Finden Sie eine Relation R und eine Menge A so dass
|
|
- Frank Lorentz
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Relationen Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen könnte und entscheiden Sie, ob die Relationen reflexiv auf A, symmetrisch bzw. transitiv sind. Geben Sie eine kurze Begründung. R = {(a, b) a, b Z, a b}, R = {(a, b) a, b R, a + b = 1}, R = {(a, b) a, b R, a 2 < b 2 }, R = {(a, b) a, b R, a 3 = b 3 }, A = Z A = R A = R A = R R = {(a, b) a, b N 0, a b ist gerade }, A = N 0 R = {(a, b) a, b N 0, a b ist ungerade }, A = N 0 R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, A = {1, 2, 3} R = {(2, 1), (3, 2), (3, 1)}, A = {1, 2, 3} R =, R = N N, A = N A = N Aufgabe 2. Finden Sie eine Relation auf {1, 2, 3}, die reflexiv und transitiv ist aber nicht symmetrisch. Aufgabe 3. Sei R die Verwandtschaftsrelation auf der Menge aller Menschen, d.h. arb genau dann wenn der Mensch a mit dem Mensch b verwandt ist. Begründen Sie informell, dass R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Ein Spezialfall der Verwandtschaftsrelation ist die Vorfahrenrelation S, d.h. asb genau dann wenn a Vorfahre von b ist. Untersuchen Sie ob R und S in einer Teilmengenbeziehung stehen. Ist S reflexiv, symmetrisch oder transitiv? Welche Eigenschaften hat die Relation R \ S? Aufgabe 4. Finden Sie eine Relation R und eine Menge A so dass R reflexiv auf A ist aber weder symmetrisch noch transitiv. R zwar symmetrisch aber weder reflexiv auf A noch transitiv ist. R zwar transitiv aber weder reflexiv auf A noch symmetrisch ist. R weder reflexiv auf A noch symmetrisch noch transitiv ist. Hinweis: Es ist einfacher wenn man mit Relationen auf einer endlichen Menge z.b. {1, 2, 3} spielt. Aufgabe 5. Wie kann man am Schaubild einer Relation R R R sofort ablesen ob sie reflexiv ist? Woran sieht man dass sie symmetrisch ist? Hinweis: Zeichnen Sie zuerst ein paar reflexive bzw. symmetrische Relationen und suchen dann die Gemeinsamkeiten. (Transitivität lässt sich nicht so direkt sehen, denken Sie aber trotzdem mal darüber nach). 1
2 Aufgabe 6. Prüfen Sie ob folgende Relationen reflexiv auf N 0, symmetrisch oder transitiv sind: 3 N 3 \ N N \ 3 3 N Aufgabe 7. Für zwei beliebige Mengen A und B gilt A B genau dann wenn A P (B). Sei A die Menge aller Objekte im Cantorschen Sinn. Erklären Sie in wiefern man sagen kann, dass eine Relation auf A und P (A) ist. Erklären Sie die Bedeutung der Ausdrücke A P (A) P (A P (A)) und (2, {1, 2, 3}). Wie würde man letzteren Ausdruck normalerweise schreiben? Was bedeutet ( (2, {1, 2, 3}), )? Aufgabe 8. Eine Relation R A A heißt antisymmetrisch, wenn für alle x, y gilt wenn xry und yrx dann ist x = y. So ist z.b. die Relation N antisymmetrisch, denn aus x N y und y N x folgt x = y. Welche der folgenden Relationen sind antisymmetrisch? < N, Z, σ, 3,,, N N, =. Beschreiben Sie, wie man allgemein vorgeht um von einer Relation R zu entscheiden ob sie antisymmetrisch ist und wie ein Beweis der Antisymmetrie beginnen würde. Aufgabe 9. Eine Relation R A A heißt Halbordnung auf A, wenn R reflexiv auf A, transitiv und antisymmetrisch ist. Welche der folgenden Relationen sind Halbordnungen? N auf N. 2
3 < N auf N. Z auf Z. σ auf N. 3 auf N 0. auf der Menge aller Mengen. auf N. N N auf N. = Q auf Q. Aufgabe 10. Eine Relation R A A heißt totale Ordnung auf A, wenn R Halbordnung ist und außerdem je zwei Elemente von A vergleichbar sind, d.h. für alle x, y gilt wenn x, y A dann xry oder yrx. Welche der folgenden Relationen sind totale Ordnungen? N auf N. < N auf N. Z auf Z. σ auf N. 3 auf N 0. auf der Menge aller Mengen. auf N. N N auf N. = Q auf Q. Aufgabe 11. Finden Sie jeweils 3 Elemente der Mengen < N Z ( 3 ) 2 Aufgabe 12. Sei A = {1, 2, 3}. Finden Sie eine Relation auf A, die zwar reflexiv und symmetrisch aber nicht transitiv ist. Aufgabe 13. Bestimmen Sie eine Relation R R 2, deren grafische Darstellung der grauen Fläche in Bild 1 links entspricht. Hinweis: Definieren Sie zunächst Relationen für das mittlere und das rechte Bild und verwenden Sie dann Mengenoperationen. 3
