Ein kausaler Zusammenhang entspricht einer speziellen wahren Implikation. Beispiel: Wenn es regnet, dann wird die Erde nass.

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1 Implikation Implikation Warum ist die Tabelle schwer zu schlucken? In der Umgangssprache benutzt man daraus folgt, also, impliziert, wenn dann, nur für kausale Zusammenhänge Eine Implikation der Form: Wenn Konstanz eine Uni hat, dann ist Wasser nass. ist im Sinne der ussagenlogik wahr, gefühlsmäßig aber nicht, da es keinen kausalen Zusammenhang gibt. Ein kausaler Zusammenhang entspricht einer speziellen wahren Implikation. eispiel: Wenn es regnet, dann wird die Erde nass. Wenn wahr ist dann ist zwangsläufig auch wahr. Wir sagen ist notwendig für und ist hinreichend für. es könnte ja noch andere Gründe für geben. Implikation nalyse einer Schlussregel Zusammenfassung: ussagenlogik arbeitet unabhängig vom Inhalt der ussagen und muss deshalb auch alltagssprachlich unübliche Implikationen zulassen. Die Wahrheitswerte sind aber so zugeordnet, dass übliche Implikationen (kausale Zusammenhänge) korrekt behandelt werden. Die rgumentation des Technikers: ei diesem Fehler liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer oder ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. Die Taktstörung ist es diesmal nicht. lso haben wir einen Kriechstrom in der Sensorik. entspricht der Verknüpfung: ( ) ( ) mit: = Es liegt eine Taktstörung im zentralen Celurgabuffer vor. em.: n und bzw. oder stellt die lltagssprache weniger nforderungen. = Es liegt ein Kriechstrom in der Phylasensorik vor. nalyse einer Schlussregel nalyse einer Schlussregel ( p) = ( p) = ( ) ( ) Die Zahl p ist gerade. Die Zahl p ist eine Primzahl. ( ) ( ) = Der Hund bellt. = Die Karawane zieht weiter. Wenn p eine gerade Zahl oder eine Primzahl ist und p ungeade ist, dann ist p eine Primzahl. Da der Hund bellt oder die Karawane weiterzieht und der Hund nicht bellt, zieht die Karawane weiter.

2 nalyse einer Schlussregel nalyse einer Schlussregel Wir empfinden ( ) ( ) unabhängig vom konkreten Inhalt der Elementaraussagen, als korrekten Schluss. ( ) Unsere Schlussregel ( ) ( ) ist eine Tautologie, d.h. eine ussageverknüpfung, die unabhängig vom Inhalt und den Wahrheitswerten der beteiligten Elementaraussagen stets wahr ist. Es zeigt sich: korrekte logische Schlüsse entsprechen jeweils tautologischen Implikationen. Tautologische Implikationen Tautologische Implikationen eispiel: ( ) immer erst ausprobieren (experimentieren, spielen) Ob ( ) ein logisch korrekter Schluss ist, lässt sich nachrechnen. = Das Seil reißt. = rmin fällt. ergibt: Das Seil reißt und wenn das Seil reißt, fällt rmin. lso fällt rmin. korrekter Schluss? ( ) Tautologische Äquivalenzen äquivalent-verknüpfung eim Umformen von ussagen helfen tautologische Äquivalenzen eispiel: = Ich bin besoffen. = Ich bin müde. Dann sind: ( ) Müde und besoffen bin ich nicht. ( ) ( ) Ich bin nicht müde oder ich bin nicht besoffen. sinngemäß identisch, d.h. äquivalent (Regel von de Morgan) Die äquivalent-verknüpfung: Zwei ussagen sind äquivalent, wenn sie den selben Wahrheitswert haben

3 Die intuitive Äquivalenz von: lässt sich durch Nachrechnen bestätigen: Tautologische Äquivalenzen ( ) Müde und besoffen bin ich nicht. ( ) ( ) Ich bin nicht müde oder ich bin nicht besoffen. ( ) eispiel: ( ) ist stets wahr also eine tautologische Äquivalenz Tautologische Äquivalenzen Kontradiktion ussageformen Tautologie: ussage die stets wahr ist. Kontradiktion: ussage die stets falsch ist. eispiel: ( ) (spielen = Ich mag.) Tautologien und Kontradiktionen lassen sich auch auf ussageformen anwenden, da sie unabhängig vom Wahrheitswert der beteiligten ussagen wahr bzw. falsch sind. eispiel: x [,] x < x > ( x [, ] ) [, ] = { x x x } ist stets wahr benutzte Tautologie: ( ) ( ) ( ) ussageformen ussageformen eispiel: x [,] x < x > ist stets wahr hilfreiche Notation: llquantor x R : x [,] x < x > Lies: für alle x in der Menge R gilt eispiele: x : x = x ist wahr x, y R : x + y = y + x ist wahr x, y R : x > y ist falsch n N : n gerade n gerade ist wahr generell: x : ( ist eine ussage, die wahr ist, wenn ( für alle zuglässigen x wahr ist. 3

