Aufgabenblatt Punkte. Aufgabe 1 (Negation) Seien e R, n, m, k N und. Negieren Sie φ. 4. Lösung Es gilt

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1 ufgabenblatt 3 40 Punkte ufgabe 1 (Negation) Seien e R, n, m, k N und φ e [e > 0 k n, m (((n k) (m k)) 1/n 1/m < e)] Negieren Sie φ. 4 Es gilt ϕ e [e > 0 k n, m (((n k) (m k)) 1/n 1/m < e)] e [e > 0 [ k n, m (((n k) (m k)) 1/n 1/m < e)]] e [e > 0 k [ n, m (((n k) (m k)) 1/n 1/m < e)]] e [e > 0 k n, m (((n k) (m k)) 1/n 1/m < e)] e [e > 0 k n, m (((n k) (m k)) ( 1/n 1/m < e))] e [e > 0 k n, m (((n k) (m k)) 1/n 1/m e)]. ufgabe 2 (Mengenalgebra I) Die Mengen,, seinen Teilmenge der Grundmenge G. Geben Sie bei jeder Umformung das Gesetz an, das Sie verwendet haben. a) Zeigen Sie, dass gilt [(( ) ) ] [(( ) ) ( )] = ( ) mit den Gesetzen der Mengenalgebra. 3 b) Zeigen Sie mit den Gesetzen der Mengenalgebra dass gilt [( ) ( )] [ ] = G 3 c) Dualisieren Sie die ussage von 2 b). 1 7 a) Es gilt [(( ) ) ] [(( ) ) ( )] = [( ) ] [ ( )] (Distributivgesetz) = [( ) ] [ ( )] (Definition ) = [( ) ] ( ( )) (De Morgansche Gesetze) = [( ) ] [ ( )] (Kommutativgesetz und Definition ) = ( ). (Definition ) 1

2 b) Es gilt [( ) ( )] [ ] = [[( ) ( )] ] (ssoziativgesetz) = [[( ) ] [( ) ]] (Distributivgesetz) = [[ ] [ ]] (ssoziativgesetz) = [[ ] [ ]] (Kommutativgesetz) = [[ ] [ ]] (Idempotenz) = [[ ] [ G]] (Komplementgesetz) = [[ ] G] (Gesetz der Dominierung) = [ ] (Identitätsgesetz) = (Kommutativ- und ssoziativgesetz) = G (Komplementgesetz) = G. (Gesetz der Dominierung) c) eim dualisieren vertauschen wir und sowie und G. Die so erhaltene ussage gilt dann noch immer, da wir mittels doppelter Verneinung diese aus der ursprünglichen herleiten können. In unserem eispiel lautet die duale ussage [( ) ( )] [ ] =. Für interessierte: Ein eweis sieht wie folgt aus [( ) ( )] [ ] = [( ) ( )] [ ] = [( ) ( )] [ ] = [( ) ( )] [ ] = [( ) ( )] [ ] = [( ) ( )] [ ] = G (nwendung von 2b)) =. ufgabe 3 (Mengenalgebra II) Die Mengen,, seien Teilmengen der Grundmenge G. eweisen Sie formal (also mit Hilfe der Definitionen der Operationen, analog zum eweis von 2a auf S. 40), dass gilt a) eweisen Sie das Distributivgesetz ( ) = ( ) ( ) formal. 3 b) ( ) ( ) = ( ) 3 a) Es gilt x ( ) gdw x x gdw x (x x ) gdw (x x ) (x x ) gdw x x gdw x ( ) ( ). 2

