R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} K 1 = {1} K 2 = {2} K 3 = {3}

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1 Äquivalenzrelationen Aufgabe 1. Lesen Sie im Skript nach was eine Äquivalenzrelation und eine Äquivalenzklasse ist. Gegeben ist die Menge A = {1, 2, 3. Finden Sie 3 Äquivalenzrelationen auf A und geben Sie deren Äquivalenzklassen an. Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es insgesamt auf A? Lösung von Aufgabe 1. Äquivalenzrelationen auf {1, 2, 3: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) K 1 = {1 K 2 = {2 K 3 = {3 R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)(1, 2), (2, 1) K 1 = {1, 2 K 2 = {3 R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)(1, 3), (3, 1) K 1 = {1, 3 K 2 = {2 Insgesamt gibt es 5 Äquivalenzrelationen auf A. Man erkennt das am einfachsten wenn man die Zerlegungen aufzählt: { {1, {2, {3 { {1, 2, {3 { {1, 3, {2 { {2, 3, {1 { {1, 2, 3 Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind und beschreiben Sie ihre Äquivalenzklassen. Wie sehen die zugehörigen Zerlegungen aus? 4 = {(a, b) a, b N 0, a b ist durch 4 teilbar = {(a, b) a, b N, a und b haben die selbe letzte Ziffer 1

2 Lösung von Aufgabe 2. 4 = {(a, b) a, b N 0, a b ist durch 4 teilbar reflexiv: a a = 0 ist durch 4 teilbar für alle a N 0. symmetrisch: Wenn a b durch 4 teilbar ist, dann auch b a. transitiv: Wenn a b und b c durch 4 teilbar sind, dann auch a c, da a c = (a b) + (b c) und die Summe zweier durch 4 teilbarer Zahlen ist durch 4 teilbar. Die Äquivalenzklassen sind {0, 4, 8, 12,... {1, 5, 9, 13,... {2, 6, 10, 14,... {3, 7, 11, 15,... Durch 4 wird N 0 in 4 disjunkte Teilmengen zerlegt, wobei jede Teilmenge einer Äquivalenzklasse entspricht. = {(a, b) a, b N, a und b haben die selbe letzte Ziffer reflexiv: Jede Zahl hat die selbe letzte Ziffer wie sie selbst. symmetrisch: Wenn a die selbe letzte Ziffer hat wie b, dann hat auch b die selbe letzte Ziffer wie a. transitiv: Wenn a die selbe letzte Ziffer hat wie b und b die selbe letzte Ziffer hat wie c, dann hat auch a die selbe letzte Ziffer wie c. Die Äquivalenzklassen sind {1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101,... {2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102,... {3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, {9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109,... {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110,... Durch wird N in 10 disjunkte Teilmengen zerlegt, wobei jede Teilmenge einer Äquivalenzklasse entspricht. Aufgabe 3. Aus organisatorischen Gründen ist es an der FH leider nicht möglich, jeden Studenten individuell mit dem ihm/ihr gerechten Maß an Wissen zu versorgen. Daher zerlegt man die Menge der Studenten in Semester und versorgt alle Studenten in einem Semester gleich. Hierdurch wird eine Relation R auf der Menge der Studenten definiert, wobei arb genau dann wenn Student a und Student b im gleichen Semester sind. Zeigen Sie dass R eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Studenten ist. Lösung von Aufgabe 3. Semestereinteilung bildet Äquivalenzrelation. Reflexiv: Jeder Student ist im selben Semester wie er selber. 2

