4 Einige Grundstrukturen. Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper

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1 4 Einige Grundstrukturen Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper

2 Abbildungen Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X Y ordnet jedem x X genau ein Element y Y zu. Wir schreiben dann f(x) = y.

3 Abbildungen Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X Y ordnet jedem x X genau ein Element y Y zu. Wir schreiben dann f(x) = y. heißt Bildbereich von f. f(x) = {f(x) : x X} Y

4 Abbildungen Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X Y ordnet jedem x X genau ein Element y Y zu. Wir schreiben dann f(x) = y. heißt Bildbereich von f. f(x) = {f(x) : x X} Y f heißt surjektiv, wenn f(x) = Y.

5 Abbildungen Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X Y ordnet jedem x X genau ein Element y Y zu. Wir schreiben dann f(x) = y. heißt Bildbereich von f. f(x) = {f(x) : x X} Y f heißt surjektiv, wenn f(x) = Y. f heißt injektiv, wenn x, x ( f(x) = f(x ) x = x ).

6 Abbildungen Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X Y ordnet jedem x X genau ein Element y Y zu. Wir schreiben dann f(x) = y. heißt Bildbereich von f. f(x) = {f(x) : x X} Y f heißt surjektiv, wenn f(x) = Y. f heißt injektiv, wenn x, x ( f(x) = f(x ) x = x ). f heißt bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.

7 Abbildungen f heißt injektiv, wenn x, x ( f(x) = f(x ) x = x ).

8 Abbildungen f heißt injektiv, wenn x, x ( f(x) = f(x ) x = x ). Ist die Bedingung x, x ( x x f(x) f(x ) ). zur Injektivität äquivalent?

9 Abbildungen f heißt injektiv, wenn x, x ( f(x) = f(x ) x = x ). Ist die Bedingung x, x ( x x f(x) f(x ) ). zur Injektivität äquivalent? Ja, es gilt ganz allgemein (A B) ( B A)

10 Relationen Seien X und Y Mengen. X Y = {(x, y) : x X. y Y} heißt kartesisches Produkt der Mengen X und Y. Eine (zweistellige) Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts X Y, also R X Y.

11 Relationen Seien X und Y Mengen. X Y = {(x, y) : x X. y Y} heißt kartesisches Produkt der Mengen X und Y. Eine (zweistellige) Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts X Y, also R X Y. Jede Abbildung f : X Y ist auch eine Relation: R = {(x, y) : f(x) = y} X Y

12 Relationen Seien X und Y Mengen. X Y = {(x, y) : x X. y Y} heißt kartesisches Produkt der Mengen X und Y. Eine (zweistellige) Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts X Y, also R X Y. Jede Abbildung f : X Y ist auch eine Relation: R = {(x, y) : f(x) = y} X Y Die Begriffe Abbildung und Relation lassen sich leicht auf n-stellige Abbildungen f : X 1 X 2... X n Y und n-stellige Relationen R X 1 X 2... X n verallgemeinern.

13 Mathematische Strukturen lassen sich in der Form Ë = {S, e 1,...,e l, f 1,...,f m, R 1,...,R n } schreiben mit S Grundmenge e i ausgezeichnete Elemente (meist neutrale Elemente), f j Abbildungen (meist zweistellige Operationen wie +), R k (meist zweistellige) Relationen.

14 Mathematische Strukturen lassen sich in der Form Ë = {S, e 1,...,e l, f 1,...,f m, R 1,...,R n } schreiben mit S Grundmenge e i ausgezeichnete Elemente (meist neutrale Elemente), f j Abbildungen (meist zweistellige Operationen wie +), R k (meist zweistellige) Relationen. Klar, dies ist redundant, weil man alle Abbildungen auch als Relationen schreiben kann.

15 Beispiel Die natürlichen Zahlen mit Addition und Ordnung ist Æ 0 = {N 0, 0,+, }.

16 Beispiel Die natürlichen Zahlen mit Addition und Ordnung ist Æ 0 = {N 0, 0,+, }. Wie hier schreibt man meist xry statt (x, y) R.