3 b) Es gilt ufgabe 4 (ussageform) Wir betrachten die ussageform x ( ) ( ) gdw x x gdw x x gdw (x x ) (x x ) gdw (x x ) (x x ) gdw (x x ) ( x x ) gdw (x x ) (x x ) gdw x (x x ) gdw x (x x ) gdw x ( x x ) gdw x (x x ) gdw x x gdw x x gdw x x gdw x φ(n) m [(m 2 n 2 ) > 0 (m > n) (m > n)] bezüglich der Grundmenge Z. estimmen Sie die a) Konversion b) Inversion c) Kontraposition d) Negation der Formel φ(n) und vereinfachen Sie sie logisch und arithmetisch. Dabei soll das Zeichen nicht vokommen. 4 a) Die Konversion der ussage p q lautet q p. Damit ist die Konversion von φ(n) gegeben durch m [(m > n) (m > n) (m 2 n 2 > 0)]. b) Die Inversion der ussage p q lautet p q. Damit ist die Inversion von φ(n) gegeben durch m [ (m 2 n 2 ) > 0 [(m > n) (m > n)]]. Äquivalentes umformen liefert m [ (m 2 n 2 ) > 0 [(m > n) (m > n)]] m [m 2 n 2 (m n) (m n)]. c) Die Kontraposition der ussage p q lautet q p. Damit ist die Kontraposition von φ(n) gegeben durch m [ [(m > n) (m > n)] (m 2 n 2 > 0)]. Äquivalentes umformen liefert m [ [(m > n) (m > n)] (m 2 n 2 > 0)] m [(m n) (m n) m 2 n 2 ]. 3

4 d) Die Negation der Formel φ(n) lautet φ(n) m [(m 2 n 2 ) > 0 (m > n) (m > n)] m [m 2 n 2 > 0 [(m > n) (m > n)]] m [m 2 > n 2 m n m n]. ufgabe 5 Wir betrachten eine Funktion f(x) R R. Formalisieren Sie die nachstehenden ussagen. ls Quantoren sind nur und zugelassen (das heisst es gibt genau eines dürfen Sie z.. nicht mit! abkürzen). a) Die Gleichung f(x) = 0 hat keine. 1 b) Die Gleichung f(x) = 0 hat genau eine. 1 c) Die Gleichung f(x) = 0 hat höchstens eine. 2 d) Die Gleichung f(x) = 0 hat mehr als eine. 2 a) Die ussage f(x) = 0 hat keine lässt sich auffassen als nicht: f(x) = 0 hat eine, also Äquivalent könnte man auch x f(x) 0 schreiben. x f(x) = 0. b) Die ussage f(x) = 0 hat genau eine lässt sich auffassen als es gibt eine x und für alle anderen Zahlen y x sind keine en, also x [f(x) = 0 ( y [(y x) f(y) 0])]. Mittels der Kontraposition können wir die ussage noch etwas vereinfachen und erhalten x [f(x) = 0 ( y [f(y) = 0 y = x])]. c) Die ussage f(x) = 0 hat höchstens eine lässt sich auffassen als es gibt genau eine x oder es gibt keine en, also [ x [f(x) = 0 ( y [f(y) = 0 y = x])]] [ x f(x) 0]. lternativ können wir höchstens eine auch ausdrücken als x y [(x y) (f(x) = f(y) = 0)]. d) Die ussage f(x) = 0 hat mindestens eine lässt sich auffassen als es gibt zwei verschiedene en x und y, also x y [x y f(x) = f(y) = 0]. ufgabe Sei n N. Mit T(n) bezeichnen wir die Teilmenge von N, welche aus allen Teilern von n besteht. Mit V(n) jene, die aus allen Vielfachen von n besteht. Zum eispiel ist T(12) = {1, 2, 3, 4,, 12} und V(12) = {12, 24, 3, 48,... }. Drücken Sie folgende Mengen durch Terme mit Teiler- und Vielfachenmengen aus: a) Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 1 und 12 teilbar sind. 2 b) Die Menge der natürlichen Zahlen, welche mit 30 ausser 1 keinen gemeinsamen Teiler haben. 2 c) Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 9, 10 und 12 teilbar sind. 2 4