3 Symmetrisch: Ist a im selben Semester wie b, dann ist auch b im selben Semester wie a. Transitiv: Ist a im selben Semester wie b und b im selben Semester wie c, dann ist auch a im selben Semester wie c. Aufgabe 4. Sei R die Verwandtschaftsrelation auf der Menge aller Menschen, d.h. arb genau dann wenn der Mensch a mit dem Mensch b verwandt ist. Begründen Sie, dass R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Angenommen die Theorie von Adam und Eva ist wahr, wieviele Äquivalenzklassen hat dann die Relation R? Angenommen der Verwandtschaftsbegriff wäre so definiert, dass unverheiratete Paare trotz gemeinsamem Kind nicht als verwandt gelten. Wie würde sich dann ein uneheliches Kind auf die Transitivität von R auswirken? Lösung von Aufgabe 4. Verwandtschaftsrelation: Reflexiv: Jeder ist mit sich selbst verwandt. Symmetrisch: Wenn a mit b verwandt ist, dann auch b mit a. Transitiv: Wenn a mit b verwandt ist und b mit c, dann auch a mit c. Wenn Adam und Eva die ersten Menschen waren, dann ist jeder mit jedem verwandt, und die Verwandtschaftsrelation hat eine einzige Äquivalenzklasse, die alle Menschen enthält. Wenn unverheiratete Paare trotz gemeinsamem Kind als nicht verwandt gelten, würde ein uneheliches Kind die Transitivität von R zerstören. Sei c das uneheliche Kind von a und b, wobei a und b nicht verwandt sind. Dann ist arc, crb aber nicht arb. (Nimmt man wieder an, dass alle Menschen von Adam und Eva abstammen, ist R trotzdem transitiv, da jeder mit jedem verwandt ist, also auch a mit b.) Aufgabe 5. Sei f eine Funktion und R = {(a, b) a R, b R, f(a) = f(b) eine Relation. Gibt es eine Funktion f so dass R keine Äquivalenzrelation ist? Hinweis: Prüfen Sie ob R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist unter der Annahme dass f irgend eine Funktion ist. Falls das nicht gelingt, probieren Sie s für ein paar Beispielfunktionen f(x) = x, f(x) = x, f(x) = x 2, usw. Lösung von Aufgabe 5. Die Relation R = {(a, b) a R, b R, f(a) = f(b) ist eine Äquivalenzrelation für alle f. 3

4 Reflexiv: f(a) = f(a). Symmetrisch: Wenn f(a) = f(b) dann f(b) = f(a). Transitiv: Wenn f(a) = f(b) und f(b) = f(c) dann ist f(a) = f(c). Aufgabe 6. Sei A = Z N und R A A die Relation, die definiert ist durch {( ) R = (z 1, n 1 ), (z 2, n 2 ) z 1, z 2 Z, n 1, n 2 N, z 1 n 2 = z 2 n 1. Somit ist z.b. da ( 4, 6)R( 6, 9) 4 9 = 6 6. Jede Äquivalenzklasse von R ist eine Teilmenge von A. Zählen Sie ein paar Elemente der Äquivalenzklasse von R auf, die das Element (2, 3) enthält. Wieviele Äquivalenzklassen hat R? Überlegen Sie sich, wie die zugehörige Zerlegung Z aussieht. Welche Beziehung besteht zwischen dieser Zerlegung Z und der Menge Q? Lösung von Aufgabe 6. Elemente der Äquivalenzklasse von R die (2, 3) enthält sind z.b. (4, 6), (6, 9), (8, 12),.... R hat unendlich viele Äquivalenzklassen. Die Elemente einer Äquivalenzklasse sind Paare, bei denen die erste Komponente dividiert durch die zweite Komponente immer die selbe rationale Zahl ergibt. Somit entspricht jeder rationalen Zahl q Q eine Äquivalenzklasse K q von R mit K q = {(z, n) z Z, n N, q = z/n. Wenn man die Mengen Z und N definiert hat, kann man auf diese Weise Q konstruieren. Aufgabe 7. Überlegen Sie sich 3 Beispiele von endlichen oder unendlichen Mengen, definieren Sie darauf eine Äquivalenzrelation und bestimmen die zugehörige Zerlegung. Überlegen Sie sich 3 (andere) Beispiele von endlichen oder unendlichen Mengen, definieren Sie darauf eine Zerlegung und bestimmen die zugehörige Äquivalenzrelation. Lösung von Aufgabe 7. Beispiele von Äquivalenzrelationen mit zugehörigen Zerlegungen: 2 = {(a, b) a N 0, b N 0, a b durch 2 teilbar ist Äquivalenzrelation auf N 0. Äquivalenzklassen sind die Menge der geraden Zahlen und die Menge der ungeraden Zahlen. Diese bilden auch eine Zerlegung von N 0. 4

