1 Halbgruppen. 1.1 Definitionen. Übersicht Ein Beispiel einer Halbgruppe

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1 1 Halbgruppen Übersicht 11 Definitionen 5 12 Unterhalbgruppen 8 13 InvertierbareElemente 9 14 AllgemeinesAssoziativ-undKommutativgesetz PotenzenundVielfache Homomorphismen,Isomorphismen DirekteProdukte 15 Auch wenn das Thema des ersten Teils dieses Buches die Gruppen (G, ) sind, beschäftigen wir uns vorab mit Halbgruppen (H, ) Das hat Vorteile, die wir in der Ringtheorie nutzen können Ein weiterer Vorteil liegt darin, dass die Halbgruppen einen leichten Einstieg in die Gruppen liefern 11 Definitionen In diesem ersten Abschnitt führen wir einige Begriffe ein Vorab wenden wir uns einem Beispiel zu 111 Ein Beispiel einer Halbgruppe Es sei X eine nichtleere Menge Wir bezeichnen mit T X die Menge aller Abbildungen σ von X in sich: T X = {σ σ : X X} Wir erklären auf T X eine Verknüpfung, wir schreiben diese multiplikativ Für σ, τ T X setzen wir (σ τ)(x) :=σ(τ(x)) für alle x X C Karpfinger, K Meyberg, Algebra, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

2 6 1 Halbgruppen Nach dieser Definition ist diese Komposition (bzw Hintereinanderausführung bzw Produkt) σ τ der Abbildungen σ und τ wieder ein Element in T X Dieses Produkt ist bekanntlich assoziativ, d h, es gilt ρ (σ τ) =(ρ σ) τ für alle ρ, σ, τ T X, und hat ein neutrales Element Id X : x x, dh Id X σ = σ = σ Id X für alle σ T X Damit ist (T X, ) im Sinne der folgenden Definition eine Halbgruppe mit neutralem Element Id X Bemerkung Mit Id X wird stets die Identität (oder identische Abbildung) einer Menge X bezeichnet: Id X : X X, Id X (x) =x für alle x X Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, schreiben wir auch kürzer Id anstelle von Id X 112 Definition einer Halbgruppe Ist H eine Menge und eine assoziative Verknüpfung auf der Menge H, dh a (b c) =(a b) c für alle a, b, c H, so nennt man das Paar (H, ) eine Halbgruppe Man schreibt auch kurz H, wennklar ist, welche Verknüpfung vorliegt Bemerkung Man beachte, dass der Begriff Verknüpfung auf H insbesondere beinhaltet, dass für alle a, b H auch a b in H liegt Es folgen weitere wichtige Begriffe für Halbgruppen: Unter der Ordnung der Halbgruppe versteht man die Kardinalzahl H ; imfall H N ist das die Anzahl der Elemente in H Eine Halbgruppe H =(H, ) heißt abelsch oder kommutativ, falls a b = b a für alle a, b H Man nennt ein Element e H neutrales Element einer Halbgruppe (H, ), falls e a = a = a e für alle a H Eine Halbgruppe mit neutralem Element nennt man oft auch kürzer Monoid Bei multiplikativer Schreibweise nennt man ein neutrales Element auch oft Einselement (e =1), bei additiver Schreibweise auch Nullelement (e =0)

3 11 Definitionen 7 Lemma 11 Eine Halbgruppe (H, ) hat höchstens ein neutrales Element Beweis: Sind e und e zwei neutrale Elemente, so gilt e = e e (da e neutral ist) = e (da e neutral ist) 113 Verknüpfungstafel Eine Verknüpfung auf einer endlichen Menge H = {a 1,, a n } kann man zweckmäßigerweise in Form einer Verknüpfungstafel explizit angeben Den oberen und den linken Rand bilden die Elemente von H = {a 1,, a n }, im Schnittpunkt der i-ten Zeile und j-ten Spalte, 1 i, j n, steht dann das Element a i a j : a 1 a 2 a j a n a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a j a 1 a n a 2 a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a j a 2 a n a i a i a 1 a i a 2 a i a j a i a n a n a n a 1 a n a 2 a n a j a n a n (H, ) ist offenbar genau dann abelsch, wenn die Verknüpfungstafel symmetrisch ist 114 Beispiele von Halbgruppen Wir führen nun einige Beispiele von endlichen, unendlichen, abelschen, nichtabelschen Halbgruppen mit und ohne neutralem Element an Beispiel 11 Halbgruppen sind (H, +) und (H, ) für H := N bzw H := N 0 := N {0} bzw H := Z bzw H := Q bzw H := R bzw H := C mit den gewöhnlichen Additionen und Multiplikationen Hierbei besitzt nur (N, +) kein neutrales Element, in allen anderen Fällen sind 0 (im additiven Fall) und 1 (im multiplikativen Fall) neutrale Elemente