5 a) lle Zahlen, die gleichzeitig durch 1 und 12 teilbar sind, sind in der Menge V(1) V(12). Damit ist die gesuchte Menge V(1) V(12). Da V(1) V(12) = V(48) gilt, können wir die gewünschte Menge auch als schreiben. V(48) b) Es handelt sich dabei um alle Zahlen, dessen Teilermenge keine gemeinsamen Elemente mit der Teilermenge der Zahl 30 hat, also {n N T(n) T(30) = {1}}. Da T(30) = {1, 2, 3, 5,, 10, 15, 30}, suchen wir Zahlen n die keinen gemeinsamen Teiler mit jeder der vorherig genannten Zahlen haben. Nun ist aber genaujedes Vielfache von 2 durch 2 teilbar, genau jedes Vielfache von 3 durch 3 teilbar, u.s.w. Wir suchen also Zahlen n, die keine Vielfachen von 2, 3, 5,, 10, 15 und 30 sind. Da jedes Vielfache von z.. auch ein Vielfaches von 2 ist, können wir uns auch auf die Vielfachen von den Zahlen 2, 3 und 5 konzentrieren. Es gilt also n V(2) V(3) V(5). c) Wie oben lassen sich alle Zahlen, die durch 9,10 und 12 teilbar sind, als V(9) V(10) V(12) = V(180) schreiben. Somit ist die gesuchte Menge V(180). ufgabe 7 Die symmetrische Differenz der Mengen und ist definiert durch x gdw (x ) > < (x ). Vereinfachen Sie schrittweise (vgl. Eigenschaften der symmetrischen Differenz, s.43) oder mit einem Venn- Diagram ( ) ( ) (( ) ). 2 Variante 1: Vereinfachen Wir verwenden die Eigenschaften der symmetrischen Differenz. Die Zahlen neben den Gleichungen beziehen sich jeweils auf die Identitäten im uch auf S. 43. ( ) ( ) (( ) ) = ( ) mehrfach 4. Variante 2: Venn-Diagramm Das letzte Venn- Diagramm zeigt, dass = ( ) mehrfach 1. = ( ) ( ) ( ) mehrfach 4. = ( ) mehrfach 3.a) = ( ) mehrfach 5. ( ) ( ) (( ) ) =. 5

6 (a) = ( ) ( ). (b) = ( ) ( ). (c) ( ). (d) ( ) ( ). (e) ( ) ( ) (( ) ). ufgabe 8 Wir betrachten die ussageform mit der Grundmenge Z. φ(y) x [(x 2 + y 2 > 9) (y < x 2 x > 2)] a) estimmen Sie die smenge von φ in aufzählender Form. 2 b) estimmen Sie eine zu φ äquivalente Formel, in der das Zeichen nicht vorkommt. 1 c) estimmen Sie die smenge von φ in aufzählender Form. 2 5 a) Die smenge lautet Wir zeigen dies per Fallunterscheidung: L φ = {..., 12, 11, 10, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. ( y 3) Wähle x = 0. Dann ist x 2 + y 2 9, also die Prämisse nicht erfüllt. Somit gilt die ussage. (y > 3) Falls y > 3 gilt, ist die Prämisse x 2 +y 2 > 9 stets (d.h. für alle x) erfüllt. Wir müssen also dafür sorgen, dass durch unsere Wahl von x auch die Konklusion erfüllt ist. llerdings ist y > 0 x 2 für alle x. Somit ist die ussage stets falsch. ( 9 y < 3) In diesem Fall ist die Prämisse wieder stets erfüllt. llerdings gibt es kein x mit y < x 2, d.h. y > x 2, und x > 2, da dafür x 2 9 gelten muss. Somit ist die ussage falsch.

7 (y < 9) uch in diesem Fall ist die Prämisse stets erfüllt. Wählen wir x = 3, so gilt sowohl y < 9 x 2 als auch x > 2. Damit ist die ussage wahr. b) Es gilt φ(n) x [(x 2 + y 2 > 9) (y < x 2 x > 2)] x [(x 2 + y 2 > 9) (y < x 2 x > 2)] x [(x 2 + y 2 > 9) (y < x 2 x > 2)] x [(x 2 + y 2 > 9) (y x 2 x 2)]. c) Da wir bereits die smenge von φ kennen, können wir daraus die smenge von φ herleiten. Es gilt nämlich für jedes n, dass φ(n) wahr ist genau dann, wenn φ(n) falsch ist. lso gilt für die smengen L φ = L φ = { 9, 8,..., 4, 4, 5,,... }. 7