,..., λ k1, µ 1,... µ k2 q in C k1`k2, so dass ÿk 1 λ i e i ` ÿk 2 j 1 µ j f j 0.

4 4 LOUIS-HADRIEN ROBERT Das Element x : ř k 1 λ ie i řk 2 j 1 µ jf j ist in W 1 und W 2. Deswegen gilt x 0 V. Daraus folgt, dass pλ 1,..., λ k1 q 0 C k 1 und pµ 1,..., µ k2 q 0 C k 2. Definition 2.4. Sei V 1 und V 2 zwei 3 Vektorräume. Die äußere direkte Summe ist das Produkt der Räume V 1 und V 2 mit der kanonische Struktur. Dieser Raum ist V 1 V 2 bezeichnet. Es gilt dim V 1 V 2 dim V 1 ` dim V 2 Definition 2.5. Seien V und W und T drei Vektorräume. Eine Abbildung f : V ˆ W Ñ T ist bilinear, falls gilt fpx 1 ` x 2, y 1 q fpx 1, y 1 q ` fpx 2, y 1 q, fpx 1, y 1 ` y 2 q fpx 1, y 1 q ` fpx 1, y 2 q, fpλx 1, y 1 q λfpx 1, y 1 q, fpx 1, λy 1 q λfpx 1, y 1 q. für jedes px 1, x 2, y 1, y 2 q in V 2 ˆ W 2 und jedes λ in C. Definition 2.6. Seien V und W zwei Vektorräume. Ein Tensorprodukt von V und W ist Paar p, q wobei ein Vektorraum ist und : V ˆ W Ñ eine bilineare Abbildung ist, so dass für jeden Vektorraum T und jede bilinear Abbildung f : V ˆ W Ñ eine lineare Abbildung f p : Ñ T eindeutig existiert, so dass f f p. V ˆ W f D! p f T Bemerkung 2.7. Es gilt p id. Das ist noch nicht klar das ein Tensorprodukt existiert und in welche Sinn es eindeutig ist. Man sagt, dass der Begriff von Tensorprodukt durch einer universellen Eigenschaft definiert ist. Satz 2.8. Seien V und W zwei Vektorräume. Seien p, q und p 1, 1 q zwei Tensorprodukte von V und W. Es exsitiert eine eindeutig Isomorphismus ψ : Ñ 1, so dass 1 ψ. Das bedeutet, dass das Tensorprodukt von V und W eindeutig bis auf einem eindeutigen Isomorphismus definiert ist. Beweis. Um ψ zu definieren, spielen wir mit dem Diagramm: V ˆ W 1 D! p 1 : ψ 1 Das ist noch nicht klar, dass ein Isomorphismus ist. Wir spielen mit dem Diagramm anderes Rum um eine Morphismus ψ 1 : Ñ 1 zu definieren (wir schreiben 3 Die direkte Summe eine unendlich Familie ist ein echt Unterraum des Produkts.

5 PROSEMINAR DARSTELLUNGEN ENDLICHEN GRUPPEN: FUNDAMENTALE BEGRIFFEN5 r statt p ): V ˆ W D! r 1 : ψ Die folgende Diagramm kommutieren p id V ˆ W ψ 1 1 ψ 1 Deswegen gilt ψ 1 ψ p id. Bei Symmetrie haben wir auch ψ ψ 1 r1 id 1. Wir wollen noch zeigen, dass das Tensorprodukt existiert. Dafür machen wir eine explizit Konstruktion. Satz 2.9. Seien V und W zwei Vektorräume. Es existiert ein Tensorprodukt von V und W. Beweis. Seien pe i q,...,m eine Basis von V und pf j q j 1,...,n eine Basis von W. Wir betrachten der Vektorraum ergänzt bei den Symbolen pe i b f j q,...,m und die j 1,...,n und die bilineare Abbildung : V ˆ W Ñ řm λ ie i, ř n j 1 µ jf j ÞÑ ř m ř n j 1 λ iµ j e i b f j Die Paar p, q ist ein Tensorprodukt von V und W : Sei T ein Vektorraum und f : V ˆ W Ñ T eine bilineare Abbildung. Wir suchen eine lineare Abbildung f, p so dass f f p. Wir müssen haben fpe p i b f j q fpe i, f j q für jedes pi, jq in t1,..., mu ˆ t1,... nu. Das definiert f p eindeutig, weil pe i b f j q,...,m eine Basis j 1,...,n von ist. Wir überprüfen, dass f f p gilt: mÿ nÿ mÿ pf λ i e i, µ j f j f p nÿ mÿ nÿ λ i µ j e i b f j λ i µ jf p pei b f j q j 1 mÿ nÿ mÿ λ i µ j f pe i, f j q mÿ nÿ f λ i e i, µ j f j. j 1 nÿ λ i µ j f pe i, f j q

6 6 LOUIS-HADRIEN ROBERT Bemerkung (1) Das Symbol V b W steht für ein Tensorprodukt von V und W. Die Abbildung ist normalerweise nicht explizit geschrieben. Das Symbol x b y steht für px, yq für x in V und y in W (das heißt, dass wir implizit brauchen). Wir missbrauchen dieses Begriff und sprechen über das Tensorprodukt, weil alle Tensorprodukte isomorph sind und die Isomorphismus zwischen zwei Tensorprodukt ist eindeutig. Ein Element von V b W ist nicht immer der Form x b y aber ist immer eine Summe von Elementen dieser Form. (2) Es gilt dimpv b W q pdim V qpdim W q. (3) Man kann definieren das Tensorprodukt von mehrere Vektorräume. Übung Man kann den Begriff von äußerer direkter Summe auch durch einer universellen Eigenschaft definieren. Wie? Universität Hamburg, Bundesstraße 55, Hamburg, Deutschland address: louis-hadrien.robert@uni-hamburg.de