Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 2016, Aufgabenblatt 4
|
|
- Eva Paula Baumann
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Aufgabenblatt 4 40 Punkte Aufgabe (Karnaugh Diagram und logischer Schluss) Wir betrachten die Grundmenge aller Vögel. Gegeben sind die Prämissen I Nicht alle Amseln sind Zugvögel. II Zugvögel die grösser sind als Spatzen sind nicht Vegetarier. III Alle Vögel die nicht grösser als Spatzen sind sind Vegetarier. IV Amseln sind grösser als Spatzen. a) Formuliere die Prämissen in Mengenschreibeweise b) und erstelle das zugehörige Karnaugh-Diagramm c) Beurteilen und begründen Sie nun die folgenden Schlüsse mit Hilfe des Diagrams (i) Alle Zugvögel sind Vegetarier. (ii) Es gibt Amseln die grösser als Spatzen sind, aber nicht Zugvögel sind. (iii) Es gibt vegetarische Amseln die nicht Zugvögel sind. (iv) Es gibt keine nicht vegetarischen Vögel, die weder grösser als Spatzen, noch Amseln sind (v) Es gibt vegetarische Amseln, die zwar grösser als Spatzen sind, aber dennoch Zugvögel sind 7 a) Wir definieren die folgenden Mengen: A : Menge der Amseln G : Menge der Vögel, die grösser als Spatzen sind Z : Menge der Zugvögel V : Menge der Vegetarier Die Prämissen werden nun in der Mengenschreibweise formuliert: I II III IV A Z Z G V oder Z G V = G V oder G V = A G oder A G = b) Im Karnaugh-Diagramm werden die vier Aussagen eintragen. Die gelben Felder bedeuten, gemäss der ersten Aussage, dass mindestens in einem der beiden Felder ein Element vorhanden sein muss.
2 A A G Z Z G Z V V V c) i Bei diesem Schluss handelt es sich um einen Trugschluss, da Z V gdw Z V = ein undefiniertes Feld beinhaltet. ii Die Konklusion A G Z ist ein korrekter Schluss, da in mindestens einem der gelben Felder ein Element enthalten sein muss. iii Es handelt sich um einen Trugschluss, A V Z. Eines der gelben Felder ist enthalten, jedoch ist unklar, ob ein Element vorhanden ist. iv Die Konklusion V G A = ist ein korrekter Schluss, da die beiden Felder im Karnaugh-Diagramm leer sind. v Der Schluss V A G Z ist ein Trugschluss, da das dazugehörige Feld ein leeres Feld ist. Aufgabe 2 (Gewinnumformungen) Wir betrachten die Gleichung Bestimmen Sie 5x 5 + 5x 4 = x + 2 a) die Grundmenge in R b) die smenge 2 c) und kommentieren Sie den sweg. 4 a) Um die Grundmenge zu bestimmen müssen die drei Wurzelterme aufgelöst werden. Wir wissen, dass die Terme der Wurzeln nicht negativ sein dürfen. Somit lösen wir jeweils nach x auf: 5x 5 0 x + 0 x () 5x 4 0 x x 4 5 (2) x x 2 (3) Wenn wir die gefundenen x in die Gleichung einsetzen, stellen wir fest, dass 4 beim ersten Term zu einer 5 negativen Wurzel führt. 4 gehört deshalb nicht zur Grundmenge. Die Grundmenge ist daher [-2, -]. 5 2
3 b) Wir lösen die Gleichung auf: 5x 5 + 5x 4 = x + 2 (quadrieren) 5x x 5 5x 4 5x 4 = x + 2 (Wurzel isolieren) 2 5x 5 5x 4 = x + (Wurzel vereinfachen) 2 25x x + 20 = x + (quadrieren) 00x x + 80 = 2x x + 2 (vereinfachen) x,2 = 62 ± = 2x x + 4 (quadratischen Gleichung) = x = ± x 2 = = 4 2 = ( ) Um die beiden en zu überprüfen, setzen wir die Werte in die Gleichung ein. ( 2) 5 ( ) ( ) 4 = + 2 ( ) = = 0 + = (KORREKTE LÖSUNG) 5 ( 4 2 ) ( 4 2 ) 4 = ( 2) = = (GLEICHUNG NICHT ERFÜLLT!) Wir stellen fest, dass die zweite die Gleichung nicht erfüllt, obwohl auch sie in der Grundmenge vorhanden ist. Somit hat eine Gewinnumformung stattgefunden. Setzen wir 4 für x vor dem zweiten 2 Quadrieren in die Gleichung 2 25x x + 20 = x+ ein, stellen wir fest, dass die rechte Seite negativ wird, die linke Seite aber nicht negativ sein kann. Somit ist beim zweiten Quadrieren die Scheinlösung entstanden. Die smenge beinhaltet nur c) Da beim Auflösen der Gleichung zwei en entstanden, aber nur eine davon in der smenge ist, handelt es sich bei der zweiten um eine Scheinlösung. Aufgabe 3 (Konstruktive Mengen) Gegeben sind die Mengen A = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4} B = {(x, y) R 2 y < x 2 /4} C = {(x, y) R 2 x 2 + (y + /2) 2 > 9/4} Stellen Sie die Mengen 3
