modulo s auf Z, s. Def

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1 16. Januar 2007 Arbeitsblatt 5 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/ Präsenzaufgaben: 1) Seien A und B zwei endliche Mengen mit A = 6 und B = 8. Wieviele Elemente hat die Potenzmenge Pot (A B) etwa? Schätzen Sie die Anzahl der Dezimalstellen von P ot(a B). Es darf 2 10 = benutzt werden. Lösung: 2 48 = (2 10 ) 4.8 (10 3 ) 4.8 = Ergebnis: ca. 15 Stellen nach dem Komma. 2) Betrachte die Kongruenzrelation R s modulo s auf Z, s. Def (a) Diskutieren Sie (7, 3) R 4, (7, 4) R 4, (3, 7) R 4, ( 3, 7) R 4, (1, 7) R 4, (7, 7) R 4, ( 7, 7) R 4. Schreiben Sie die wahren Aussagen auch in unter Verwendung des Kongruenz-Symbols. Lösung: 7 3 mod 4, 3 7 mod 4, 1 7 mod 4, 7 7 mod 4 (b) Warum ist jede ganze Zahl m ein Teiler der Null 2? Lösung: Weil 0 = 0 m, also r := 0 die Teilerbdingung erfüllt. (c) Jeder bei einer Division durch s IN auftretende Rest ist aus {0, 1, 2,..., s 1}. Zu jedem dieser s Reste gehört eine Äquivalenzklasse von R s. Geben Sie zu s := 4 für alle diese vier Klassen je zwei Elemente m 1 und m 2 mit m 1 < 0, m 2 > 10 an und überprüfen Sie, dass m 1 m 2 mod s. Lösung: Rest 0: m 1 := 4, m 2 := 12, Rest 1: m 1 := 3, m 2 := 13, Rest 2: m 1 := 2, m 2 := 14, Rest 3: m 1 := 1, m 2 := 15. m 1 und m 2 gehören jeweils derselben Äquivalenzklasse an. 3) Sei A die Menge aller Bahnhöfe in Deutschland. Eine zweistellige Relation R auf A sei durch (a, b) R : Ein Zug fährt ohne Halt von a nach b definiert. Diskutieren Sie die Eigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität) dieser Relation. Was ändert sich, wenn man statt von einem Zug von einer Zugverbindung (auch mit mehreren Zügen) spricht? 1 (m, n) R s : s teilt (m n). 2 m heißt Teiler von n : Es gibt ein r Z : n = r m. 1

2 Lösung: Reflexivität gibt keinen Sinn, Symmetrie ist wohl gegeben, aber nicht sicher, Antisymmetrie und Transitivität nicht, letzteres nur bei der Zugverbindung. 4) Sei A die Menge aller (auch schon verstorbenen) Menschen. Sei eine Relation auf A durch (a, b) R : a und b haben eine gemeinsame Großmutter definiert. Diskutieren Sie die Eigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität) dieser Relation. Lösung: reflexiv: ja, Symmetrie auch, Antisymmetrie nicht, Transitivität nicht, z.b. wenn a und b Kusinen oder Vettern sind. Beachte, dass jeder Mensch in der Regel 2 Großmütter hat. 5) Zwei Kreise in der Ebene sollen einer Zentrumsbeziehung genügen, wenn sie den gleichen Mittelpunkt haben. Ist dies eine Äquivalenzrelation? Was sind gegebenenfalls die Äquivalenzklassen? Wie könnte man eine Relation zwischen Kreisen definieren, damit eine Ordnungsrelation entsteht? Lösung: Ja, eine Äquivalenzklasse ist durch den gemeinsamen Mittelpunkt charakterisiert. Ordnungsrelation entsteht, wenn man die Größe der Radien zum Vergleich heranzieht. Oder wenn man die Enthaltensein-Relation verwendet. 6) Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Die Menge aller Primzahlen ist eine Relation auf IN Relation auf IN ist eine Teilmenge von IN IN.. Lösung: Falsch. Eine Aus m mod 3 = 2 folgt m 2 mod 3. ( 5, 11) R mod 4. 5 = (11 mod 4). 3 = (11 mod 4) mod 4. Aus m n mod s folgt stets m = n mod s. Aus m = n mod s folgt stets m n mod s. Die Gleichheitsrelation von Zahlen ist eine Ordnungsrelation. Die -Relation von Zahlen ist eine Ordnungsrelation. 2

3 Abbildung 1: Zu Aufgabe 17a Abbildung 2: Zu Aufgabe 17a Die >-Relation von Zahlen ist eine Ordnungsrelation. Jede nicht symmetrische Relation ist antisymmetrisch. Jede anti-symmetrische Relation ist nicht symmetrisch. Lösung: Eine Falle!! In der Regel ist die Aussage richtig. Mit einer einzigen Ausnahme: Nur die Gleichheitsrelation, bei der (a, b) R mit a b niemals zutrifft, ist sowohl anti-symmetrisch als auch symmetrisch. Übungsaufgaben: (Abgabe in den Übungen) Aufgabe 17: (a) (3) In den Abbildungen 1 und 2 sehen Sie zwei endliche Teilmengen von IN 0 IN 0. Sie stellen einen Ausschnitt zweier Ihnen sehr bekannter Relationen dar. Welche? Es genügt die Angabe der Relation und ihre Überprüfung an Hand von je drei verschiedenen Punkten der Abbildungen. Lösung: Die Relationen m ist Teiler von n (Beispiele: (1, 0), (1, 3), (3, 3)) und die Relation R 3 (Beispiele (1, 1), (1, 4), (3, 0)). 3

