C: Algebraische Strukturen

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1 C: Algebraische Strukturen Algebra: Rechnen. Menge mit Verknüpfungen: (N 0, +), (R, +, ), (P(X),, ), (R n n, +, ) Informatik: Boolsche Algebren Relationenalgebra (Datenbanken) Computeralgebra 29 Gruppen 29.1 Bedeutung für die Informatik Mathematik ist die Lehre von den guten Beschreibungen. (A. Beutelspacher) Die Gruppentheorie arbeitet grundlegende Gemeinsamkeiten hinter vielen Problemen heraus. Ihre Aussagen können dann für all diese Probleme angewandt werden. Gruppen sind abstrakte Modelle für Mengen, auf denen eine Verknüpfung (wie Addition oder Multiplikation) definiert ist. Gruppen: einfachste Form sinnvollen Rechnens 29.2 Definition Sei G eine Menge. Eine Abbildung f : G G G heißt Verknüpfung auf G. Schreibweise: Normalerweise nennen wir Verknüpfungen +,,,,.... Statt +(x, y) schreiben wir x + y. Ein Paar (G, ) bestehend aus einer Menge G und einer Verknüpfung heißt Gruppe, wenn folgendes gilt: Für alle x, y, z G gilt (x y) z = x (y z). Assoziativgesetz Es existiert ein e G, so daß 1

2 (a) für alle x G gilt: e x = x; (Links-) Neutrales Element (b) für alle x G existiert ein y G mit y x = e. Inverses Element. Gilt weiter x y = y x für alle x, y G, so heißt G kommutative Gruppe oder abelsche Gruppe. G heißt Ordnung der Gruppe. Ist G <, spricht man von einer endlichen Gruppe. (Vergleiche auch 8.2 in MfI 1.) 29.3 Beispiele a) Die nichtnegativen ganzen Zahlen IN 0 = {0, 1, 2,...} mit der Addition bilden ein kommutatives Monoid ( IN 0, +) mit 0 als neutralem Element. ( IN 0, +) ist keine Gruppe, da es kein y IN 0 existiert mit y + 1 = 0. b) (Z, +), (Q, +), (IR, +), (IR 2, +) sind abelsche Gruppen. c) (Q \ {0}, ), (IR \ {0}, ) sind kommutative Gruppen, (Q, ) jedoch nicht. d) Sei X eine Menge. Sei Sym(x) = {f : X X f bijektiv}. Mit der Hintereinanderausführung ist Sym(x) eine Gruppe. 1 e) Sei G die Menge der invertierbaren n n-matrizen über IR. Dann ist G mit der normalen Matrixmultiplikation eine Gruppe Satz: Eindeutigkeit von neutralen Elementen und inversen Elementen Sei G eine Gruppe. Sei e G ein neutrales Element. Dann gilt: (a) Sei a G. Sei b G mit b a = e. Dann gilt a b = e. (b) Sei a G. Dann gilt a e = a. 1 Eine Abbildung (Funktion) zwischen zwei Mengen M, N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein eindeutiges Element f(x) N zuordnet (vgl. MfI 1, 5.2). Die Abbildung f heißt bijektiv, falls zu jedem y N ein x M mit f(x) = y existiert und für x 1, x 2 M mit x 1 x 2 stets f(x 1 ) f(x 2 ) gilt (vgl. MfI 1, 5.6). 2

3 (c) Seien e, e (links-) neutrale Elemente. Dann gilt e = e. (d) Sei a G. Seien a, a G mit a a = e und a a = e. Dann gilt a = a. Beweis: (a) Da G eine Gruppe ist, existiert ein b G mit b b = e. Dann gilt: a b = e (a b) (Neutrales Element) = (b b) (a b) (Wahl von b ) = b ((b a) b) (Assoziativität) = b (e b) = b b = e. (b) Es existiert ein a G mit a a = e. Dann gilt: a e = a (a a) (Wahl von a ) = (a a ) a (Assoziativität) = e a (nach (a)) = a (neutrales Element). (c) Es gilt (d) Es gilt a = a e e e links-neutr. = e e (b) = e. (nach (b)) = a (a a ) (nach (a)) = (a a) a (Assoziativität) = e a (nach (*)) = a Definiton: Untergruppe Sei (G, ) eine Gruppe U G. Ist U mit der auf U U eingeschränkten Verknüpfung U U eine Gruppe, so heißt U Untergruppe von G. Wir schreiben U G. 3