4 Abbildung 1: Grafische Darstellung von zweistelligen Relation auf R. Aufgabe 14. Bestimmen Sie jeweils 3 Elemente der folgenden Relationen: N, ( N ) 3, N N, N N Aufgabe 15. Die Relation R ist definiert durch R = {(a, b) a, b R, ab = 1}. Ist R reflexiv auf R, transitiv, symmetrisch bzw. antisymmetrisch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung (1 Satz) oder ein Gegenbeispiel. Aufgabe 16. Sei R = N N. Machen Sie sich klar, dass R eine Relation auf N 2 ist, d.h. R N 2 N 2. So ist z.b. ( (1, 2), (7, 3) ) R da (1, 2) N und (7, 3) N. Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass R weder reflexiv auf N 2 noch symmetrisch ist. Beweisen Sie ausführlich, dass R transitiv ist. Welche der Eigenschaften reflexiv auf N 2, symmetrisch, transitiv hat die Relation S = ( N ) 2? Aufgabe 17. Die Relation < N ist definiert als < N = {(a, b) a, b N x N a + x = b}. Beweisen Sie unter Verwendung dieser Definition ausführlich, dass < N transitiv ist. Aufgabe 18. Definieren Sie die Eigenschaften reflexiv auf A, symmetrisch, transitiv und antisymmetrisch von Relationen. 4
5 Aufgabe 19. Formulieren Sie folgende Aussage in der Sprache der Logik: Für jede Menge A und jede Relation R A A gilt: Wenn R symmetrisch und antisymmetrisch ist, dann ist R = A. Setzen Sie auch logische Formeln für die Begriffe symmetrisch und antisymmetrisch ein. Beweisen Sie dann die Aussage ausführlich. Aufgabe 20. In relationalen Datenbanken wird oft mit Tabellen gearbeitet, z.b. Typ Kennzeichen Farbe Baujahr Ford HN-DA-8190 rot 1995 VW S-KR-7618 blau 2001 Fiat MOS-RT-1783 grün 2003 Dass eine solche Tabelle tatsächlich eine Relation ist, erkennt man wenn man die beteiligten Mengen identifiziert: Typ = {Ford, VW, Fiat,...} Kennzeichen = {HN-DA-8190, S-KR-7618, MOS-RT-1783,...} Farbe = {rot, blau, grün,...} Baujahr = N. Die oben als Tabelle dargestellte Relation ist dann die Menge der Quadrupel Somit gilt R = { (Ford, HN-DA-8190, rot, 1995), (VW, S-KR-7618, blau, 2001), (Fiat, MOS-RT-1783, grün, 2003) } R Typ Kennzeichen Farbe Baujahr. Es gibt natürlich mehrere Autos des selben Herstellers, mehrere mit der selben Farbe und auch mehrere mit dem selben Baujahr. Andererseits gibt es aber zu gegebenem Kennzeichen höchstens ein Auto mit diesem Kennzeichen. Das Attribut Kennzeichen wird daher auch Schlüssel der Tabelle genannt. Formulieren Sie in der Sprache der Logik, dass das Attribut Kennzeichen Schlüssel der Relation R ist. Aufgabe 21. Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn a b (arb bra) a = b Ist diese Formel äquivalent zu a b arb bra? Geben Sie einen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. 5
6 Aufgabe 22. Wieviele unterschiedliche Relationen R A B gibt es für A = {1, 2} B = {1, 2, 3}? Aufgabe 23. Ein aktuelles Thema in der Informatik ist das Semantic Web, insbesondere die Verbesserung von Suchmaschinen. Derzeitige Suchmaschinen basieren im Wesentlichen darauf, Dokumente zu suchen, in denen ein gegebenes Wort vorkommt. Problematisch hierbei ist, dass ein Wort unterschiedliche Bedeutungen haben kann (Zweideutigkeiten). So kann z.b. das Wort Bremse sowohl ein Insekt als auch ein Fahrzeugteil bezeichnen. Interessiert man sich also für Maßnahmen gegen Insektenstiche und gibt das Wort Bremse in eine Suchmaschine ein, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass man viele Dokumente bekommt, die einen gar nicht interessieren. Weiterhin können unterschiedliche Worte die selbe Bedeutung haben (Synonyme). Die Worte Handy und Mobiltelefon haben die gleiche Bedeutung. Möchte man sich also über Mobiltelefone informieren und gibt das Wort Mobiltelefon in eine Suchmaschine ein, entgehen einem alle Dokumente, in denen das Wort Handy statt Mobiltelefon verwendet wurde. Sei nun Syntax = Menge aller Worte der Deutschen Sprache Semantik = Menge aller Dinge, die man durch Worte beschreiben kann. Sei weiterhin R Syntax Semantik die Relation, die die Beziehung zwischen Worten und ihrer Bedeutung herstellt, d.h. R = {(x, y) eine Bedeutung von Wort x ist y }. Elemente von R sind z.b. ( Bremse, das Insekt Bremse) ( Bremse, das Fahrzeugteil Bremse) ( Handy, das tragbare schnurlose Telefon) ( Mobiltelefon, das tragbare schnurlose Telefon) Formulieren Sie durch prädikatenlogische Ausdrücke die o.g. problematischen Eigenschaften der Relation R, dass ein und das selbe Wort mehrere Bedeutungen haben kann 6