4 Abbildung 3: Aufgabe 17b (b) (3) Erstellen Sie entsprechend eine Abbildung für die Relation (m, n) R : ggt (m, n) = 1. (ggt steht für größter gemeinsamer Teiler.) Hierbei sollen Sie sich auf A := {n IN : n 7} beschränken. Lösung: s. Abb. 3. Beachte, dass diese Relation nicht reflexiv, wohl aber symmetrisch ist dies kann man an der Zeichnung erkennen, da die Diagonale eine Symmetrieachse ist. (c) Die Teilungs-Relation R auf IN, definiert durch (m, n) R : m teilt n ist eine Ordnungsrelation! Zeigen Sie die Transitivität unter ausdrücklichem Verweis auf die Def. 4.3 (Definition von Teiler). Lösung: Zu zeigen: (m, n) R (n, p) R = (m, p) R, in Worten: Aus m teilt n und n teilt p folgt m teilt p. Beweis: Wir müssen auf die Teiler-Definition 4.3 zurückgreifen, d.h. wir müssen aus k IN : n = k m und l IN : p = l n folgern, dass r IN : p = r m. Durch Einsetzen erhalten wir p = l n = l k m, so dass wir nur r := k l setzen brauchen! Aufgabe 18: Sei M eine Menge und P :=Pot M die Potenzmenge von M. (a) (5) Wir führen auf P eine Relation R durch (A, B) R : A B ein. Es geht also um die Enthaltensein-Relation von Mengen. Untersuchen Sie die vier Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität. Lösung: Wegen A A für alle A P ist die Relation reflexiv. Sie ist nicht symmetrisch, da sie anti-symmetrisch ist. Denn: Wenn A B, aber auch A B, wenn also A eine echte Teilmenge von B ist, kann B nicht in A enthalten sein, d.h., es gilt (B, A) / R. Die Relation ist transitiv, da für alle Teilmengen A, B und C von M aus A B und B C stets A C folgt. Beweis: Wegen A B (Definition!) folgt aus x A, dass x B. Wegen B C folgt aus x B auch x C. Insgesamt folgt aus x A also x C. Daher (Definition!) gilt A C. 4

5 (b) (5) Wir führen für endliche Mengen M auf P eine Relation R durch (A, B) R : A = B ein. Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt. Geben Sie für M := {1, 2} alle Äquivalenzklassen an. Lösung: Wegen A = A für alle A M gilt die Reflexivität. Da die Gleichheitsrelation für Zahlen eine Äquivalenzrelation ist, gilt auch hier Symmetrie und Transitivität. Jede Äquivalenzklasse besteht aus all den Teilmengen von M, die gleich viel Elemente haben. Ist M = n, so gibt es also n + 1 Äquivalenzklassen. Es gibt für M := {1, 2} drei Äquivalenzklassen. Die eine enthält nur die leere Menge, die zweite alle einelementigen Teilmengen ({1}, {2}), die dritte die Menge M selbst und sonst nichts. Aufgabe 19: Sie wissen, wie man m mod s für m, s IN berechnet (Rest bei Division von m durch s). Die präzise Definition lautet (und kann so auf Z verallgemeinert werden): Es gilt für s IN und m Z: r = m mod s : k Z : m = k s + r r IN 0 mit 0 r < s. Hinweis: Weil r := m mod s ein Rest modulo s ist, wird 0 r < s verlangt. (a) (2) Zeigen Sie (durch Angabe eines k in obiger Definition): 16 mod 5 = 4. Lösung: Setze k := 4: Es ist 16 = ( 4) (b) (2) Sei s := 4. Finden Sie vier verschiedene Paare (m 1, m 2 ) Z Z mit erstens m 1 m 2 mod s und zweitens vier verschiedenen Werten von m 1 mod s. Berechnen Sie zum Vergleich auch jeweils m 2 mod s. Lösung: (0, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 7). Die Werte von m 1 mod s sind nacheinander 0, 1, 2, 3. Die Werte von m 2 mod s stimmen mit den Werten von m 1 mod s überein. (c) (4) Zeigen Sie unter Verwendung der obigen Definition des modulo-operators mod, dass gilt: r = m mod s = r m mod s. Hinweis: Per Definition ist r := m mod s IN 0 und 0 r < s. Lösung: Wenn r = m mod s gibt es nach Definbtion des modulo-operators ein k Z mit m = k s + r. Daher ist m r ein Vielfaches von s und daher (nach definition der Kongruenz) ist r m mod s. 5

6 (d) (2) Die Umkehrung (r Z r m mod s = r = m mod s) ist falsch. Geben Sie ein Gegenbeispiel an. Lösung: s := 4, m := 7, r := 11. Dann ist m mod s = 3 r. (e) (Zusatzaufgabe, 3 Punkte) Zeigen Sie allgemein m 1 m 2 mod s m 1 mod s = m 2 mod s. Lösung: m 1 m 2 mod s heißt nach Definition, dass s ein Teiler von m 1 m 2 ist. Nach der Teilerdefinition ist dies gleichwertig damit, dass es ein k Z gibt mit m 1 m 2 = k s. Auf der anderen Seite gibt es k j Z mit m j = k j s + (m j mod s), j = 1, 2. Hieraus folgt m 1 m 2 = (k 1 k 2 )s + ((m 1 mod s) (m 2 mod s)). D.h., dass m 1 m 2 genau dann ein Vielfaches von s ist, wenn m 1 mod n = m 2 mod s. 6