4 29.6 Definition: Schreibweise zu Gruppen Sei G eine Gruppe. Wenn nichts anderes vereinfacht ist, bezeichnen wir die Verknüpfung mit ( Multiplikation ). Wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind, lassen wir den Punkt weg, d.h., wir schreiben ab sofort a b. Das eindeutig bestimmte neutrale Element bezeichnen wir mit 1, das Inverse zu a G bezeichnen wir mit a 1. Allgemein für z Z setzen wir a }.{{.. a}, z mal z 1 a z = 1, z = 0 a } 1.{{.. a 1 }, sonst z mal Abelsche Gruppen werden meist additiv geschrieben, d.h. wir bezeichnen mit + die Verknüpfungen 0 das neutrale Element a das inverse Element zu a k a := } a +. {{.. + a } für k N k mal 0 a = 0 ( k) a = k ( a) 29.7 Satz: Untergruppenkriterium Sei G eine Gruppe, U G, U. Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) U G (ii) a, b U : ab U a 1 U (iii) a, b U : ab 1 U Beweis: (i) (ii): Da U U Verknüpfung auf U, gilt U U : U U U. Also ist a b U für alle a, b U. Da U eine Gruppe ist, existiert ein a U mit a a = e. Nach Satz 29.4 (d) ist a = a 1, also a 1 U. 4

5 (ii) (i) Offenbar gilt (i) (iii) Übung. a, b, c U : (a b) c = a (b c), (1) da G eine Gruppe ist. Sei a U. Nach (ii) ist dann a 1 U, also auch e = a 1 a U (wieder nach (ii)) Beispiele a) (Z, +) und (Q, +) sind Untergruppen von (IR, +). b) (mz, +) mit mz := {mz z Z} und m IN ist Untergruppe von (Z, +). c) Ist (G, ) eine Gruppe mit dem neutralen Element e, so sind ({e}, ) und (G, ) selbst Untergruppen von (G, ). d) U 1 U 2 G e) Ist: M G, so definieren wir M := {U M U G} Erzeugnis von M Zyklische Gruppen: Sei g G. Dann heißt die von g erzeugte zyklische Gruppe. g := {g} (2) 29.9 Beispiel G = (Z Z, +). U = Z {0}. (1, 3) + U = Z {3}. (7, 4) + U = Z {4}. (a, b) + U = Z {b} Definition: Links- und Rechtsnebenklassen Es sei G eine Gruppe mit Untergruppe U. Ferner sei g G. Dann nennen wir gu := {gu u U} Linksnebenklasse von g, Ug := {ug u U} Rechtsnebenklasse von g. 5

6 Bemerkung: Häufig betrachtet man nur Linksnebenklassen und nennt diese Nebenklassen Definition: Index Es sei U eine Untergruppe von (G, ). Dann bezeichnen wir die Menge aller Linksnebenklassen mit G/U (gesprochen: G modulo U ), und G : U := G/U nennt man den Index von U in G Satz: Nebenklassenzerlegung einer Gruppe Sei G eine Gruppe, g, h G und U G. a) Ist g U, so gilt gu = U. b) Es gilt gu = hu oder gu hu =. c) Die Menge der Nebenklassen von U sind in einer Partition von G. d) gu = U für alle g G. Bemerkung: Für Rechtsnebenklassen gelten analoge Aussagen. Beweis: a) Sei h gu. Dann existiert u U mit h = gu. Da U G und g, u U, folgt h = gu U. Also ist gu U. Sei h U. Da g 1 U ist g 1 h U und es gilt gu g(g 1 h) = (gg 1 )h = h. Also gilt U gu. b) Sei gu hu. Dann gibt es a, b U mit ga = hb ( ). Es folgt gu (a) = g(au) = (ga)u ( ) = (hb)u = h(bu) (a) = hu. c) Sei g G. Dann ist g = ge gu. Also G g G gu. Die Disjunktheit folgt aus (b). 6

7 d) f : U gu, u gu ist bijektiv, da f : gu U; x g 1 die inverse Funktion zu f ist (d.h., f f = id U und f f = id gu ). Damit folgt gu = U Beispiel (5Z, +) ist eine Untergruppe von (Z, +). Wir können Z in 5 (Links-) Nebenklassen zerlegen: 0 + 5Z =: [0] 1 + 5Z =: [1] 2 + 5Z =: [2] 3 + 5Z =: [3] 4 + 5Z =: [4] Dies sind gerade die Kongruenzklassen (Restklassen) modulo 5 (vgl. MfI 1, Kap. 7) Satz von Lagrange Es sei G eine endliche Gruppe und U G. Dann ist die Untergruppenordnung U ein Teiler der Gruppenordnung G, und für die Anzahl der Linksnebenklassen gilt G : U = G U. Beweis: Nach Satz sind alle Nebenklassen von G bezüglich U gleich mächtig und bilden eine Partition von G. Also gilt (G : U) U = G. Daraus folgen die Behauptungen des Satzes Korollar Ist die Ordnung einer Gruppe G eine Primzahl, so hat G nur die trivialen Untergruppen {1} und G. Ferner ist G zyklisch. 7