7 unterschiedliche Worte die selbe Bedeutung haben können. Mit anderen Worten: R ist weder rechtseindeutig noch linkseindeutig. Transformieren Sie die Formeln so dass einmal nur Existenzquantoren und einmal nur Allquantoren darin vorkommen. Aufgabe 24. Eine Relation R heißt rechtseindeutig wenn gilt x, y 1, y 2 (xry 1 xry 2 ) y 1 = y 2. Analog heißt R linkseindeutig, wenn gilt x 1, x 2, y (x 1 Ry x 2 Ry) x 1 = x 2. Definieren Sie eine endliche Relation R N N, die weder rechtsnoch linkseindeutig ist. Definieren Sie eine unendliche Relation R N N, die weder rechtsnoch linkseindeutig ist. Aufgabe 25. Im Internet findet man heute sehr viel unseriöse oder falsche Information. Als Lösung zu diesem Problem wurde das sog. Web of Trust vorgeschlagen. Die Idee dabei ist, dass eine Organisation x explizit ihr Vertrauen in eine andere Organisation y aussprechen kann, d.h. x sagt, dass sie sicher ist, dass die von y veröffentlichten Informationen wahr sind. Auf diese Weise entsteht ein Netwerk von Vertrauensbeziehungen, daher der Name Web of Trust. Weiterhin gilt, dass eine Organisation x einer Organisation z vertraut, falls es eine für x vertrauenswürdige Organisation y gibt, die ihrerseits z vertraut. Formulieren Sie die zuletzt genannte Eigenschaft der Vertrauensbeziehung in der Sprache der Prädikatenlogik. Verwenden Sie hierfür eine Menge A aller Organisationen und die Vertrauensrelation R A A mit R = {(x, y) x vertraut y}. Folgt aus o.g. Eigenschaft, dass Vertrauen symmetrisch ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Beispiel einer Relation R, die o.g. Eigenschaft besitzt aber nicht symmetrisch ist. Folgt aus o.g. Eigenschaft, dass Vertrauen transitiv ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Beispiel einer Relation R, die o.g. Eigenschaft besitzt aber nicht transitiv ist. Aufgabe 26. Sei A eine Menge von Menschen und R A A die Relation R = {(x, y) x, y A und x vertraut y } Jeder Mensch aus A vertraut sich selbst und hat außerdem noch einen weiteren Menschen aus A, der ihm vertraut. Formulieren Sie diese Aussage in der Sprache der Prädikatenlogik. 7
8 Aufgabe 27. Folgt hieraus, dass sich alle Menschen aus A gegenseitig vertrauen? Geben Sie einen kurzen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Ist die Schnittmenge zweier transitiver Relationen immer eine transitive Relation? Ist die Vereinigungsmenge zweier transitiver Relationen immer eine transitive Relation? Geben Sie zu jeder Aussage einen ausführlichen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Aufgabe 28. Sei R A A eine Halbordnung auf A. Beweisen Sie ausführlich, dass R keine Zyklen hat, d.h. dass es keine Elemente x 1, x 2,..., x n A gibt mit x 1 x n so dass x 1 Rx 2, x 2 Rx 3,..., x n 1 Rx n und x n Rx 1. Aufgabe 29. Eine Relation R heißt reflexiv auf M, wenn x x M xrx. Um zu zeigen, dass eine gegebene Relation R nicht reflexiv auf M ist, genügt es ein Gegenbeispiel zu finden, d.h. ein Objekt x so dass x M (xrx). Überlegen Sie sich, warum das so ist indem Sie eine Formel für die Aussage R ist nicht reflexiv auf M konstruieren und so lange umformen bis rauskommt es gibt ein x so dass x M und nicht xrx. Aufgabe 30. Bei der Menge handelt es sich um eine Relation, da z.b. für oder auch R = N N R A B A = N 2 und B = N 2 A = N und B = N. Nennen Sie drei Elemente der Relation und beweisen Sie ausführlich, d.h. unter ausschließlicher Benutzung der Beweisregeln im Skript, dass R reflexiv auf = N ist. 8
