Probeklausur zur Mathematik II (Algebra) Fachrichtungen: IF, CV, CSE und WIF Mai 2008

Transkript

1 Fakultät für Mathematik Institute IAG und IMO Prof. Dr. H. Bräsel/Dr. M. Höding Probeklausur zur Mathematik II (Algebra) Fachrichtungen: IF, CV, CSE und WIF Mai 2008 Bitte in Druckschrift ausfüllen! Name Vorname Fachrichtung Matrikelnummer Punktebewertung Aufgabe 1(a) 1(b) 1(c) 1(d) 1(e) 1(f) 1(g) 2(a) 2(b) 2(c) 2(d) 2(e) Punkte erreichte Punkte Alle Aussagen sind sorgfältig zu begründen! und Zeit zur Bearbeitung: 90 min! 1

2 [ 1. Sei G 1 die von den reellen Matrizen A = 0 1 und B = [ 0 1 mit der Matrizenmultiplikation als Operation erzeugte Gruppe (M, ). Sie hat die Elemente M 1 = E, M 2 = A, M 3 = B, M 4 = A 2, M 5 = A 3, M 6 = AB, M 7 = BA, M 8 = BA 2. (a) Ergänzen Sie die Gruppentafel M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 1 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 2 M 6 M 8 M 3 M 7 M 3 M 3 M 7 M 1 M 8 M 6 M 5 M 2 M 4 M 4 M 8 M 7 M 6 M 3 M 5 M 7 M 3 M 8 M 6 M 6 M 6 M 3 M 2 M 7 M 8 M 1 M 4 M 5 M 7 M 7 M 8 M 5 M 6 M 3 M 4 M 1 M 2 M 8 M 8 M 6 M 4 M 3 M 7 M 2 M 5 M 1 (b) Weisen Sie die Gruppeneigenschaften nach. Warum gilt sofort das Assoziativgesetz? (c) Geben Sie eine Untergruppe G = (M, ) von G 1 mit 4 Elementen an (Begründung nicht vergessen!) und zeigen Sie, daß diese ein Normalteiler ist. (d) Überprüfen Sie die Gruppe und die Untergruppe auf Kommutativität. (e) Sind G 1 und G zyklisch? (f) Geben Sie ein minimales Erzeugendensystem für die Untergruppe G an. (g) Ist die Untergruppe G isomorph zur Gruppe G 2 = (Z 5 \ {[0 5 }, )? Lösung: [ [ (a) M 1 = = E, M = [ M 4 = A 2 = , M 5 = A 3 = = A, M 3 = [ 0 1 [ 0 1 Ausfüllen der [ Gruppentafel: [ [ 0 1 M 2 M 2 = = = M [ [ [ M 2 M 4 = = = M = B,

3 (b) [ [ [ 0 1 M 2 M 5 = = = M = E [ [ [ 0 1 M 4 M 2 = = = M [ [ [ M 4 M 4 = = = E 0 1 Alle anderen kann man sofort eintragen, da vorausgesetzt wird, daß eine Gruppe vorliegt: M 2 M 1 = M 2, M 4 M 1 = M 4, M 4 M 5 = M 2, M 5 M 1 = M 5, M 5 M 2 = M 1, M 5 M 4 = M 2, M 5 M 5 = M 4. M i, M j M : M i M j M, damit ist die Abgeschlossenheit erfüllt (Verknüpfungstabelle). Assoziativgesetz gilt sofort, da M abgeschlossen bzgl. Multiplikation und das Assoziativgesetz für allgemeine Matrizenmultiplikation gilt. M 1 = E ist neutral: M i M gilt: M 1 M i = M i M 1 = M i. Inverse Elemente sind aus der Gruppentafel zu entnehmen: Suche ein neutrales Element in der Tafel, dann sind die beiden Elemente, deren Multiplikation M 1 ergibt, invers zueinander: zu M 1 : M 1, zu M 2 : M 5, zu M 3 : M 3, zu M 4 : M 4, zu M 5 : M 2, zu M 6 : M 6, zu M 7 : M 7 und zu M 8 : M 8. (c) G = (M, ) mit M = {M 1, M 2, M 4, M 5 } M 1 M 2 M 4 M 5 M 1 M 1 M 2 M 4 M 5 M 2 M 2 M 4 M 5 M 1 M 4 M 4 M 5 M 1 M 2 M 5 M 5 M 1 M 2 M 4 Da die Menge M abgeschlossen bzgl. der Multiplikation, ist G Untergruppe. Wenn G Normalteiler sein soll, muss gelten: M i M = M M i i = 1,..., 8. Es ist klar, dass dies für i = 1, 2, 4, 5 erfüllt ist, da M Trägermenge der Untergruppe ist M 3 M = M M 3 {M 3, M 7, M 8, M 6 } = {M 3, M 6, M 8, M 7 } M 6 M = M M 6 {M 6, M 3, M 7, M 8 } = {M 6, M 8, M 7, M 3 } M 7 M = M M 7 {M 7 M 8, M 6, M 3 } = {M 7, M 3, M 6, M 8 } 3