5 A = N, R = {(a, b) a und b haben die gleiche Anzahl von Dezimalstellen. Es gibt unendlich viele Äqquivalenzklassen, z.b. K 1 = {1, 2, 3,..., 9 K 2 = {10, 11, 12,..., 99 K 3 = {100, 101, 102,..., Die Äquivalenzklassen bilden eine Zerlegung von N. A =, R =. Die zugehörige Zerlegung ist ebenfalls die leere Menge. Beispiele von Zerlegungen mit zugehörigen Äquivalenzrelationen: A = {1, 2, Z = {{1, {2. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist die Gleichheit auf A. A = Z, Z = {K 1, K 2, K 3 wobei K 1 die Menge der positiven, K 2 die Menge der negativen und K 3 = {0. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist {(a, b) a und b haben das selbe Vorzeichen A = R, Z = {R. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist R R. Aufgabe 8. Sei A eine Menge mit zwei Elementen. Wieviele Relationen gibt es auf A? Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es auf A? Hinweis: Jede Relation auf A ist eine Teilmenge von A A und jede Äquivalenzrelation auf A entspricht einer Zerlegung von A. Lösung von Aufgabe 8. Die Menge A A hat 4 Elemente. Eine Relation auf A ist eine Teilmenge von A A, d.h. ein Element der Potenzmenge von A A. Die Potenzmenge von A A hat 2 4 = 16 Elemente. Somit gibt es 16 Relationen auf A. Es gibt zwei Zerlegungen von A, nämlich {{1, 2 und {{1, {2. Somit gibt es zwei Äquivalenzrelationen auf A. Aufgabe 9. Sei A = {1, 2, 3, 4. 5

6 Bestimmen Sie eine Äquivalenzrelation auf A mit 3 Äquivalenzklassen. Finden Sie eine Relation auf A, die weder reflexiv auf A noch symmetrisch noch transitiv ist. Lösung von Aufgabe 9. Eine Zerlegung von A in 3 Klassen ist z.b. { {1, {2, {3, 4. Die zugehörige Äquivalenzrelation ist {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (3, 4), (4, 3). Eine Relation auf A, die weder reflexiv auf A noch symmetrisch noch transitiv ist, ist z.b. {(1, 2), (2, 3). Aufgabe 10. Die Menge der rationalen Zahlen wurde in der Vorlesung definiert als Q = (Z N)/R wobei R = {( (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) ) a 1, a 2 Z b 1, b 2 N a 1 b 2 = a 2 b 1 eine Äquivalenzrelation auf Z N war. Begründen Sie, weshalb die ganz ähnliche Relation S = {( (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) ) a 1, b 1, a 2, b 2 Z a 1 b 2 = a 2 b 1 keine Äquivalenzrelation auf Z 2 ist. Hinweis: Es hat damit zu tun dass man durch Null nicht dividieren darf. Lösung von Aufgabe 10. S ist zwar reflexiv auf Z 2 und symmetrisch aber nicht transitiv. So ist z.b. ( (3, 0), (0, 0) ) S und ( (0, 0), (0, 3) ) S aber ( (3, 0), (0, 3) ) S. Aufgabe 11. Seien X und Y zwei Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation R A A. Beweisen Sie ausführlich: Wenn X Y, dann ist X Y =. Lösung von Aufgabe 11. Für jede Äquivalenzrelation R und für alle Äquivalenzklassen X und Y von R gilt: Wenn X Y dann X Y =. 6

7 Sei R eine beliebige aber fest gewählte Äquivalenzrelation und seien X, Y beliebige aber fest gewählte Äquivalenzklassen von R. Zu zeigen: Wenn X Y dann X Y =. Aussagenlogische Umformung. X Y X = Y. Annahme X Y. Zu zeigen X = Y. Annahme: u u X u Y. Annahme: Sei u so dass u X und u Y. Definition Äquivalenzklasse. Annahme: Es gibt a, b A so dass Seien a, b A so dass Aus u X und u Y folgt X = {x arx Y = {y bry. X = {x arx Y = {y bry. aru und bru. Definition Teilmenge: X Y und Y X. Zuerst der Beweis X Y. s X s Y. Sei s X beliebig aber fest. s Y. Da s X, folgt ars. Mit Symmetrie von R folgt sra. Transitivität und Annahme aru ergibt sru. Symmetrie, Transitivität und Annahme bru ergibt brs, d.h. s Y. Beweis von Y X ist analog. Aufgabe 12. Beweisen Sie ausführlich, dass die Relation R = { ( (a, b), (x, y) ) a, x Z b, y Z \ {0 ay = bx eine Äquivalenzrelation auf Z (Z \ {0) ist. Lösung von Aufgabe 12. Reflexivität auf Z (Z \ {0). u Z (Z \ {0) uru. Sei u Z (Z \ {0) beliebig aber fest. uru. 7