9 Aufgabe 31. Sei R A A eine Relation und = A die Gleichheitsrelation auf A. Beweisen Sie ausführlich, dass die Relation reflexiv auf A ist. R = A Aufgabe 32. Die Relation R sei definiert durch R = {(x, y) x N y N z N (x < N z z < N y). Ist R reflexiv auf N, symmetrisch bzw. transitiv? Beweisen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 33. Die Kleiner Relation auf N ist definiert durch < N = {(x, y) x, y N z N x + z = y}. Beweisen Sie ausführlich, dass < N transitiv ist. Aufgabe 34. Gilt für jede Relation R dass die Relation S = {(x, y) z (xrz zry)}. transitiv ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Aufgabe 35. Definieren Sie durch eine prädikatenlogische Formel wann eine Relation antisymmetrisch ist. Welche der folgenden Relationen sind antisymmetrisch? R = {(a, b) a, b Z, ab = 1} R = {(a, b) a, b Z, ab = 1} R = {(a, b) a, b Z, ab = 4}. Aufgabe 36. Nennen Sie zwei Elemente der Menge ( N \ N ) = N. Aufgabe 37. Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel für folgende Aussage: Für alle Mengen A, B ist die Relation R = A B transitiv. 9
10 Aufgabe 38. Finden Sie zwei Mengen A, B so dass die Relation R = A 2 B 2 nicht transitiv ist. Geben Sie eine kurze Begründung, weshalb R in Ihrem Beispiel nicht transitiv ist. Aufgabe 39. Definieren Sie durch eine Formel der Prädikatenlogik wann eine Relation antisymmetrisch ist. Entscheiden Sie ob die Relation R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3)} antisymmetrisch ist. Begründung ist nicht erforderlich, eine falsche Antwort gibt aber Punktabzug. Aufgabe 40. Sei R eine Relation mit der Eigenschaft a, b, c (arb brc) arc. Beweisen Sie ausführlich, dass hieraus folgt x xrx. Aufgabe 41. Beweisen Sie ausführlich, dass jede Teilmenge einer antisymmetrischen Relation wiederum eine antisymmetrische Relation ist. Aufgabe 42. Die Relation R = {(1, 1)} ist eine reflexive Relation auf der Menge {1}. Ist R auch eine reflexive Relation auf der Menge N? Aufgabe 43. Zeigen Sie, dass die Teilmengenrelation auf der Menge aller Mengen reflexiv und transitiv ist aber nicht symmetrisch. Aufgabe 44. Begründen Sie: Ist R eine reflexive Relation auf A und S eine beliebige Relation auf A, dann ist R S reflexiv auf A. Gilt das auch für symmetrisch und transitiv? Finden Sie ein Gegenbeispiel für R, S und A wo das nicht so ist. die Gleichheitsre- Aufgabe 45. Sei = N die Gleichheitsrelation auf N und = N 2 lation auf N 2. Finden Sie ein Objekt x für das gilt x (= N ) 2 x = N 2. Finden Sie ein Objekt y für das gilt y (= N ) 2 y = N 2. 10
Relationen A = Z A = R. R = {(a, b) a, b Z, a b} R = {(a, b) a, b R, a 3 = b 3 } R =, R = {(a, b) a, b N 0, a b ist ungerade }, A = N 0 A = N
Relationen Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen könnte und entscheiden Sie, ob die Relationen reflexiv auf A, symmetrisch bzw. transitiv sind. Geben Sie eine kurze
MehrAufgabe 3. Sei A eine Menge von Zahlen und neg das Tripel. neg = (A, A, R) A = N A = Z A = R A = R \ {0} mod : N 0 N N 0
Funktionen Aufgabe 1. Finden Sie 3 Beispiele von Funktionen und 3 Beispiele von partiellen Funktionen, die nicht total sind. Es sollten auch mehrstellige Funktionen darunter sein. Aufgabe 2. Zeigen Sie,
MehrÜbungen zu Logik und Künstliche Intelligenz Blatt 8
Heilbronn, den 14.5.2010 Prof. Dr. V. Stahl WS 10/11 Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz Blatt 8 Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen könnte und entscheiden
MehrR = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} K 1 = {1} K 2 = {2} K 3 = {3}
Äquivalenzrelationen Aufgabe 1. Lesen Sie im Skript nach was eine Äquivalenzrelation und eine Äquivalenzklasse ist. Gegeben ist die Menge A = {1, 2, 3. Finden Sie 3 Äquivalenzrelationen auf A und geben
MehrLogik und Künstliche Intelligenz
Logik und Künstliche Intelligenz Kurze Zusammenfassung (Stand: 14. Januar 2010) Prof. Dr. V. Stahl Copyright 2007 by Volker Stahl. All rights reserved. V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung
MehrInjektiv, Surjektiv, Bijektiv
Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y)
MehrInjektiv, Surjektiv, Bijektiv
Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y)
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker
Vorkurs Mathematik für Informatiker 5. Relationen Thomas Huckle, Kilian Röhner Technische Universität München 9.10.2017 Relationen Mit Relationen können wir Beziehungen zwischen je zwei Dingen ausdrücken.