4 M 8 M = M M 8 {M 8, M 6, M 3, M 7 } = {M 8, M 7, M 3, M 6 } Damit gilt: G ist Normalteiler. (d) G 1 ist nicht kommutativ, z. B. M 2 M 3 M 3 M 2. G ist kommutativ: M i, M j M : M i M j = M j M i. Gruppentafel wird an der Hauptdiagonalen gespiegelt und es entsteht wieder die gleiche Tafel. (e) Wenn die Gruppe zyklisch sein soll, muss ein Element der Ordnung 8 existieren. Nach den inversen Elementen kommen dafür nur M 2 oder M 5 in Frage: O(M 2 ) = 4 da M 2 M 2 M 2 M 2 = E O(M 5 ) = 4 da M 5 M 5 M 5 M 5 = E d. h. Gruppe ist nicht zyklisch. Da in G das Element M 2 ist und O(M 2 ) = 4 gilt, ist die Untergruppe zyklisch. (f) Da in G das Element M 2 ist und O(M 2 ) = 4, ist {M 2 } minimales Erzeugendensystem: M 2, M 2 2 = M 4, M 3 2 = M 5, M 4 2 = M 1 = E (f) G 2 = (z 5 \{0}, ) mit mit 0(1) = 1, 0(2) = 4, 0(3) = 4, 0(4) = 1 bijektive Abbildung ϕ : M 1 1 M 4 4 M 2 2 M 5 3 Dann entsteht aus der Gruppentafel von G aus (c): ϕ Umsortierung Diese ist gleich der Gruppentafel der G 2, also sind die Gruppen isomorph. 4

5 2. Betrachtet werden die Gruppen G 1 = (C \ {0}, } und G 2 = {R >0, }. (a) Man zeige, daß die Abbildung f : C \ {0} R >0 mit f(z) = z für alle z C \ {0} ein surjektiver Homomorphismus ist. (Hinweis: Die Verwendung der Eulersche Form der komplexen Zahlen erleichtert die Beweisführung.) (b) Welche Kongruenzrelation wird durch den surjektiven Homomorphismus in C \ {0} induziert? (c) Man bestimme den Kern der Abbildung und beschreibe allgemein die Kongruenzklassen. (d) Man beschreibe die entstehende Faktorgruppe und deute die Elemente der Trägermenge der Faktorgruppe G 1 /K und deren Verknüpfung geometrisch. (e) Der Homomorphiesatz sagt aus, daß die Faktorgruppe G 1 /K isomorph zu G 2 = {R >0, } ist. Welche bijektive Abbildung gehört zu dieser Isomorphie? (Begründung!) Lösung: (a) zu zeigen: f(z 1 z 2 ) = f(z 1 ) f(z 2 ). f(z 1 z 2 ) = f(r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) ) = r 1 r 2 = f(r 1 e iϕ 1 ) f(r 2 e iϕ 2 ) = f(z 1 ) f(z 2 ) Damit ist die Homomorphie gezeigt. Jedes x R >0 ist Bildelement, da x R >0 f(x e iϕ ) = x gilt, daraus folgt die Surjektivität von f. (b) z 1 Rz 2 f(z 1 ) = f(z 2 ) (c) Kern(f) = {z f(z) = 1 = z } = {e iϕ 0 ϕ 2π} [z = {re iϕ r = z 0 ϕ 2π} (d) G 1 K = (M, ): M = {[z z = r r R >0 } und [z 1 [z 2 = [z 1 z 2. Die Elemente der Trägermenge der Faktorgruppe sind Kreise in der Gaußschen Zahlenebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius r > 0, r R >0. Wird der Kreis mit Radius r 1 mit dem Kreis mit Radius r 2 komplex multipliziert, entsteht ein Kreis mit Radius r 1 r 2. (e) Die bijektive Abbildung ist durch [z r = z bestimmt, da jede positive reelle Zahl r als Urbilder (bezüglich f) alle komplexen Zahlen z mit z = r hat, die durch den natürlichen Homomorphismus in [z abgebildet werden. 5