Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

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1 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y) ) } (x, y) R A eine reflexive Relation auf B. Aufgabe 2. Seien A und B Mengen und π 1 = (A B, A, {( (a, b), a ) a A, b B }) π 2 ( = A B, B, {( (a, b), b ) a A, b B }). Begründen Sie unter Verwendung der Eigenschaften von Paaren, dass π 1 und π 2 Funktionen sind und beschreiben Sie anschaulich, was π 1 bzw. π 2 tun. Sei nun A = N und B = Z. Berechnen Sie π 1 (1, 1), π 2 (1, 1), π 1 (3, 3), π 2 (3, 3). Sind π 1 und π 2 injektiv bzw. surjektiv? Finden Sie ein Gegenbeispiel oder geben Sie einen Beweis. Hinweis: Es handelt sich bei π 1 und π 2 um die Projektionsfunktionen auf die erste bzw. zweite Komponente. Aufgabe 3. Die Funktion f (Z N) Q ist definiert durch f(x, y) = x/y. Ist f injektiv bzw. surjektiv? Geben Sie jeweils einen Satz Begründung. Aufgabe 4. Sei f = (N, N N, R) eine Funktion mit dem Graphen { R = (a, b) a N, b = ( N, N, {(x, y) x, y N, y = x + a} )}. Überlegen Sie sich anschaulich was die Funktion f macht und berechnen Sie dann f(3). Ist f injektiv bzw. surjektiv? Jeweils ein Satz Begründung. Aufgabe 5. Finden Sie eine Relation R so dass das Tripel f = ({1, 2, 3}, {4, 5}, R) eine Funktion ist, die aber nicht surjektiv ist. 1

2 Aufgabe 6. Sei N die kleiner gleich Relation auf N und Berechnen Sie f(3). f N P (N) mit f(x) = {y y N x}. Ist f injektiv? Ist f surjektiv? Geben Sie jeweils einen ausführlichen Beweis oder nennen Sie ein Gegenbeispiel. Aufgabe 7. Schreiben Sie auf wann ein Tripel (A, B, R) eine partielle Funktion, eine totale Funktion, eine injektive, surjektive bzw. bijektive Funktion ist. Füllen Sie dabei jeweils die Lücken auf in dem Satz Zu jedem existiert mindestens/höchstens/genau ein so dass arb. Aufgabe 8. Finden Sie jeweils 3 Beispiele von Funktionen, die sind. weder injektiv noch surjektiv, injektiv aber nicht surjektiv, surjektiv aber nicht injektiv, injektiv und surjektiv Aufgabe 9. Finden Sie ein Beispiel zweier Mengen A und B und einer Relation R A B aus der wirklichen Welt für die (A, B, R) keine partielle Funktion eine partielle aber nicht totale Funktion eine weder injektive noch surjektive Funktion eine injektive aber nicht surjektive Funktion eine surjektive aber nicht injektive Funktion eine bijektive Funktion ist. Wenn z.b. A die Menge der Häuser und B die Menge der Türen und R = {(a, b) b ist Eingangstür von a} ist, dann ist (A, B, R) keine Funktion, da manche Häuser zwei Eingänge haben. Andererseit ist mit R 1 = {(b, a) b ist Eingangstür von a} das Tripel (B, A, R 1 ) eine partielle Funktion, da jede Tür höchstens zu einem Haus gehören kann. Sie ist deshalb nicht total, weil es auch Türen gibt, die nicht nach draußen führen. 2