4 a) A B, 3 b) A B C 6 je in einem x y-koordinatensystem mit Berücksichtigung der Ränder dar. (Verwenden Sie die folgende Notation: Eckpunkt gehört dazu, Eckpunkt gehört nicht dazu, Randlinie gehört dazu, Randlinie gehört nicht dazu.) 9 a) A B sieht wie folgt aus: b) A B C sieht wie folgt aus: Aufgabe 4 (Relationen) Wir betrachten die Relationen S, T, U in R 2 gegeben durch: xsy gdw (x ) 2 +(y+) 2 < xty gdw x < y 2 xuy gdw y cos(x) a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertebereiche von S und T. 2 b) Bestimmen Sie die Relation xu y und ihren Defintions- und Wertebereich. c) Stellen Sie die smenge der Relationen S T und U in je einem Koordinatensystem dar. (Verwenden 4 Sie die folgende Notation: Eckpunkt gehört dazu, Eckpunkt gehört nicht dazu, Randlinie gehört dazu, Randlinie gehört nicht dazu.) 7 4
5 a) Wir stellen S im Koordinatensystem dar: Nun können wir den Definitions- und Wertebereich bestimmen. D(S) =]0, 2[ W(S) =] 2, 0[ T sieht wie folgt aus: D(T ) = R W(T ) = R. b) Um für U die Umkehrrelation zu erhalten, müssen wir x und y vertauschen. xu y gdw yux gdw x cos(y). Der Definitions- und Wertebereich für U ist: D(U ) = {x R x } = [, ]. W(U ) = R. c) S T 5
6 U sieht wie folgt aus: Aufgabe 5 Auf einer Menschenmenge sind die Relationen K, S, B, U, V definiert durch: K: ist Kind von S: ist Schwester von B: ist Bruder von U = K S V = K ((S B) K) a) Was bedeutet xuy und xv y? 2 b) Drücken Sie die Relation ist Grosstante von mit den Relationen K, B, S aus. 2 4 a) Für xuy gilt, dass xuy gdw x(k S)y gdw z(xsz zky). Dies bedeutet, dass x eine Schwester von z und z ein Kind von y ist. x ist also eine Tochter von y, die mindestens ein Geschwister hat. Für xv y gilt: gdw x(k ((S B) K)y gdw z[xkz z(k (S B)y] gdw z[xkz u(z(s B)u uk y)] gdw z[xkz u((zsu ybu) yku)] gdw z[x ist Kind von z u((z ist Schwester oder Bruder von u) u ist Kind von y)] gdw x ist Cousine oder Cousin von y. 6
7 b) Die Grosstante ist eine Schwester der Grosseltern, dies bedeutet eine Schwester eines Elternteils eines Elternteils. Wir wissen, dass K : ist Elternteil von bedeutet. Für die Grosstante gilt: x((k K ) S)z. Aufgabe 6 (Injektivität und Surjektivität I) Gegeben sind A = {α, β, γ, δ, ϵ, ζ} und B = {a, b, c, d, e}. Funktionen f A B definiert durch und g B A durch f(α) = e, f(β) = d, f(γ) = c, f(δ) = b, f(ϵ) = a, f(ζ) = e Begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind. g(a) = α, g(b) = δ, g(c) = γ, g(d) = β, g(e) = ϵ, a) f ist injektiv. b) f ist surjektiv. c) f ist bijektiv. d) g ist injektiv. e) g ist surjektiv. f) g ist bijektiv. g) f g ist injektiv. h) f g ist surjektiv. i) f g ist bijektiv. 