17 Beispiel Die natürlichen Zahlen mit Addition und Ordnung ist Æ 0 = {N 0, 0,+, }. Wie hier schreibt man meist xry statt (x, y) R. Die Null kann man auszeichnen, weil Æ 0 damit beginnt.

18 Gruppen Eine Gruppe = (G, e, ) besteht aus einer Menge G, einer zweistelligen Operation mit z = x y G, und einem ausgezeichneten Element e G, so dass:

19 Gruppen Eine Gruppe = (G, e, ) besteht aus einer Menge G, einer zweistelligen Operation mit z = x y G, und einem ausgezeichneten Element e G, so dass: (G1) (Assoziativgesetz) Für alle x, y, z G gilt (x y) z = x (y z). (G2) (Neutrales Element) Für alle x G gilt e x = x e = x. (G3) (Inverses Element) Zu jedem x G gibt es ein x 1 G mit x 1 x = x x 1 = e.

20 Beispiele für Gruppen Endliche Gruppen gibt man mit einer Gruppentafel an, in der die Ergebnisse von x y eingetragen werden. Wir bezeichnen die Gruppenelemente mit 0, 1, 2,..., wobei 0 das neutrale Element ist.

21 Beispiele für Gruppen Endliche Gruppen gibt man mit einer Gruppentafel an, in der die Ergebnisse von x y eingetragen werden. Wir bezeichnen die Gruppenelemente mit 0, 1, 2,..., wobei 0 das neutrale Element ist. Die Gruppe mit 3 Elementen ist eindeutig bestimmt:

22 Beispiele für Gruppen Vierelementige Gruppen gibt es schon mehrere:

23 Beispiele für Gruppen Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind = (, 0,+), = (É, 0,+), = (É\{0}, 1, ).

24 Beispiele für Gruppen Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind = (, 0,+), = (É, 0,+), = (É\{0}, 1, ). Also: Konkrete Gruppen können alles mögliche sein. Daher ist es hier wie meist in der Algebra wichtig, dass die Beweise streng aus den Axiomen folgen.

25 Beispiele für Gruppen Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind = (, 0,+), = (É, 0,+), = (É\{0}, 1, ). Also: Konkrete Gruppen können alles mögliche sein. Daher ist es hier wie meist in der Algebra wichtig, dass die Beweise streng aus den Axiomen folgen. Man zeige: In jeder Gruppe sind die Gleichungen x a = b und a x = b eindeutig nach x auflösbar.

26 Beispiele für Gruppen Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind = (, 0,+), = (É, 0,+), = (É\{0}, 1, ). Also: Konkrete Gruppen können alles mögliche sein. Daher ist es hier wie meist in der Algebra wichtig, dass die Beweise streng aus den Axiomen folgen. Man zeige: In jeder Gruppe sind die Gleichungen x a = b und a x = b eindeutig nach x auflösbar. Aus diesem Grund sind die Gruppentafeln Lateinische Quadrate, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommt.

27 Abelsche Gruppen Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das Kommutativgesetz gilt:

28 Abelsche Gruppen Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das Kommutativgesetz gilt: (G4) Für alle x, y G gilt x y = y x. Bei einer kommutativen Gruppe schreibt man meist + statt mit dem neutralen Element 0.

29 Abelsche Gruppen Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das Kommutativgesetz gilt: (G4) Für alle x, y G gilt x y = y x. Bei einer kommutativen Gruppe schreibt man meist + statt mit dem neutralen Element 0. Dies erinnert an die ganzen Zahlen = (Z, 0,+), die ja eine kommutative Gruppe bilden.

30 Modelle Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten Elementen, Operationen und Relationen), in der die Axiome einer mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser Struktur.

31 Modelle Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten Elementen, Operationen und Relationen), in der die Axiome einer mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser Struktur. Alles, was wir als Beispiele von Gruppen bezeichnet haben, sind Modelle der Gruppe. Modelle sind daher konkret, haben philosophisch gesprochen ein eigenes Sein in der mathematischen Welt. Dagegen ist eine mathematische Struktur i.a. abstrakt.