3 Aufgabe 10. Gegeben ist die Funktion f Z Z N 0 Z durch f(x, y) = (x 2, x + y). Ist f injektiv bzw. surjektiv? Falls nicht, finden Sie jeweils ein Gegenbeispiel. Aufgabe 11. Ist die Funktion f Z N Q, f(x, y) = x/y injektiv bzw. surjektiv? Aufgabe 12. Überlegen Sie sich eine bijektive Funktion f N Z 2, beschreiben Sie, wie die Funktionswerte zu berechnen sind (mit einem Bild oder Formeln) und geben Sie die f(1), f(2), f(3), f(4) und f(5) an. Hinweis: Überlegen Sie sich eine graphische Darstellung und denken Sie an quadratische Schneckenhäuser. Aufgabe 13. Überlegen Sie sich zwei injektive Funktionen f, g N N. Berechnen Sie f g und g f und untersuchen Sie, ob diese beiden Funktionen auch injektiv sind. Beweisen Sie dann allgemein, dass wenn f A B und g B C injektiv sind, auch g f injektiv ist. Aufgabe 14. Angenommen die Funktion g ist Erweiterung der Funktion f. Zeigen Sie, dass wenn g injektiv ist, auch f injektiv ist. Aufgabe 15. Sei wieder g Erweiterung von f. Wenn f surjektiv ist, ist dann auch g surjektiv? Wenn g surjektiv ist, ist dann auch f surjektiv? Finden Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Aufgabe 16. Sei A = {1, 2, 3}. Finden Sie eine Relation R so dass (A, A, R) eine Funktion ist, die weder surjektiv noch injektiv ist. Aufgabe 17. Gegeben ist die Funktion f Z 2 Z 2 durch Ist f injektiv bzw. surjektiv? Aufgabe 18. Gegeben ist die Relation f(x, y) = (x + y, x y). R = {(x, y) x, y R, y 2 = x}. 3

4 Ist (R, R, R) eine Funktion? Finden Sie zwei Mengen A, B R so dass f = ( A, B, R (A B) ) eine bijektive Funktion ist. Aufgabe 19. Sei Z 2 = {0, 1} und 2 Z 2 Z 2 Z 2 definiert durch x 2 y = (x + y) mod 2 Ist 2 injektiv, surjektiv oder bijektiv? (Ohne Beweis, nur ja oder nein.) Sei weiterhin f = ( ) Z 2, Z 2, {(x, y) x, y Z 2, x 2 y = 1} Ist f eine Funktion, eine partielle Funktion oder keins von beidem? (Ohne Beweis.) Sei nun Z 3 = {0, 1, 2} und ( ) g = Z 2, Z 3, {(x, y) x Z 2, y Z 3, (x + y) mod 2 = 1} Ist g eine Funktion, eine partielle Funktion oder keins von beidem? Geben Sie eine Begründung. Aufgabe 20. Entscheiden Sie von jeder der folgenden Funktionen ob sie injektiv bzw. surjektiv ist. (Ohne Beweis.) { x 1 falls x gerade f N N, f(x) = x + 1 falls x ungerade f Z Z, f R R, f(x) = 2x f(x) = sin(x) Aufgabe 21. Finden Sie zwei Beispiele von bijektiven Funktion aus N 3 N 3. Aufgabe 22. Geben Sie einen ausführlichen Beweis, dass wenn die Funktionen f A 1 B 1 g A 2 B 2 surjektiv sind, auch die Funktion h A 1 A 2 B 1 B 2 mit surjektiv ist. h(x, y) = (f(x), g(y)) 4

5 Aufgabe 23. Geben Sie einen ausführlichen Beweis, dass wenn zwei injektive Funktionen sind, auch f, g A B h A A B B mit injektiv ist. h(x, y) = (f(x), g(y)) Aufgabe 24. Gegeben ist die Funktion f N N durch f(x) = { 2x falls x ungerade x/2 falls x gerade. Ist f injektiv bzw. surjektiv? (Jeweils ein Satz Begründung.) Aufgabe 25. Definieren Sie eine injektive Funktion aus der Menge R (R {0, 1}). Aufgabe 26. Für a N 0 und b N bezeichnet a mod b den Rest bei der ganzzahligen Division von a durch b. So ist z.b. 7 mod 2 = 1 da 7 geteilt durch 2 gleich 3 Rest 1 ist. Ist die Funktion f N N 0 f(x) = x mod 42 injektiv bzw. surjektiv? Geben Sie eine kurze Begründung. Aufgabe 27. Formulieren Sie die Aussage Zu jeder Menge A gibt es eine Menge B mit der Eigenschaft, dass es eine injektive Funktion von A nach B gibt in der Sprache der Prädikatenlogik. Hinweis: Definieren Sie zunächst durch einen prädikatenlogischen Ausdruck wann eine Funktion von A nach B injektiv ist. Aufgabe 28. Sei A eine Menge mit drei Elementen. Wieviele bijektive Funktionen gibt es in der Menge A A? Wieviele Elemente hat die Menge A A 2? 5