3 Die Funktionen f, g, f g sehen wie folgt aus: f A B α e ζ β d γ c δ b ϵ a g B A e ϵ d β c γ b δ a α f g B B e a d d c c b b a e a) Diese Aussage ist falsch, da es nicht zu jedem Element von B höchstens ein Element von A gibt. α und ζ zeigen beide auf e. b) Diese Aussage ist wahr, da es zu jedem Element von B mindestens ein Element von A gibt. c) Diese Aussage ist falsch, da f nur surjektiv ist und nicht auch injektiv, somit kann f nicht bijektiv sein. d) Diese Aussage ist wahr, da es zu jedem Element von B höchstens ein Element von A gibt. e) Diese Aussage ist falsch, da es nicht zu jedem Element von B mindestens ein Element von A gibt. Es hat kein Element von B, dass auf ζ zeigt. f) Diese Aussage ist falsch, da g nur injektiv ist und nicht auch surjektiv, somit kann g nicht bijektiv sein. g) Diese Aussage ist wahr, da es zu jedem Element von B höchstens ein Element von B gibt. h) Diese Aussage ist wahr, da es zu jedem Element von B mindestens ein Element von B gibt. i) Diese Aussage ist wahr, da f g surjektiv und injektiv ist, somit ist f g auch bijektiv. Aufgabe 7 (Injektivität und Surjektivität II) Überprüfen Sie ob die folgenden Funktionen injektiv und/oder surjektiv sind. 7
8 a) f R {}, x b) f N {, }, x cos(2 π x) c) f [0, [ [0, [, x x d) f R [0, [, x x 2 e) f R {5} R 2 x 2x 5 x 5 6 a) f ist surjektiv und nicht injektiv, da jedes Element von R auf abbildet (x ). b) f ist weder surjektiv noch injektiv, da jedes Element von N nur auf abbildet, nicht aber auf -. c) f ist surjektiv und injektiv und daher auch bijektiv. Jedes y [0, [ entspricht genau einem x [0, [. d) f ist surjektiv, da wir für jedes Element y [0, [ mindestens ein Element x R gibt. Da für f( ) = f() =, gilt, ist f nicht injektiv. 8
9 e) f ist injektiv, da f(u) = f(v) u = v gilt. f(u) = f(v) 2u 5 u 5 = 2v 5 v 5 (2u 5) (v 5) = (2v 5) (u 5) 2uv 0u 5v + 25 = 2uv 0v 5u u 5v = 0v 5u 5v = 5u v = u. Für jedes Element in R gibt es höchstens ein Element x R {5}. Um zu zeigen, dass f nicht surjektiv ist, müssen wir ein y R finden, dass auf kein x R {5} abgebildet wird. Lösen wir die folgende Gleichung nach x auf: 2x 5 x 5 = y 2x 5 = y (x 5) 2x 5 = yx 5y 2x xy = 5 5y x(2 y) = 5( y) x = 5( y) (2 y) Falls y 2 ist, dann erhalten wir ein x R {5}. Wir überprüfen noch, ob es ein x für y = 2 gibt. Dafür lösen wir die Gleichung nochmals und stellen fest, dass es kein Element für 2 gibt. f ist somit nicht surjektiv. 2x 5 x 5 = 2 2x 5 = 2x
f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
Umkehrfunktionen Aufgabe 1. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Definieren Sie eine bijektive Funktion f A A und geben Sie ihre Umkehrfunktion f 1 an. Lösung von Aufgabe 1. Zum Beispiel f, f 1 A A mit f(x) = x f 1 (x)
MehrInjektiv, Surjektiv, Bijektiv
Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y)
MehrMathematische Grundlagen
Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Mathematische Grundlagen Klausur Wintersemester 2015/16 16. März 2015 Name: Vorname: Matrikelnr.: Aufgabe 1 2 4 5 6 Summe Punkte 10 10 10 10 10 10 60 erreicht
MehrTutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 01.12.2017 (Teil 1) 22. November 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrLösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 3 MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Es sei die Funktion f : [0, ) [0, ) definiert durch f(x) = ln(x + 1), wobei der Logarithmus ln zur Basis
Mehrmin(a, b) H(a, b) G(a, b) A(a, b) Q(a, b) max(a, b), (1)
FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 4 Aufgabe 15 Für zwei beliebige reelle Zahlen a > 0, b > 0 bezeichne A(a, b) := a+b, das arithmetische, G(a, b) := ab das geometrische,
MehrMathematische Grundlagen
Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Mathematische Grundlagen Klausur Sommersemester 2016 16. September 2016, 1:00 14:0 Uhr Name: Vorname: Matrikelnr.: Unterschrift: Aufgabe 1 2 4 5 6 Summe Punkte