32 Modelle Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten Elementen, Operationen und Relationen), in der die Axiome einer mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser Struktur. Alles, was wir als Beispiele von Gruppen bezeichnet haben, sind Modelle der Gruppe. Modelle sind daher konkret, haben philosophisch gesprochen ein eigenes Sein in der mathematischen Welt. Dagegen ist eine mathematische Struktur i.a. abstrakt. Das Axiomensystem der Gruppe definiert gleichzeitig, was eine Gruppe ist.

33 Die natürlichen Zahlen Was ist eine Gruppe?

34 Die natürlichen Zahlen Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen.

35 Die natürlichen Zahlen Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen. Was sind die natürlichen Zahlen?

36 Die natürlichen Zahlen Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen. Was sind die natürlichen Zahlen? Die vernünftige Antwort ist: Das sind die Zahlen 1, 2, 3,...

37 Die natürlichen Zahlen Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen. Was sind die natürlichen Zahlen? Die vernünftige Antwort ist: Das sind die Zahlen 1, 2, 3,... Abgesehen davon, wie man die einzelnen natürlichen Zahlen nennt, sind sie eindeutig bestimmt. Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen ist daher eher beschreibend als definierend.

38 Die natürlichen Zahlen Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen. Was sind die natürlichen Zahlen? Die vernünftige Antwort ist: Das sind die Zahlen 1, 2, 3,... Abgesehen davon, wie man die einzelnen natürlichen Zahlen nennt, sind sie eindeutig bestimmt. Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen ist daher eher beschreibend als definierend. Ich brauche mich doch nicht durch ein Axiomensystem darüber belehren zu lassen, was eine natürliche Zahl ist!

39 Die natürlichen Zahlen Was ist eine Gruppe? Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen. Was sind die natürlichen Zahlen? Die vernünftige Antwort ist: Das sind die Zahlen 1, 2, 3,... Abgesehen davon, wie man die einzelnen natürlichen Zahlen nennt, sind sie eindeutig bestimmt. Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen ist daher eher beschreibend als definierend. Ich brauche mich doch nicht durch ein Axiomensystem darüber belehren zu lassen, was eine natürliche Zahl ist! Frage: Ähnelt die Struktur der reellen Zahlen mehr einer Gruppe oder mehr den natürlichen Zahlen?

40 Die Peanoschen Axiome In moderner Form sind die natürlichen Zahlen eine Struktur Æ = (N, 1, f) mit dem ausgezeichneten Element 1 und einer einstelligen Abbildung f : N N, die als Nachfolger interpretiert wird.

41 Die Peanoschen Axiome In moderner Form sind die natürlichen Zahlen eine Struktur Æ = (N, 1, f) mit dem ausgezeichneten Element 1 und einer einstelligen Abbildung f : N N, die als Nachfolger interpretiert wird. Die Axiome sind dann (P1) Für alle m, n: Wenn f(m) = f(n), so gilt m = n, (P2) Es gibt kein n N mit f(n) = 1, (P3) Für alle Teilmengen M N gilt: Ist 1 M und folgt aus n M, dass auch f(n) M, so M = N.

42 Die Peanoschen Axiome In moderner Form sind die natürlichen Zahlen eine Struktur Æ = (N, 1, f) mit dem ausgezeichneten Element 1 und einer einstelligen Abbildung f : N N, die als Nachfolger interpretiert wird. Die Axiome sind dann (P1) Für alle m, n: Wenn f(m) = f(n), so gilt m = n, (P2) Es gibt kein n N mit f(n) = 1, (P3) Für alle Teilmengen M N gilt: Ist 1 M und folgt aus n M, dass auch f(n) M, so M = N. (P1) bedeutet, dass f injektiv ist, (P2), dass 1 / f(n). (P3) ist die vollständige Induktion.

43 Die Peanoschen Axiome (P1) Für alle m, n: Wenn f(m) = f(n), so gilt m = n, (P2) Es gibt kein n N mit f(n) = 1, Gibt es endliche Modelle von (P1) und (P2)?