4 ussageformen ussageformen hilfreiche Notation: Existenzquantor x R : x = Lies: es existiert ein x in der Menge R so dass generell: x : ( ist eine ussage, die wahr ist, wenn ( für ein zuglässiges x wahr ist. also: ( x R : x = ) tautologische Äquivalenz: ( x : ( ) x : ( ist wahr äquivalent formuliert: x R : x ist wahr genauso: ( x : ( ) x : ( experimentieren! eispiel: x R : x = ist falsch ussageformen ussageformen = Niemand mag mich. äquivalent formuliert mit: bzw. ( Person x : M ( ) Personen x : M ( M( = x mag mich chtung: die Negation von ist nicht gleichbedeutend mit der ussage lle mögen mich., sondern Person x : M ( eispiel: gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit Eine Folge ( fn ) von Funktionen heißt gleichmäßig gleichgradig stetig, wenn f n : ( a, b) R ε > : δ > : x ( a, b) : x ( a, b), x x < δ : n N : f ( f ( ) < ε n n x Frage: wann ist ( ) f n nicht gleichmäßig gleichgradig stetig? ε > : δ > : x ( a, b) : x ( a, b), x x < δ : n N : f ( f ( ) ε n n x ussageformen Zusammenfassung Vorsicht: Quantoren vertauschen nicht ohne weiteres eispiel: ( F, M ) = F hat was mit M. Männer M : Frau F : ( F, M ) ist nicht äquivalent mit Frau F : Männer M : ( F, M ) Eine ussage ist ein Sachverhalt, der entweder wahr oder falsch ist. Durch Verknüpfung von ussage(forme)n mit Junktoren entstehen weitere ussage(forme)n. Durch Quantoren werden ussageformen zu ussagen. Der Wahrheitswert einer Verknüpfung folgt aus der entsprechenden Wahrheitstabelle. Logische Schlussfolgerungen entsprechen tautologischen Implikationen. ussage(forme)n lassen sich umformen mit Hilfe von tautologischen Äquivalenzen. 4

5 µ γ Kurzer usflug Menge und Element sind Grundbegriffe der Theorie. ϑ ε Φ Σ δ Ψ ξ β Ω Die Fragen: Was ist eine Menge? Was ist ein Element? werden nicht diskutiert. Statt dessen wird spezifiziert, wie man mit Mengen und Elementen arbeitet. nalog: Punkte, Geraden, (Geometrie) Reelle Zahlen (nalysis) Wahscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeitstheorie) Masse, Gravitation (klassische Mechanik) Kurzer usflug Kurzer usflug rbeitsanweisungen in Form von xiomen: uszug: M: Es gibt eine Menge. M: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben. vereinbarungsgemäß wahre ussagen M3: Zu jeder Menge M und jeder ussageform ( gibt es eine Menge, die genau jene Elemente enthält, für welche die ussage ( wahr ist. M3 heißt ussonderungsaxiom. Schreibweise: = { x M ( } eispiel: ( = ( x M Menge { x M x x } die sogenannte leere Menge ist eine Menge ohne Elemente { } eispiel: ( = ( x > x < ) Kurzer usflug µ γ eispiel: { x R ( } = (,) offenes Intervall (ohne Endpunkte) ( n) = k N : n = k { n N (n) } Menge der geraden Zahlen ϑ ε Φ Σ eweise δ Ψ ξ β Ω 5

6 eweise Einführung eweise eispiel ls eweis einer ussage bezeichnet man eine Folge von logischen Schlüssen, die zeigt, dass die ussage wahr ist. Eine wahre ussage heißt auch Satz oder Theorem. Ein Hauptsatz ist ein besonders bedeutender Satz. Ein Lemma ist ein Hilfssatz in einem längeren eweis. Satz: Sei n eine gerade Zahl. Dann ist auch n gerade. äquivalente Formulierung mit G = n N k N : n = k { } Ein Korollar ist eine Folgerung aus einem zuvor bewiesenen Satz. Satz: n : n G n G eweise eispiel eweise Diskussion eweis: Sei n G. Dann gibt es ein k N mit n = k. Diskussion: Zu zeigen: Die ussage ist von der typischen Form: x M : ( ( ( ( ist wahr für alle x M lso ist n = (k)(k) = (k ), d.h. mit m = k N, folgt n = m G. eweisende Es genügt zu zeigen, dass ( nicht falsch ist, wenn ( wahr ist. bzw. dass ( wahr ist, wenn ( wahr ist. eweise Diskussion eweise Diskussion Der Nachweis wird in geeignete eweisschritte zerlegt. Jeder Schritt hat die Form einer wahren Implikation. ( Z(, Z Z ( ),, ( ( ( x Z m ls wahre Implikationen dienen Definitionen und Sätze. Wenn ( und die Implikation ( x ) Z ( x ) wahr sind, dann zeigt die Tabelle, dass Z ( x ) wahr ist. Mehrfache nwendung ergibt, dass Z(, Z3(,, Z (, ( wahr sind. m 6

7 eweise Direkter eweis eweise Kontraposition enutzte Strategie: direkter eweis zum eweis von x M : ( ( nimm an, dass ( wahr ist und zeige, mit geeigneten eweisschritten, dass ( wahr ist. Weitere Strategie: eweis durch Kontraposition enutzt die Tautologie ( ) ( ) eispiel: Wenn der Schalter schließt, dann leuchtet die Lampe. Kontraposition: Wenn die Lampe aus ist, dann ist der Schalter offen. eweise eispiel eweise eispiel Satz: Sei n eine gerade Zahl. Dann ist auch n gerade. äquivalente Formulierung mit { n N k : n = k} G = N Satz: n : n G n G Kontraposition: n N : n G n G eweis: Sei n G, also ungerade. Dann gibt es ein k N mit n = k. lso ist n = (k ) = (k k) +, d.h. mit m = k k N, Folgt n = m + G. w.z.b.w. was zu beweisen war eweise Kontraposition Diskussion: Ein direkter eweis wäre hier schwieriger da n G also n = k nicht direkt etwas über n aussagt. ndererseits haben wir eine genaue Charakterisierung der Zahlen n G so dass wir eine rgumentationskette starten können. em.: Welche Strategie zum Erfolg führt muss ausprobiert werden! 7

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