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz WS 2018/2019 18.10.2018 Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
MehrFU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)
FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :
MehrGoniometrische Gleichungen
EL / GS - 3.8.5 - e_triggl.mcd Goniometrische Gleichungen Definition: Gleichungen, in denen die Variable als Argument von Winkelfunktionen vorkommen, nennt man "goniometrische Gleichungen". sweg: Mit Hilfe
MehrAnalysis I. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I 6. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 26, 2017 1 Erinnerung Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls 1, 2 X : 1 2 f( 1 ) f( 2 ). (In Worten:
MehrMathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 1. Klausur Wintersemester 2013/
Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra). Klausur Wintersemester 20/204 06.02.204 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:... Vorname:... Matrikelnummer: Studienfach:... Name des
MehrPrüfungsaufgaben. Aufgabe 2 (TP1 Frühjahr 2006) ( ) logisch
Aufgabe 1 (TP1 Februar 2007) Prüfungsaufgaben Bestimmen Sie zu den nachstehenden aussagenlogischen Aussageformen je eine möglichst einfache logisch äquivalente Aussageform. Weisen Sie die Äquivalenzen
MehrAufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q1
Aufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q Vereinfachen Sie nachfolgende Terme soweit wie möglich.. 6 a + 8b + 0c 4a + b c x y + z 7x + y z,8u +,4v 0,8w + 0,6u, v + w r + s t r + 6s + t. ( a + 7 + (9a
MehrBlatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) Abbildungen und Kompositionen. apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch
Blatt 0: Mathematik I für Ingenieure (B) apl. Prof. Dr. Matthias Kunik/ Dr. Uwe Risch 10.10.016 Abbildungen und Kompositionen Allgemeine Erklärungen: Siehe Seite 1 zu Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen!
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 015/016 30.10.015 Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt
Mehr$Id: funktion.tex,v /11/17 16:00:21 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v /11/17 16:17:18 hk Exp $
$Id: funktion.tex,v 1.29 2017/11/17 16:00:21 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v 1.23 2017/11/17 16:17:18 hk Exp $ 2 Funktionen Wir beschäftigen uns gerade mit dem Begriff der Umkehrfunktion einer Funktion f :
MehrFormale Methoden 1. Gerhard Jäger 7. November Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/18
1/18 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 7. November 2007 2/18 Geordnete Paare Mengen sind ungeordnet: {a, b} = {b, a} für viele Anwendungen braucht
MehrMusterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 2016, Aufgabenblatt 1
Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 01, Aufgabenblatt 1 Aufgabenblatt 1 0 Punkte Aufgabe 1 Welche der folgenden Ausdrücke sind Aussagen, welche sind Aussageformen und welche sind
MehrWurzelgleichungen. 1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? 1.2 Lösen einer Wurzelgleichung. 1.3 Zuerst die Wurzel isolieren
1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? Wurzelgleichungen Beispiel für eine Wurzelgleichung Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung bei der in mindestens einem Radikanten (Term unter der Wurzel) die Unbekannte
MehrGrundlagen Algebra. Betragsgleichungen. Anschaulich kann man unter a die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen.