44 Die Peanoschen Axiome (P1) Für alle m, n: Wenn f(m) = f(n), so gilt m = n, (P2) Es gibt kein n N mit f(n) = 1, Gibt es endliche Modelle von (P1) und (P2)? Die Abbildung f ist injektiv, aber nicht surjektiv. Für endliche Mengen N und f : N N gilt aber f injektiv f surjektiv f bijektiv

45 Die Peanoschen Axiome (P1) Für alle m, n: Wenn f(m) = f(n), so gilt m = n, (P2) Es gibt kein n N mit f(n) = 1, Gibt es endliche Modelle von (P1) und (P2)? Die Abbildung f ist injektiv, aber nicht surjektiv. Für endliche Mengen N und f : N N gilt aber f injektiv f surjektiv f bijektiv Ein endliches Modell gibt es daher nicht.

46 Aufgabe Geben Sie ein Modell von (P1) und (P2) an, in dem (P3) nicht gilt!

47 Aufgabe Geben Sie ein Modell von (P1) und (P2) an, in dem (P3) nicht gilt! Wir nehmen als Grundmenge G = N Z. N sind die natürlichen Zahlen mit 1 N. Z sind die ganzen Zahlen, aber andere Objekte als N, daher der Strich. Die Nachfolgefunktion ist definiert durch f(n) = n+1 für n N, f(k ) = k + 1 für k Z.

48 Aufgabe Geben Sie ein Modell von (P1) und (P2) an, in dem (P3) nicht gilt! Wir nehmen als Grundmenge G = N Z. N sind die natürlichen Zahlen mit 1 N. Z sind die ganzen Zahlen, aber andere Objekte als N, daher der Strich. Die Nachfolgefunktion ist definiert durch f(n) = n+1 für n N, f(k ) = k + 1 für k Z. Setzen wir in (P3) die Menge M = N ein, so soll N = G folgen, was aber nicht der Fall ist.

49 Aufgabe Geben Sie ein Modell von (P1) und (P2) an, in dem (P3) nicht gilt! Wir nehmen als Grundmenge G = N Z. N sind die natürlichen Zahlen mit 1 N. Z sind die ganzen Zahlen, aber andere Objekte als N, daher der Strich. Die Nachfolgefunktion ist definiert durch f(n) = n+1 für n N, f(k ) = k + 1 für k Z. Setzen wir in (P3) die Menge M = N ein, so soll N = G folgen, was aber nicht der Fall ist. Also: (P1),(P2) sorgen dafür, dass nur unendliche Mengen mit einem Anfang 1 als Modelle in Frage kommen. (P3) verlangt, dass unter diesen Modellen das minimale genommen wird.

50 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form à = (K, 0, 1,+, ) mit einer Grundmenge K, zwei zweistelligen Operationen + und, für die die Körperaxiome gelten:

51 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form à = (K, 0, 1,+, ) mit einer Grundmenge K, zwei zweistelligen Operationen + und, für die die Körperaxiome gelten: (K1) (K, 0, +) ist abelsche (=kommutative) Gruppe, (K2) (K \{0}, 1, ) ist abelsche (=kommutative) Gruppe, (K3) Es gilt das Distributivgesetz p (q + r) = p q + p r.

52 Beispiel: Restklassenkörper Sei p 1 eine natürliche Zahl und G p = {0, 1, 2,...,p 1}.

53 Beispiel: Restklassenkörper Sei p 1 eine natürliche Zahl und G p = {0, 1, 2,...,p 1}. Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G, indem wir zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.b:

54 Beispiel: Restklassenkörper Sei p 1 eine natürliche Zahl und G p = {0, 1, 2,...,p 1}. Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G, indem wir zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.b: = 1, = 2.

55 Beispiel: Restklassenkörper Sei p 1 eine natürliche Zahl und G p = {0, 1, 2,...,p 1}. Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G, indem wir zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.b: = 1, = 2. Wir erhalten eine Struktur p = (G p, 0, 1,+ p, p).