6 Aufgabe 29. Sei [1, 2] = {x x R, 1 x 2}. Definieren Sie eine injektive Funktion f N [1, 2]. Aufgabe 30. Sei f R 2 R 3 definiert durch f(x, y) = (1, x, y). Ist f injektiv bzw. surjektiv? Geben Sie jeweils einen Satz Begründung oder ein Gegenbeispiel. Aufgabe 31. Der Datentyp double wird in der Praxis als Ersatz für reelle Zahlen verwendet. Konkret bedeutet das, dass jeder Gleitkommazahl x double eine reelle Zahl x R zugeordnet wird. Handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine Funktion oder um eine partielle Funktion? Sei double die Menge der Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit ohne die Spezialzahlen wie ±infinity und not a number. Ist dann die Zuordnung von Gleitkommazahlen aus double zu reellen Zahlen eine Funktion? Falls ja, ist diese surjektiv bzw. injektiv? Aufgabe 32. Beweisen Sie ausführlich: Für jede Funktion f A B und für jede Funktion g B C gilt: Wenn f nicht injektiv ist, dann ist auch die Komposition g f nicht injektiv. Stellen Sie die Aussage zunächst anschaulich durch ein Mengendiagramm dar. Aufgabe 33. Sei f P (N) P (N), f(m) = M {1}. Berechnen Sie f({3, 5, 7}). Ist f injektiv? (Kurze Begründung oder Gegenbeispiel) Ist f surjektiv? (Kurze Begründung oder Gegenbeispiel) Finden Sie Mengen X, Y, Z so dass f = (X, Y, Z). Aufgabe 34. Beweisen Sie dass wenn f A B und g B C surjektiv sind, auch g f surjektiv ist. Aufgabe 35. Seien f, g A B und h A B 2 mit h(x) = ( f(x), g(x) ). Entscheiden Sie ob folgende Aussagen wahr sind: 6

7 Wenn f und g injektiv sind dann ist auch h injektiv. Wenn f und g surjektiv sind, dann ist auch h surjektiv. Begründen Sie Ihre Antwort durch einen ausführlichen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Aufgabe 36. Beweisen Sie ausführlich, dass für jede injektive Funktion f A 2 B und für jede Funktion g A A die Funktion h A B mit h(x) = f(x, g(x)) injektiv ist. Aufgabe 37. Sei f N 2 N 2 definiert durch f(x, y) = (xy, 2x). Beweisen Sie ausführlich, dass f injektiv ist. Aufgabe 38. Seien f, g N N definiert durch f(x) = x + 1 { x 1 falls x > 1 g(x) = 1 falls x = 1 Entscheiden Sie von jeder der folgenden Aussagen ob sie wahr oder falsch ist. f g ist injektiv. f g ist surjektiv. g f ist injektiv. g f ist surjektiv. Aufgabe 39. Sei A = {1, 2, 3} und B = {4, 5}. Finden Sie eine surjektive Funktion aus A B und eine nicht injektive Funktion aus B A. Beschreiben Sie die Funktionen jeweils als Tripel bestehend aus zwei Mengen und einer Relation. Aufgabe 40. Die Funktion f P (N) P (N) ist definiert durch f(x) = x {1}. Untersuchen Sie ob diese Funktion injektiv bzw. surjektiv ist. Geben Sie jeweils eine kurze Begründung (1 Satz) oder ein Gegenbeispiel. 7

8 Aufgabe 41. Gegeben sind die Mengen und die Funktionen A = {1, 2, 3} B = {1, 2} f = ( A, B, {(1, 2), (2, 1), (3, 1)} ) g = ( B, A, {(1, 3), (2, 1)} ) Entscheiden Sie von beiden Funktionen, ob sie injektiv bzw. surjektiv sind. (Jeweils ein Satz Begründung.) Untersuchen Sie, ob die Kompositionen f g bzw. g f existieren und falls ja stellen Sie sie als Tripel bestehend aus zwei Mengen und einer Relation dar. Aufgabe 42. Ist die Komposition f g zweier surjektiver Funktionen f B C und g A B wieder surjektiv? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Aufgabe 43. Sei f N 2 Z 3 und g Z 3 Z definiert durch f(x, y) = (x 1, 1 y, x + y), g(x, y, z) = xy z. Berechnen Sie einen Funktionsterm für g f. Berechnen Sie bild(g f). Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels dass g f nicht injektiv ist. 8