MehrPaare und Kartesische Produkte
Paare und Kartesische Produkte Aufgabe 1. Stellen Sie das Tripel (a, b, c) als Paar und als Menge dar. Hinweis: Verwenden Sie Farben. Lösung von Aufgabe 1. (a, b, c) = ((a, b), c) Paar Darstellung (a,
MehrVorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September 2007
Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Definition Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische)
MehrEinführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,
MehrVorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.
Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt
Mehr3. Relationen. 3.1 Kartesische Produkte 3.2 Zweistellige Relationen 3.3 Äqivalenzrelationen 3.4 Halbordnungen 3.5 Hüllen. Rolf Linn. 3.
3. Relationen 3.1 Kartesische Produkte 3.2 Zweistellige Relationen 3.3 Äqivalenzrelationen 3.4 Halbordnungen 3.5 Hüllen 3. Relationen GM 3-1 Wozu Relationen? Mathematik Theoretische Informatik Kryptographie
MehrMathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom
Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 18.11.2004 Zur Wiederholung: Das Kartesische Produkt dient dem Ordnen von Mengen. A B = {(a, b) : a A, b B)} Spezialfall A = Äquivalenzrelation
MehrWESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER. Diskrete Strukturen. wissen leben WWU Münster
MÜNSTER Diskrete Strukturen Dietmar Lammers Vorlesung SoSe 2010 > Relationen MÜNSTER Diskrete Strukturen 41/101 Seien A und B und für n N seien A 1 A 2...A n Mengen > Relationen MÜNSTER Diskrete Strukturen
MehrKapitel 2. Mathematische Grundlagen. Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung
LUDWIG- MAXIMILIANS- UNIVERSITY MUNICH DEPARTMENT INSTITUTE FOR INFORMATICS DATABASE Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Skript zur Vorlesung Einführung in die Programmierung im Wintersemester 2012/13 Ludwig-Maximilians-Universität
MehrAbschnitt 3: Mathematische Grundlagen
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Induktion und Rekursion 3.3 Boolsche Algebra Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 14/15 48 / 155 Überblick
Mehrmodulo s auf Z, s. Def
16. Januar 2007 Arbeitsblatt 5 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 21.11.06 Präsenzaufgaben: 1) Seien
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
MehrAbschnitt 3: Mathematische Grundlagen
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 Mengen und Abbildungen 3.2 Induktion und Rekursion 3.3 Ausdrücke 3 Mathematische Grundlagen Einf. Progr. (WS 08/09) 102 Überblick 3.
MehrFormale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Teil 1: Wiederholung 1 Mengen 2 Abbildungen 3 Exkurs Beweistechniken 4 Relationen Definition Operationen Eigenschaften Äquivalenzrelationen
Mehr3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen
3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob
Mehr1.3 Relationen und Funktionen
1.3. RELATIONEN UND FUNKTIONEN 1 1.3 Relationen und Funktionen Es gibt eine Konstruktion (Übungsaufgabe!) einer Klasse (a, b) mit der Eigenschaft (a, b) = (c, d) a = c b = d. Diese Klasse (a, b) heißt
MehrMusterlösung MafI 1 - Blatt 5
Musterlösung MafI 1 - Blatt 5 Titus Laska Aufgabe 1 (Relationen). Die drei Relationen R, S, T N N sind jeweils auf Reflexivität, Symmetrie und Antisymmetrie zu untersuchen. Lösung. Erinnerung. Sei R A
MehrTutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 18: Logik Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/35 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und
MehrRelationen können als spezielle Mengen verstanden werden.