GS -..5 - h_betragsgl.mcd Betragsgleichungen Definition: Betrag einer Zahl: a = a if a> if a = a if a< Betrag eines Terms: a b = ( a b) if a> b if a = b ( b a) if a< b Anschaulich kann man unter a die
MehrZahlen und Funktionen
Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen
MehrDiskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre
MehrTechnische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung
Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen Aufgaben mit Musterlösung 21. März 2011 Tanja Geib 1 Aufgabe 1 Geben Sie zu B = {0, 2, 4} und
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4.1 Umkehrbarkeit Man betrachte die durch g(s, t) = (e s cos(t), e s sin(t)) gegebene Funktion g : R 2 R 2. Zeigen Sie,
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 2013 Institut für Analysis 06.05.2013 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik 4. Übungsblatt Aufgabe 1 Bestimmen
MehrInjektiv, Surjektiv, Bijektiv
Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y)
Mehri=1 j= 5 2. Verifizieren Sie die Gleichung indem Sie die Ausdrücke ohne Summenzeichen schreiben. j=0
Übungen zur Einführung in die Analysis (Einführung in das mathematische Arbeiten WS 2017 1. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung von Summen- bzw. Produktzeichen: 7 2 3 5 k 2k+1, a k, 2
MehrScheinklausur Analysis 2 Ss Juli 2008
Scheinklausur Analysis 2 Ss 2008 11. Juli 2008 Es gibt 10 Aufgaben. Die jeweilige Punktzahl steht am linken Rand. Die Gesamtpunktzahl ist 40 Punkte. Zum Bestehen der Klausur sind 16 Punkte erforderlich.
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrFunktionen einer reellen Veränderlichen
KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen.1 Eigenschaften von Funktionen........................... 39. Potenz- und Wurzelfunktionen............................ 1.3 Trigonometrische Funktionen.............................
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
Mehr2 Lösungen zu Kapitel 2
2 Lösungen zu Kapitel 2 2. Lösung. Die Funktion f ist nicht injektiv. So gibt es (unendlich) viele Paare (x, y) mit f(x, y) = 0, etwa (0, 0) und (/2, ). Die Funktion f ist surjektiv. Zum Beispiel gilt
MehrAufgabenblatt Punkte. Aufgabe 1 (Negation) Seien e R, n, m, k N und. Negieren Sie φ. 4. Lösung Es gilt
ufgabenblatt 3 40 Punkte ufgabe 1 (Negation) Seien e R, n, m, k N und φ e [e > 0 k n, m (((n k) (m k)) 1/n 1/m < e)] Negieren Sie φ. 4 Es gilt ϕ e [e > 0 k n, m (((n k) (m k)) 1/n 1/m < e)] e [e > 0 [
MehrMathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2017/
Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2017/2018 1.03.2018 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
MehrÜbungen zu Logik und Künstliche Intelligenz mit Musterlösungen 1 Blatt 11
Heilbronn, den 18.6.2010 Prof. Dr. V. Stahl WS 10/11 Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz mit Musterlösungen 1 Blatt 11 Aufgabe 1. Schreiben Sie auf wann ein Tripel (A, B, R) eine partielle Funktion,
MehrMisterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C)
Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 14..009 (Version C Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen aus der Vorlesung
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2018/2019
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Mehr17 Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:
MehrFunktionen. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Ihre Fragen Funktionen SetlX Funktionen Verkettung und Mehrstelligkeit
Funktionen Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Funktionen Slide 1/23 Agenda Ihre Fragen Funktionen SetlX Funktionen Verkettung und Mehrstelligkeit Diskrete
MehrGrundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie (LPSI/LS-M2) SoSe C. Curilla/ B. Janssens
Fachbereich Mathematik Algebra und Zahlentheorie Christian Curilla Grundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie (LPSI/LS-M2) Blatt 7 SoSe 2011 - C. Curilla/ B. Janssens Präsenzaufgaben (P13)
MehrZusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 1
Mathematik I für E-Techniker C. Erdmann WS 011/1, Universität Rostock, 1. Vorlesungswoche Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 1 Wiederholung - Theorie: Mengen Der grundlegende Begriff
MehrGrundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1
Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1.1 (2+2+2 Punkte) a) Stellen Sie folgende Formel mit möglichst wenig Aussagevariablen dar und überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand einer
Mehrb) 5xu + 15xv 10xz = 5x( u 3v + 2z) c) 26xy 13xz = 13x ( 2y z)
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.09.01 Lösungen Terme II : E1 E E3 x y = x y a) b) 5xu + 15xv 10xz = 5x( u 3v + z) c) 6xy 13xz = 13x ( y z) bx by + bz = b( x y + z) 4 4 4 4 e) 7x 7y + 7z
MehrFerienkurs Lineare Algebra
Ferienkurs Lineare Algebra Wintersemester 009/010 Lösungen Lineare Abbildungen und Matrizen Blatt 1 Linearität von Abbildungen 1. Welche dieser Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus? Geben Sie eine
MehrMGS Abbildungen (Funktionen) Beispiele: Einkommensteuer Regelungs- und Steuerungstechnik
4. Abbildungen (Funktionen) MGS 4-1 08.10.02 Beispiele: Einkommensteuer Regelungs- und Steuerungstechnik Rolf Linn Berechnung Ralf Linn Produkt * Kaufpreis MGS 4-5 08.10.02 1950.- 500000.- 495.- 4. Abbildungen
MehrGrundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1
Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1.1 ( Punkte) Schreiben Sie die Definitionen von Injektivität und Surjektivität einer Funktion als prädikatenlogische Formeln auf. Lösung
MehrKonstante, lineare, quadratische Funktion
Aufgaben 10 Funktionstypen Konstante, lineare, quadratische Funktion Lernziele - den Grafen einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion skizzieren können. - die Existenz von Nullstellen einer konstanten,
MehrDie Kanten der Grundfläche mit je 7 cm sind die Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse c ist die gesuchte Bodendiagonale c.
Aufgabe 1 Schritt 1: Ansatz und Skizze Bei einem Würfel, bei dem ja alle Kantenlängen gleich sind, kannst du mit einer Raumdiagonale, einer senkrechten Kante und einer Decken oder Bodendiagonalen ein rechtwinkliges
MehrVorkurs Mathematik. Vorlesung 4. Abbildungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Vorkurs Mathematik Vorlesung 4 Abbildungen Definition 4.1. Seien L und M zwei Mengen. Eine Abbildung F von L nach M ist dadurch gegeben, dass jedem Element der
MehrExponentialgleichungen
GS -.08.05 - f_epgl.mcd Eponentialgleichungen Definition: Eine Gleichung der Form b Definition: Die der Eponentialgleichung b Schreibweise: = log b ( a) Besondere Basen: = a mit a IR + und b IR + \ {}
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrSchulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 1: Gleichungen & Gleichungssysteme
Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 1: Gleichungen & Gleichungssysteme MAC.05043UB/MAC.05041PH, VU im SS 2017 http://imsc.uni-graz.at/pfeiffer/2017s/linalg.html Christoph GRUBER,
MehrLösungen zur Übungsserie 1
Analysis 1 Herbstsemester 2018 Prof. Peter Jossen Montag, 24. September Lösungen zur Übungsserie 1 Aufgaben 1, 3, 4, 5, 6, 8 Aufgabe 1. Sei X eine endliche Menge mit n Elementen, und sei Y eine endliche
MehrEin Experte ist ein Mensch der in einem sehr kleinen Gebiet alle möglichen Fehler begangen hat.
Quadratische Gleichungen Ein Eperte ist ein Mensch der in einem sehr kleinen Gebiet alle möglichen Fehler begangen hat. Niels Bohr Dänischer Physiker, 885-96. Ziele Am Ende dieses Kapitels kannst du quadratische
MehrAussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrLösungen der Trainingsaufgaben aus. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge
Lösungen der Trainingsaufgaben aus Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge 3 Funktionen Version 22. Dezember 206 Lösung zu Aufgabe 3. Eine Funktion f ordnet jedem Element aus einer Definitionsmenge D genau
MehrEinführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Einführung in die mathematische Logik Arbeitsblatt 7 Aufgabe 7.1.* Übungsaufgaben Wir betrachten den Satz Diese Vorlesung versteht keine Sau. Negiere diesen Satz
MehrFunktionen. x : Variable von f oder Argument f x : Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle x D f. : Definitionsmenge(Urbildmenge)
Funktionen Eine Funktion oder Abbildung ist eine Beziehung zwischen zwei nicht leere Mengen D f und Z, die jedem Element x aus einer Menge D f genau ein Element y aus anderer Menge Z zuordnet. f : D f
Mehr1.3 Aussagen. Beispiel: Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist höher als das der USA ist eine offenbar falsche Aussage.