8 29.16 Beispiel Eine Gruppe mit 30 Elementen kann nur Untergruppen mit 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 oder 30 Elementen besitzen Definition (Normalteiler) Sei G Gruppe und U G. U heißt Normalteiler von G, geschrieben U G, falls für alle g G gilt gn = Ng Satz (Faktorgruppen) Sei G Gruppe, N G. Für gn, hn G/N setze (gn) (hn) := (gh)n. Dann ist (G/N, ) eine Gruppe, die sogenannte Faktorgruppe von G nach N. Beweis: Achtung: Ist wohldefiniert? 1) ist wohldefiniert, d.h. aus gn = g N und hn = h N folgt (gn) (hn) = (g N) (h N): (gn) (hn) = (gh)n = g(hn) = g(h N) = g(nh ) = (gn)h = (g N)h = g (Nh ) = g (h N) = (g h )N = (g N)(h N) a) Die Gruppenaxiome folgen aus folgender Überlegung: Für alle g, h G gilt (gn) (hn) := (gh)n = ghnn = gnhn = (gn) (hn). Wir können also mit rechnen wie mit Beispiel Die Untergruppe (5Z, +) (vgl ) ist Normalteiler in (Z, +), da (Z, +) eine kommutative Gruppe ist. Die Elemente von Z 5 := Z/5Z sind die Kongruenzklassen [0],..., [4]. 8

9 Auf Z 5 wird damit die Gruppenoperation durch eingeführt, das heißt durch (a + 5Z) + (b + 5Z) := (a + b) + 5Z [a] + [b] := [a + b]. Dies ist gerade die Addition von Kongruenzklassen modulo 5 (modulare Addition, vgl. MfI 1, Kap. 7) Definition: Abbildungen zwischen Gruppen Es seien (G 1, ), (G 2, ) Gruppen. a) Ein Homomorphismus von G 1 nach G 2 ist eine Abbildung f : G 1 G 2 mit f(a b) = f(a) f(b) a, b G 1. Verknüpfung Verknüpfung in G 1 in G 2 b) Ein injektiver Homomorphismus heißt Monomorphismus. (Eine Abbildung f : M N heißt injektiv, wenn für x 1, x 2 M, x 1 x 2 stets f(x 1 ) f(x 2 ) ist, vgl. MfI 1, 5.6.) c) Ein surjektiver Homomorphismus heißt Epimorphismus. (Eine Abbildung f : M N heißt surjektiv, wenn für jedes y N ein x M existiert mit f(x) = y, vgl. MfI 1, 5.6.) d) Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. Man schreibt dann G 1 = G2. e) Ein Homomorphismus von G 1 in sich selbst heißt Endomorphismus. f) Ein Isomorphismus von G 1 in sich selbst heißt Automorphismus. 9

10 29.21 Beispiele: a) f : Z 2Z; z 2z ist Isomorphismus. b) f : Z Z; z z ist Automorphismus. c) (Z, +) = (Q \ {0}, ), da es so etwas wie ( 1) ( 1) = 1 in Z nicht gibt Definition: Bild und Kern Es sei f : G 1 G 2 ein Homomorphismus der Gruppen G 1, G 2. Dann heißt Im(f) := {f(g 1 ) g 1 G 1 } das Bild von f. Sei ferner e 2 das neutrale Element von (G 2, ). Dann bezeichnet man Ker(f) := {g 1 G 1 f(g 1 ) = e 2 } als Kern von f. Warum ist der Kern eines Homomorphismus wichtig? Man kann zeigen: Satz: Homomorphiesatz für Gruppen Sei f : G 1 G 2 ein Homomorphismus der Gruppen G 1 und G 2. Dann ist Ker(f) Normalteiler von G 1, und die Faktorgruppe G 1 / Ker(f) ist isomorph zum Bild von f: G 1 / Ker(f) = Im(f). Bemerkung: Man kann also eine nicht bijektive Abbildung zwischen Gruppen bijektiv machen, indem man zum Faktorraum übergeht, also Elemente ignoriert, die auf das neutrale Element von G 2 abgebildet werden. 10

11 29.24 Bemerkung: 3 zentrale Prinzipien: Unterstrukturen Schnitt Erzeugnis Faktorstrukturen Homomorphiesatz 11