4.3 Relationen Relationen können als spezielle Mengen verstanden werden. Hierfür muss zunächst der Begriff eines weiteren mengentheoretischen Objektes der des geordneten n-tupels eingeführt werden. Johannes
MehrÜbungen zu Logik und Künstliche Intelligenz mit Musterlösungen 1 Blatt 11
Heilbronn, den 18.6.2010 Prof. Dr. V. Stahl WS 10/11 Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz mit Musterlösungen 1 Blatt 11 Aufgabe 1. Schreiben Sie auf wann ein Tripel (A, B, R) eine partielle Funktion,
Mehr(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt
Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N
MehrÜbersichtsblatt Hertrampf/Bahrdt. 1 Mathematische Aussagen. Theoretische Informatik I WS2018/19
Theoretische Informatik I WS2018/19 Übersichtsblatt Hertrampf/Bahrdt Institut für Formale Methoden der Informatik Theoretische Informatik Universität Stuttgart 1 Mathematische Aussagen Um mathematische
MehrMathematische Grundlagen
Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Mathematische Grundlagen Klausur Wintersemester 2015/16 16. März 2015 Name: Vorname: Matrikelnr.: Aufgabe 1 2 4 5 6 Summe Punkte 10 10 10 10 10 10 60 erreicht
MehrMengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }
Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
Mehr2 Mengen, Abbildungen und Relationen
Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl
MehrMengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit
Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {
Mehr2 Lösungen zu Kapitel 2
2 Lösungen zu Kapitel 2 2. Lösung. Die Funktion f ist nicht injektiv. So gibt es (unendlich) viele Paare (x, y) mit f(x, y) = 0, etwa (0, 0) und (/2, ). Die Funktion f ist surjektiv. Zum Beispiel gilt
MehrFormale Methoden 2 (Lehrstuhl I Logik in der Informatik)
Formale Methoden 2 Gaetano Geck (Lehrstuhl I Logik in der Informatik) Blatt 3 Beispiellösung WS 2015/16 Aufgabe 1 [Wiederholung: Relationen] 3 Punkte Begründe jeden deiner Lösungsvorschläge. a) Wir definieren
MehrDiskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik &
Mehri=1 j= 5 2. Verifizieren Sie die Gleichung indem Sie die Ausdrücke ohne Summenzeichen schreiben. j=0
Übungen zur Einführung in die Analysis (Einführung in das mathematische Arbeiten WS 2017 1. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung von Summen- bzw. Produktzeichen: 7 2 3 5 k 2k+1, a k, 2
MehrDie Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik
Die Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik 1 Mathematische Strukturen und deren Typen Definition 1.1 Eine Struktur A ist ein 4-Tupel A = (A; (R A i i I); (f A j j J); (c A k k K)) wobei I, J,
MehrSkriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA
Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA 1 Günter Lettl SS 2016 1. Algebraische Grundbegriffe 1.1 Verknüpfungen Definition 1. Es sei M eine nicht leere Menge. a) Eine Verknüpfung (oder (binäre) Operation) auf
MehrRelationen und Funktionen
Vorkurs Mathematik Dr. Regula Krapf Sommersemester 018 Relationen und Funktionen Definition. Seien M und N Mengen. Eine Relation auf M N ist eine Teilmenge R M N. Falls (x,y) R, so schreibt man auch x
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 1-14. Sitzung Dennis Felsing dennis.felsing@student.kit.edu http://www.stud.uni-karlsruhe.de/~ubcqr/2010w/tut gbi/ 2011-02-07 Äquivalenzrelationen 1 Äquivalenzrelationen
Mehr, 5;8 7,6 8;15;21 4/2,3/1,4 2; 4 3;15 7;7 3,2;3; 32 5,6,7 ; 8,2,1
Mathematik (BG27) 2 3 { Objekt} { Menge } { Element } { } Reihenfolge spielt keine Rolle Unterscheidbarkeit der Objekte (redundanzfrei) 4 Objekt, 58 7,6 Beschreibung 81521 4/2,3/1,4 2 4 315 77 3,23 32
MehrSyntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe
Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme Formeln Eine Variable hat die Form x i mit i = 1, 2, 3.... Ein Prädikatensymbol hat die Form Pi k und ein Funktionssymbol hat die Form fi k mit i = 1, 2, 3...
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 17: Relationen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2013/2014 1/61 Anmerkung Änderung im Wintersemester 2013/2014:
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws13/14
MehrSeminar Mathematische Logik L-Strukturen und Syntax der Prädikatenlogik
Seminar Mathematische Logik L-Strukturen und Syntax der Prädikatenlogik Linda Raabe 7. März 2012 1 L-Strukturen Definition 1.1 (Struktur) Eine Struktur A ist eine nichtleere Trägermenge A zusammen mit
MehrSignatur einer prädikatenlogische Sprache
Signatur einer prädikatenlogische Sprache Das Alphabet einer prädikatenlogische Sprache (erster Stufe) besteht aus den logischen Funktoren,,,,, and den Klammersymbolen ( und ) und dem Komma, einer (abzählbar
MehrGrundbegriffe der Informatik Tutorium 14
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 14 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 11. Februar 2015 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum
MehrLogik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau
Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Mengen und Mengenoperationen (Teil I) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents Mengen und ihre Darstellung Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher
MehrVor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen
Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken
MehrProbeklausur Mathematische Logik
Lehr- und Forschungsgebiet Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen Prof. Dr. E. Grädel SS 2015 Probeklausur Mathematische Logik Aufgabe 1 (a) (i) Seien R, zweistellige Relationssymbole. Ist
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2013/14 Relationalstrukturen 59 Definition Sei A eine nichtleere Menge, R ist eine k-stellige
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker
Vorkurs Mathematik für Informatiker 6. Ordnungsrelationen Thomas Huckle, Kilian Röhner Technische Universität München 9.10.2017 Graphen Graph besteht aus Knoten (Ecken) und Kanten (Verbindungen zwischen
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 23. November 2017 1/40 Satz 4.27 (Multinomialsatz) Seien r, n N 0. Dann gilt für
MehrKAPITEL 4. Posets Hasse Diagramm
KAPITEL 4 Posets Im Abschnitt über Relationen (1.4) wurde Eigenschaften von Relationen über einer einzigen Grundmenge X definiert. Mithilfe dieser Eigenschaften wurden z.b. Äquivalenzrelationen definiert.