4 8 1 Halbgruppen Es sei X eine Menge Mit P(X) bezeichnen wir die Potenzmenge {A A X} von X Dannist(P(X), ) bzw (P(X), ) eine Halbgruppe mit neutralem Element bzw X Es gilt P(X) =2 X vgl auch Abschnitt A3 Für jeden Körper K und jede natürliche Zahl ist die Menge K n n aller n n- Matrizen über K mit der bekannten Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe Die n n-einheitsmatrix ist das neutrale Element Ist etwa K = Z 2 der Körper bestehend aus zwei Elementen 0 und 1, so gilt K n n =2 n2 Die Menge R bildet mit der (inneren) Verknüpfung a b := e a+b für alle a, b R, wobei e die Euler sche Zahl bezeichne, keine Halbgruppe Wegen (0 0) 1=e 0 1=e 2 e e =0 e=0 (0 1) ist die Verknüpfung nicht assoziativ Man beachte, dass die Halbgruppen in den ersten beiden Beispielen abelsch sind, die Halbgruppen des dritten Beispiels im Fall n>1 dagegen nicht Die Verknüpfung im 4 Beispiel ist zwar abelsch, aber dennoch liegt keine Halbgruppe vor Bemerkung Bei der multiplikativen Schreibweise von Halbgruppen, also im Fall H = (H, ), schreibenwirvonnunankürzerab anstelle a b 12 Unterhalbgruppen Eine Teilmenge U H einer Halbgruppe (H, ) heißt Unterhalbgruppe von H, wenn U mit der Verknüpfung von H eine Halbgruppe bildet, d h wenn die Restriktion U U eine assoziative Verknüpfung auf U ist Dies ist bereits dann erfüllt, wenn gilt: a, b U ab U (Abgeschlossenheit von U bzgl ) Das Assoziativgesetz gilt nämlich für alle Elemente aus H, insbesondere also für die Elemente aus U Jede Halbgruppe (H, ) hat die Unterhalbgruppen und H Es folgen weitere Beispiele: Beispiel 12 N, N 0, Z, Q sind Unterhalbgruppen von (R, +), (R, ), (C, +), (C, ) Für jede Teilmenge Y einer Menge X ist P(Y ) eine Unterhalbgruppe von (P(X), ) und (P(X), ) Jeder Durchschnitt von Unterhalbgruppen einer Halbgruppe H ist eine Unterhalbgruppe von H

5 13 Invertierbare Elemente 9 Jede Halbgruppe H mit neutralem Element besitzt eine besondere und wichtige nichtleere Unterhalbgruppe: die Menge H der invertierbaren Elemente 13 Invertierbare Elemente Ein Element a einer Halbgruppe H =(H, ) mit neutralem Element e heißt invertierbar oder eine Einheit, wenneseinb H gibt mit ab= e = ba Das Element b H ist hierdurch eindeutig bestimmt Ist nämlich b H ein weiteres Element mit dieser Eigenschaft, d h, gilt auch ab = e = b a, so erhält man b = be= b (ab )=(ba) b = eb = b Daher ist es sinnvoll, b das Inverse von a zu nennen und dieses Inverse mit a 1 zu bezeichnen Das Inverse a 1 eines Elements a H ist also durch die Gleichungen aa 1 = e = a 1 a eindeutig bestimmt Bei additiver Schreibweise spricht man auch vom Negativen a von a (hier gilt ( a)+a =0=a +( a)) Vorsicht Aus der Tatsache, dass es zu einem Element a einer Halbgruppe mit neutralem Element e ein rechtsinverses Element, also ein b H mit ab = e gibt, folgt nicht, dass b ein zu a inverses Element ist, also auch linksinvers ist Man beachte das folgende Beispiel Beispiel 13 Es sei T X die Halbgruppe aller Abbildungen einer nichtleeren Menge X in sich Zu jeder surjektiven Abbildung f gibt es bekanntlich eine Abbildung g mit fg =Id(f hat das rechtsinverse Element g) Jedoch kann gf = Id nicht gelten, falls f nicht injektiv ist So gilt etwa im Fall X = N für die Abbildungen N N f : k 2, falls k gerade k 1, falls k ungerade N N und g : k 2 k offenbar fg=idund gf Id Man beachte: f ist surjektiv und nicht injektiv, g ist injektiv und nicht surjektiv