8 Da u Z (Z \ {0) gilt u 1 Z u 2 Z \ {0 u = (u 1, u 2 ). Sei u 1 Z und u 2 Z \ {0 so dass u = (u 1, u 2 ). (u 1, u 2 )R(u 1, u 2 ). Definition von R. ( (u1, u 2 ), (u 1, u 2 ) ) { ( (a, b), (x, y) ) a, x Z b, y Z\{0 ay = bx. u 1 Z, u 2 Z \ {0, u 1 u 2 = u 2 u 1. Dies folgt aus der Annahme bzw. der Kommutativität der Multiplikation. Symmetrie. u, v (urv vru). Seien u, v beliebig aber fest. urv vru. Annahme: urv. vru. Da R Z (Z \ {0) folgt aus der Annahme urv dass Damit gilt u, v Z Z \ {0. u 1 Z u 2 Z \ {0 u = (u 1, u 2 ) v 1 Z v 2 Z \ {0 v = (v 1, v 2 ). Seien u 1, v 1 Z und u 2, v 2 Z \ {0 so dass u = (u 1, u 2 ) und v = (v 1, v 2 ). Annahme: (u 1, u 2 )R(v 1, v 2 ). (v 1, v 2 )R(u 1, u 2 ). 8

9 Definition von R. Aus der Annahme folgt u 1 v 2 = u 2 v 1. v 1 u 2 = v 2 u 1. Dies folgt aus der Annahme und der Kommutativität der Multiplikation. Transitivität. u, v, w ( (urv vrw) urw ). Seien u, v, w beliebig aber fest. (urv vrw) urw. Annahme: urv, urw. vrw. Da R Z (Z \ {0) folgt aus urv und vrw dass Damit gilt u, v, w Z (Z \ {0). u 1 Z u 2 Z \ {0 u = (u 1, u 2 ) v 1 Z v 2 Z \ {0 v = (v 1, v 2 ) w 1 Z w 2 Z \ {0 w = (w 1, w 2 ). Seien u 1, v 1, w 1 Z und u 2, v 2, w 2 Z \ {0 so dass u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) und w = (w 1, w 2 ). Annahme: (u 1, u 2 )R(v 1, v 2 ), (v 1, v 2 )R(w 1, w 2 ). (u 1, u 2 )R(w 1, w 2 ). Definition von R. Aus der Annahme folgt u 1 v 2 = u 2 v 1 v 1 w 2 = v 2 w 1. u 1 w 2 = u 2 w 1. 9

10 Aus der Annahme folgt durch Erweitern der ersten Gleichung mit w 2 u 1 v 2 w 2 = u 2 v 1 w 2. Da v 1 w 2 = v 2 w 1 kann man auf der rechten Seite v 1 w 2 durch v 2 w 1 ersetzen und erhält u 1 v 2 w 2 = u 2 v 2 w 1. Da laut Annahme v 2 0 kann man mit v 2 kürzen und es gilt u 1 w 2 = u 2 w 1. Aufgabe 13. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Eine Menge K heißt Äquivalenzklasse von A wenn u A K = {x xru. Die Menge aller Äquivalenzklassen von R wird mit R/A bezeichnet. Beweisen Sie ausführlich, dass es zu jedem a A höchstens eine Äquivalenzklasse K von R gibt so dass a K. Lösung von Aufgabe 13. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. a A K 1, K 2 R/A ( (a K 1 a K 2 ) K 1 = K 2 ). Seien a A und K 1, K 2 R/A beliebig aber fest. Annahme (a K 1 a K 2 ) K 1 = K 2. a K 1, a K 2. K 1 = K 2. (Bemerkung: Wenn man weiß, dass die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation disjunkte Teilmengen von A sind, ist man an dieser Stelle schon fertig.) Definition der Mengengleichheit: Zu zeigen K 1 K 2 K 2 K 1. Nachfolgend der Beweis von K 1 K 2, der Beweis von K 2 K 1 ist analog. Definition der Teilmengenbeziehung. x (x K 1 x K 2 ). 10

11 Sei x beliebig aber fest. x K 1 x K 2. Annahme: x K 1. x K 2. Da K 1, K 2 Äquivalenzklassen von R sind, folgt u 1 A K 1 = {x xru 1 u 2 A K 2 = {x xru 2. Seien u 1, u 2 A so dass K 1 = {x xru 1 K 2 = {x xru 2. Da x, a K 1 folgt xru 1, aru 1. Aus der Symmetrie und Transitivität von R folgt xra. Da a K 2 folgt Aus aru 1 folgt damit Aus xru 1 folgt damit Folglich gilt aru 2. u 1 Ru 2. xru 2. x K 2. Aufgabe 14. und Sei A = {x x N y N 2y = x R = {(x, y) x, y N x + y A. Beweisen Sie ausführlich, dass R eine Äquivalenzrelation auf N ist. Nennen Sie dann die Äquivalenzklassen von R. Sie dürfen im Beweis die Rechengesetze der Addition und der Multiplikation von natürlichen Zahlen verwenden. 11