MehrAussagenlogik. Mengenlehre. Relationen. Funktionen. Zahlentheorie. Vollständige Induktion. Reihen. Zahlenfolgen. WS 2016/17 Torsten Schreiber
Mengenlehre Aussagenlogik Relationen Zahlentheorie Funktionen Vollständige Induktion Zahlenfolgen Reihen 193 Definition einer Menge: Beziehungsjunktoren: ist Element, d.h. Wert und Format stimmen überein
Mehr4. Mathematische und notationelle Grundlagen. Beispiel Mengen. Bezeichnungen:
4. Mathematische und notationelle Grundlagen 4.1 Mengen Beispiel 3 A 1 = {2, 4, 6, 8}; A 2 = {0, 2, 4, 6,...} = {n N 0 ; n gerade} Bezeichnungen: x A A x x A B A B A { } x Element A x nicht Element A B
MehrOperatoren für das Fach Mathematik
Operatoren für das Fach Mathematik Anforderungsbereich I Angeben, Nennen Sachverhalte, Begriffe, Daten ohne nähere Erläuterungen und Begründungen, ohne Lösungsweg aufzählen Geben Sie die Koordinaten des
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Mehrf(1, 1) = 1, f(x, y) = 0 sonst üblicherweise Konjunktion, manchmal auch
Belegungen, Wahrheitsfunktionen 1. Wie viele binäre Funktionen gibt es auf der Menge {0, 1} (d.h., Funktionen von {0, 1} 2 nach {0, 1})? Geben Sie alle diese Funktionen an, und finden Sie sinnvolle Namen
MehrGrundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik I Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Logik
MehrTheoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 10: Einführung Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt:
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik
überblick Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan Table of Contents 1 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan 2 Allgemeines Termine
MehrLogik I. Symbole, Terme, Formeln
Logik I Symbole, Terme, Formeln Wie jede geschriebene Sprache basiert die Prädikatenlogik erster Stufe auf einem Alphabet, welches aus den folgenden Symbolen besteht: (a) Variabeln wie zum Beispiel v 0,v
MehrEine Relation R in einer Menge M ist eine Teilmenge von M x M. Statt (a,b) R schreibt man auch arb.
4. Relationen 4.1 Grundlegende Definitionen Relation R in einer Menge M: Beziehung zwischen je 2 Elementen von M. Beispiel
MehrGrundlagen der Mathematik
Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.
MehrProbeklausur Mathematische Logik
Lehr- und Forschungsgebiet Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen Prof. Dr. E. Grädel SS 2017 Probeklausur Mathematische Logik Aufgabe 1 (a) (i) Sei τ = {R} für ein zweistelliges Relationssymbol
MehrDieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung, dass diese Titelfolie nicht entfernt wird.
Thomas Studer Relationale Datenbanken: Von den theoretischen Grundlagen zu Anwendungen mit PostgreSQL Springer, 2016 ISBN 978-3-662-46570-7 Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung,
MehrUniversität Heidelberg 12. April 2018 Institut für Informatik Klaus Ambos-Spies Nadine Losert. 2. Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik
Universität Heidelberg 12. April 2018 Institut für Informatik Klaus Ambos-Spies Nadine Losert 2. Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik Es können maximal 48 Punkte erworben werden. Die Klausur ist bestanden,
MehrGrundlagen und Diskrete Strukturen Aufgaben zur Vorbereitung der Klausur
Technische Universität Ilmenau WS 2008/2009 Institut für Mathematik Informatik, 1.FS Dr. Thomas Böhme Aufgabe 1 : Grundlagen und Diskrete Strukturen Aufgaben zur Vorbereitung der Klausur Gegeben sind die
MehrName: Mustermann Vorname: Max Matrikel-Nr.: Studienfach:...
apl. Prof. Dr. Klaus Reinhardt 22. März 2013 Name: Mustermann Vorname: Max Matrikel-Nr.: 123456 Studienfach:........................ Wichtige Hinweise: 1. Prüfen Sie Ihr exemplar auf Vollständigkeit (ein
MehrGrundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie
Grundlagen der linearen Algebra und analytischen Geometrie Sascha Trostorff 27. Oktober 2017 Inhaltsverzeichnis I. Einführung in die Mengenlehre 3 1. Grundlagen der Aussagenlogik 4 2. Naive Mengenlehre
MehrGrundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1
Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1.1 ( Punkte) Schreiben Sie die Definitionen von Injektivität und Surjektivität einer Funktion als prädikatenlogische Formeln auf. Lösung
Mehr13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
Mehr4. Funktionen und Relationen
Bestimmung der Umkehrfunktionen c) bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x. y = x 3 y = x y = x y = (x+1)/2 y = x 1/3 y = 2x 1 Seite 27
MehrZur Vorbereitung auf die Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik Mo 4., Mi 6. und Fr. 8. Oktober in H/C 3310 um Uhr.