1.3 Aussagen In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein statement, das entweder wahr oder falsch sein kann. Beides geht nicht! Äußerungen, die nicht die Eigenschaft haben, wahr oder falsch
MehrWarum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7
Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum
Mehr4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia ]
4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia 536-539 ] Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle bbildungen und damit nichts anderes als spezielle Mengen. Funktionen werden gewöhnlich
MehrLösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A)
Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 10.1.009 (Version A) Kennwort: Übungsgruppe: (Sie können ein beliebiges Kennwort wählen, um Ihre Anonymität zu wahren! Da die Probeklausur
MehrFunktionen einer reellen Veränderlichen
KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen. Grundbegriffe Definition.. Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung(svorschrift), die jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich D(f) der Funktion
Mehr4. Morphismen. 30 Andreas Gathmann
30 Andreas Gathmann 4. Morphismen Wir haben nun viele Beispiele und Konstruktionen von Gruppen gesehen. Natürlich wollen wir diese vielen verschiedenen Gruppen jetzt auch irgendwie miteinander in Beziehung
MehrWiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
MehrMafI 1 Repetitorium Übungen
MafI 1 Repetitorium Übungen M. Sc. Dawid Kopetzki KW 17 (22.04.2015) M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 1 / 19 Intro Info zur ersten Abgabe Am 06.05. von 14-16 Uhr ist Fachschaftsvollversammlung
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt
Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Prof. Dr. W. Reichel Dr. S.Wugalter WS 2017/18 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 08/9 c Dr. K. Rothe Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt Mengen Darstellung durch: a) Aufzählung
MehrHöhere Mathematik III. Variante A
Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III SoSe 2017 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur
MehrPrüfung Lineare Algebra 2
1. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix,
MehrLineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Einzelne lineare Gleichungen mit zwei Variablen Bis jetzt haben wir nur lineare Gleichungen mit einer Unbekannten (x)
MehrMathematik 1 Übungsserie 3+4 ( )
Technische Universität Ilmenau WS 2017/2018 Institut für Mathematik Thomas Böhme BT, EIT, II, MT, WSW Aufgabe 1 : Mathematik 1 Übungsserie 3+4 (23.10.2017-04.11.2017) Sei M eine Menge. Für eine Teilmenge
MehrFormale Systeme. Prädikatenlogik 2. Stufe. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
MehrEinführung in die lineare Algebra und GeometrieWS 2018/19 October 30, 2018
1 Beweisen Sie folgende Aussage: Das Produkt zweier ungeraden Zahlen ist ungerade Beweisen Sie folgende Aussage: Es gibt keine ganzen Zahlen n, m mit 8m + 4n = 100 [Hinweis: Beweisen Sie indirekt Nehmen
MehrEinführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 7 Sprachen erster Sufe Die in der letzten Vorlesung erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten für Aussagen sind im Wesentlichen
MehrWiederholung der Algebra Klassen 7-10
PKG Oberstufe 0.07.0 Wiederholung der Algebra Klassen 7-0 06rr5 4. (a) Kürze so weit wie möglich: 4998 (b) Schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl und als Dezimalbruch: (c) Schreibe das Ergebnis als Bruch:
MehrVorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben
Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe. a) Schreiben Sie die folgenden periodischen Dezimalzahlen
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2 BIOL-B HST PHARM Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II. (8 Punkte) a) Mit Kürzen des Bruchs folgt ( ) x + sin(x) sin(x) cos(x) lim x sin(x) ( ) x = lim x sin(x) + cos(x)