12 Lösung von Aufgabe 14. R ist reflexiv auf N. x N xrx. Sei x N beliebig aber fest. xrx. Definition von R. x N x + x A. Dass x N ist, folgt direkt aus der Annahme. Definition von A. y N 2y = x + x. Konstruktion von y. Mit y = x, gilt 2y = x + x. R ist symmetrisch. x, y xry yrx. Seien x, y beliebig aber fest. Annahme xry, zu zeigen yrx. Aus der Annahme folgt unter Verwendung der Definition von R dass x, y N und x + y A. Mit der Kommutativität der Addition folgt y + x A. Folglich gilt yrx. R ist transitiv. x, y, z (xry yrz) xrz. Seien x, y, z beliebig aber fest. (xry yrz) xrz. Annahme xry und yrz. xrz. 12

13 Definition von R. Annahme: x, y, z N, x + y A, y + z A. x, z N, x + z A. Dass x, z N folgt direkt aus der Annahme. Definition von A. Annahme: Seien a, b N so dass Umformen ergibt Da und x, z N folgt und da a, b, y N folgt a N 2a = x + y b N 2b = y + z. c N 2c = x + z. 2a = x + y 2b = y + z. x + z = (x + y) + (y + z) 2y = 2a + 2b 2y = 2(a + b y). a + b = x + y + y + z 2 2 = y + x + z 2 a + b > y a + b y N. Mit c = a + b y folgt somit c N und 2c = x + z. Die Äquivalenzrelation R hat zwei Äquivalenzklassen, nämlich die geraden und die ungeraden natürlichen Zahlen. Aufgabe 15. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Dann ist auch R 1 eine Äquivalenzrelation auf A. Beweisen Sie nun ausführlich, dass R und R 1 die selben Äquivalenzklassen haben, d.h. A/R = A/R 1. Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass A/R A/R 1, der Beweis der anderen Teilmengenbeziehung ist analog. 13

14 Lösung von Aufgabe 15. Sei R eine beliebig aber fest gewählte Äquivalenzrelation auf A. Zu zeigen: A/R A/R 1. K A/R K A/R 1. Sei K A/R beliebig aber fest. K A/R 1. Definition von Äquivalenzklasse. Annahme: a A K = {x xra. Sei a A so dass Definition von R 1. b A K = {x xr 1 b. K = {x xra. K = {x ar 1 x. Symmetrie von R 1. Konstruktion eines b A so dass Wähle b = a. K = {x xr 1 a. K = {x xr 1 b. Aufgabe 16. Definieren Sie eine Äquivalenzrelation auf Z Q und nennen Sie eine Äquivalenzklasse dieser Relation. Lösung von Aufgabe 16. Gleichheitsrelation auf Z Q: = Z Q = {((a 1, b 1 ), (a 2, b 2 )) a 1, a 2 Z, b 1, b 2 Q, a 1 = a 2, b 1 = b 2. Eine Äquivalenzklasse ist z.b. {(0, 0). Ein anderes Beispiel ist (Z Q) 2. Die einzige Äquivalenzklasse dieser Relation ist Z Q. Aufgabe 17. Die Relationen = N und N N sind Äquivalenzrelationen auf N. Konstruieren Sie ein weiteres Beispiel für eine Äquivalenzrelation auf N und nennen Sie deren Äquivalenzklassen. 14

15 Lösung von Aufgabe 17. Zum Beispiel R == N {(1, 2), (2, 1) Klassen sind Ein anderes Beispiel ist {1, 2, {3, {4, {5,.... Die Klassen sind R = {(a, b) a, b N (a b) ist durch 2 teilbar {1, 3, 5, 7,... und {2, 4, 6, 8,.... Aufgabe 18. Sei M N. Dann ist R = = N M 2 eine Äquivalenzrelation auf N. Berechnen Sie N/R. Lösung von Aufgabe 18. N/R = {{a a N \ M {M. Aufgabe 19. Sei M = {(1, 2), (4, 2). Nennen Sie alle Elemente, die man zu M dazunehmen muss, damit aus M eine Äquivalenzrelation auf {1, 2, 3, 4 wird. Nennen Sie die Äquivalenzklassen der so entstandenen Äquivalenzrelation. Lösung von Aufgabe 19. Die Äquivalenzrelation ist M = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (1, 4), (4, 1) Äquivalenzklassen sind {1, 2, 4 und {3. 15

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