M a t h e m a t i s c h e s P r o p ä d e u t i k u m Zur Vorbereitung auf die Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik Mo 4., Mi 6. und Fr. 8. Oktober in H/C 3310 um14 00-16 00 Uhr. Erfahrungsgemäß
MehrAbschnitt 3: Mathematische Grundlagen
Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen 3.1 3.2 Boolsche Algebra 3.3 Induktion und Rekursion Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 46 / 708 Überblick
Mehr1.2 Klassen und Mengen
14 1.2 Klassen und Mengen Als undefinierten Grundbegriff verwenden wir den Begriff der Klasse. Dieser ist allgemeiner als der Mengenbegriff und wird in der Algebra zur Definition sogenannter Kategorien
Mehrf(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
Umkehrfunktionen Aufgabe 1. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Definieren Sie eine bijektive Funktion f A A und geben Sie ihre Umkehrfunktion f 1 an. Lösung von Aufgabe 1. Zum Beispiel f, f 1 A A mit f(x) = x f 1 (x)
MehrDiskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre
MehrMathematische Grundlagen
Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Mathematische Grundlagen Klausur Sommersemester 2016 16. September 2016, 1:00 14:0 Uhr Name: Vorname: Matrikelnr.: Unterschrift: Aufgabe 1 2 4 5 6 Summe Punkte
MehrLineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10
Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige
MehrAlphabet der Prädikatenlogik
Relationen und Alphabet der Das Alphabet der besteht aus Individuenvariablen Dafür verwenden wir kleine Buchstaben vom Ende des deutschen Alphabets, auch indiziert, z. B. x, y, z, x 1, y 2,.... Individuenkonstanten
MehrEinführung in die Programmierung
Einführung in die Programmierung Teil 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Peer Kröger, Florian Richter, Michael Fromm Wintersemester 2018/2019 Übersicht 1. Mengen 2. Relationen und Abbildungen 3. Boolsche
MehrGrundlagen: 1. Logik. Aussagen und Aussagenformen Wahrheitstabellen; Tautologien und Kontradiktionen Logische Äquivalenz. Prädikate und Quantoren
Zusammenfassung Grundlagen Logik, Mengen, Relationen, Folgen & Mengenfamilien, Kardinalitäten Techniken Mathematisches Beweisen, Induktion, Kombinatorische Beweise Strukturen Graphen 1 Grundlagen: 1. Logik
MehrLogik Vorlesung 7: Grundlagen Prädikatenlogik
Logik Vorlesung 7: Grundlagen Prädikatenlogik Andreas Maletti 5. Dezember 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrKapitel L:III. III. Prädikatenlogik
Kapitel L:III III. Prädikatenlogik Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik Wichtige Äquivalenzen Einfache Normalformen Substitution Skolem-Normalformen Standard-Erfüllbarkeit Prädikatenlogische
MehrKapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 1 9.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Rückblick: Vor- und Nachteile von Aussagenlogik + Aussagenlogik
MehrAufgabe Zusatz.1. Aufgabe Zusatz.2. Aufgabe Zusatz.3. Aufgabe Zusatz.4. HTWK Leipzig, Fakultät IMN Prof. Dr. Sibylle Schwarz
HTWK Leipzig, Fakultät IMN Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de Zusatz. Übung zur Vorlesung Modellierung Wintersemester 2018/19 Lösungen bis 13. Januar 2019 einzusenden im Opal-Kurs
Mehr1.9 Beweis durch Kontraposition
1.9 Beweis durch Kontraposition 1.9 Beweis durch Kontraposition Ein Beweis durch Kontraposition ist ein Spezialfall des indirekten Beweises. Wir betrachten zwei Aussagen A und B und wollen A B zeigen,
MehrAbschnitt 3.2: Der Satz von Ehrenfeucht
Abschnitt 3.2: Der Satz von Ehrenfeucht In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass ein enger Zusammenhang zwischen EF-Spielen und der Ausdrucksstärke der Logik erster Stufe besteht. Zur Formulierung dieses
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung
MehrEinführung in die Mengenlehre
Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei
MehrDiskrete Strukturen. Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008
Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 4
Mehr