MehrLogarithmische Gleichungen
GS -.08.05 - g_loggl.mcd Logarithmische Gleichungen Definition: Eine Gleichung der Form log b ( ) = a mit > 0, a IR und b IR + \ {} heißt Logarithmusgleichung. Besondere Basen: Basis b = 0 heißt Dekadischer
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 6. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 2 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsblatt Aufgabe 2
MehrAbitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln
MehrMusterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr
TUM Ferienkurs Lineare Algebra WiSe 8/9 Dipl.-Math. Konrad Waldherr Musterlösung Relationen Aufgabe Auf R sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) : a + b c + d. Ist σ reflexiv, symmetrisch, transitiv,
MehrAufgabe 3. Sei A eine Menge von Zahlen und neg das Tripel. neg = (A, A, R) A = N A = Z A = R A = R \ {0} mod : N 0 N N 0
Funktionen Aufgabe 1. Finden Sie 3 Beispiele von Funktionen und 3 Beispiele von partiellen Funktionen, die nicht total sind. Es sollten auch mehrstellige Funktionen darunter sein. Aufgabe 2. Zeigen Sie,
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Lineare Algebra 1 WS 2006/07 Lösungen Blatt 13/ Probeklausur. Lösungen zur. Zentrum Mathematik
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 13/2 29.1.27 en zur Probeklausur Aufgabe 1 (ca. 6 Punkte) Sei
MehrMathematik III - Blatt 6
Mathematik III - Blatt Christopher Bronner, Frank Essenberger 8. November Aufgabe Wir suchen erstmal im inneren des Vierecks nach Punkten, die für einen Extremwert in Frage kommen, danach auf den Rändern
MehrL.1 Aussagen, Mengen und Funktionen
L. Aussagen, Mengen und Funktionen L.. Aussagen Lösung.. a), c) A B C A B (A B) C A B (A B) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A B C A B B C (B C) (A B) (B C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MehrD-MATH Tommaso Goldhirsch. Serie 4. C h (g) = hgh 1, L h (g) = hg
Serie 4 Aufgabe 1 Wahr oder Falsch Es sei G eine Gruppe. Für h G betrachten wir die Abbildungen C h, L h : G G, C h (g) = hgh 1, L h (g) = hg genannt Konjugation beziehungsweise Linksmultiplikation. Welche
MehrKlausur zu Maß- und Integrationstheorie
Mathematisches Institut Universität Leipzig Prof. Dr. Bernd Kirchheim WS 2017/18 6.Februar 2018 Klausur zu Maß- und Integrationstheorie Erlaubte Hilfsmittel: Schreibmaterialien (ohne Kommunikations- oder
MehrMathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl.
1 by Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 014 Übungskapitel Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der 5.Klasse) Verschiedene Lösungsmethoden von quadratischen
MehrKapitel 11. Dimension und Isomorphie
Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach
MehrInstitut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark Dr. Markus Lange. Analysis 1. Aufgabenzettel 4
Institut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark 08.11.2018 Dr. Markus Lange Analysis 1 Aufgabenzettel 4 Abgabe bis 14. November 2018, 19:00 Uhr Erinnerung: Die Anmeldung für den Übungsschein
MehrMengen, Relationen, Abbildungen A B = A B. Schreiben Sie die unten dargestellte Relation als Teilmenge von A B.
Aufgabensammlung zum Vorkurs in Mathematik Thomas Püttmann Mengen, Relationen, Abbildungen Aufgabe : Verdeutlichen Sie das Distributivgesetz und das Gesetz von De Morgan durch Mengendiagramme. A (B C)
Mehrfj 2 = f n f n+1. fj 2 = 0 2 = 0 = 0 1 = f 0 f 1. f 2 j = f n f n+1 +fn+1 = (f n +f n+1 )f n+1 = f n+2 f n+1 = f n+1 f (n+1)+1.
Stroppel Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 3 Punkte) Sei f n ) n N die Fibonacci-Folge, die durch f :=, f := und f n+ := f n +f n definiert ist. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n
Mehr= 11 ± 5, also k 1 = 3 und k 2 = 8.
Stroppel Musterlösung.8.5, 8min Aufgabe (6 Punkte) Gegeben sei die Funktion f: R R: x x e x. (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle x R und alle k N gilt: f (k) (x) = ( ) k (x kx+(k
Mehr