56 Beispiel: Restklassenkörper Sei p 1 eine natürliche Zahl und G p = {0, 1, 2,...,p 1}. Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G, indem wir zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.b: = 1, = 2. Wir erhalten eine Struktur p = (G p, 0, 1,+ p, p). Die Assoziativ- und Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz vererben sich auf die so definierten Operationen.

57 Beispiel: Restklassenkörper Sei p 1 eine natürliche Zahl und G p = {0, 1, 2,...,p 1}. Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G, indem wir zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.b: = 1, = 2. Wir erhalten eine Struktur p = (G p, 0, 1,+ p, p). Die Assoziativ- und Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz vererben sich auf die so definierten Operationen. 0 ist neutral bezüglich der Addition und 1 ist neutral bezüglich der Multiplikation.

58 Beispiel: Restklassenkörper Sei p 1 eine natürliche Zahl und G p = {0, 1, 2,...,p 1}. Wir addieren und multiplizieren innerhalb von G, indem wir zunächst die normale Addition oder Multiplikation ausführen und vom Ergebnis nur die Restklasse modulo p nehmen, z.b: = 1, = 2. Wir erhalten eine Struktur p = (G p, 0, 1,+ p, p). Die Assoziativ- und Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz vererben sich auf die so definierten Operationen. 0 ist neutral bezüglich der Addition und 1 ist neutral bezüglich der Multiplikation. Das inverse Element der Addition zu a ist p a.

59 Tafeln für p =

60 Tafeln für p = Da wir a 0 invertieren können, ist 3 ein Körper.

61 Tafeln für p =

62 Tafeln für p = ist kein Körper, weil wir 2 nicht invertieren können.

63 p Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.

64 p Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Beweis: Wir zeigen, daß für p prim jedes a 0 invertierbar ist.

65 p Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Beweis: Wir zeigen, daß für p prim jedes a 0 invertierbar ist. Wäre a p b = a p b für a, b, b 0, so ab ab = kp für eine ganze Zahl k.

66 p Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Beweis: Wir zeigen, daß für p prim jedes a 0 invertierbar ist. Wäre a p b = a p b für a, b, b 0, so ab ab = kp für eine ganze Zahl k. Da die linke Seite durch a teilbar ist und p prim, ist auch k durch a teilbar, also b b = k p b = b.

67 p Satz Zp ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Beweis: Wir zeigen, daß für p prim jedes a 0 invertierbar ist. Wäre a p b = a p b für a, b, b 0, so ab ab = kp für eine ganze Zahl k. Da die linke Seite durch a teilbar ist und p prim, ist auch k durch a teilbar, also b b = k p b = b. Damit sind die Werte ab für b = 1,...,p 1 alle verschieden. Es gibt daher ein b mit ab = 1.

68 p Für den Beweis der anderen Richtung des Satzes verwenden wir einen allgemeinen Satz der Körpertheorie: Satz Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. für a, b 0 gilt ab 0.

69 p Für den Beweis der anderen Richtung des Satzes verwenden wir einen allgemeinen Satz der Körpertheorie: Satz Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. für a, b 0 gilt ab 0. Beweis: Es gilt a 0 = a (0+0) = a 0+a 0, daher a 0 = 0.

70 p Für den Beweis der anderen Richtung des Satzes verwenden wir einen allgemeinen Satz der Körpertheorie: Satz Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. für a, b 0 gilt ab 0. Beweis: Es gilt a 0 = a (0+0) = a 0+a 0, daher a 0 = 0. Wäre ab = 0 für a, b 0, so abb 1 = 0 b 1 = 0, also a = 0.

71 p Für den Beweis der anderen Richtung des Satzes verwenden wir einen allgemeinen Satz der Körpertheorie: Satz Ein Körper ist nullteilerfrei, d.h. für a, b 0 gilt ab 0. Beweis: Es gilt a 0 = a (0+0) = a 0+a 0, daher a 0 = 0. Wäre ab = 0 für a, b 0, so abb 1 = 0 b 1 = 0, also a = 0. Ist p nicht prim, so p = ab und p ist nicht nullteilerfrei.