6 10 1 Halbgruppen 131 Eigenschaften der Menge der invertierbaren Elemente Ist H eine Halbgruppe mit neutralem Element, so bezeichnen wir die Menge der invertierbaren Elemente von H mit H : H := {a H a ist invertierbar } Wir geben die wichtigsten Eigenschaften von H an: Lemma 12 Für jede Halbgruppe (H, ) mit neutralem Element e gilt: (a) e H,unde 1 = e (b) a H a 1 H,und(a 1 ) 1 = a (c) a, b H ab H,und(ab) 1 = b 1 a 1 Beweis: (a) folgt aus ee= e (b) Wegen aa 1 = e = a 1 a ist a das Inverse von a 1 (c) Wegen (b 1 a 1 )(ab)=[(b 1 a 1 ) a] b =[(b 1 (a 1 a)] b =(b 1 e) b = b 1 b = e und (ab)(b 1 a 1 )=e (begründet man analog) ist b 1 a 1 das Inverse von ab Insbesondere ist für jede Halbgruppe H mit neutralem Element die Menge H eine nichtleere Unterhalbgruppe von H Beispiel 14 Für die multiplikative Halbgruppe (Z, ) gilt Z = {1, 1}, für die additive Halbgruppe (Z, +) hingegen Z = Z Für jeden Körper K gilt bezüglich der Multiplikation K = K \{0} Die Menge T X aller Abbildungen einer nichtleeren Menge in sich ist eine Halbgruppe; es gilt T X = S X wobeis X die Menge aller Permutationen, d h aller bijektiven Abbildungen von X in sich, bezeichnet Für einen Körper K und ein n N bezeichne K n n die Menge aller n n-matrizen über K (aus der linearen Algebra ist bekannt, dass diese Menge mit der Addition und Multiplikation von Matrizen einen Ring bildet) Die Menge der bezüglich der Matrizenmultiplikation invertierbaren n n-matrizen (K n n ) wird auch mit GL(n, K) bezeichnet und allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über K genannt Die Halbgruppe (2 Z, ) hat kein neutrales Element, es macht also keinen Sinn, nach invertierbaren Elementen zu suchen

7 14 Allgemeines Assoziativ- und Kommutativgesetz Allgemeines Assoziativ- und Kommutativgesetz Das Assoziativgesetz (also die Unabhängigkeit eines Produkts dreier Elemente von der Klammerung) überträgt sich auf endlich viele Faktoren: Lemma 13 (Allgemeines Assoziativgesetz) Die Produkte von n 3 Elementen a 1,, a n einer Halbgruppe hängen nicht von der Wahl der Klammerung ab Den Beweis haben wir als Übungsaufgabe gestellt Es gilt also z B für a, b, c, d H: ((ab) c) d =(ab)(cd)=(a (bc)) d = a ((bc) d) =a (b (cd)) ; und man schreibt abcd für dieses Element Bei der Bildung von Produkten in Halbgruppen sind also Klammern überflüssig Bei multiplikativer bzw additiver Schreibweise führen wir noch die folgenden Abkürzungen für Elemente a 1,, a n einer Halbgruppe H ein: n a i := a 1 a n i=1 bzw n a i := a a n i=1 Man nennt zwei Elemente a, b einer Halbgruppe (H, ) vertauschbar, wennab= ba Lemma 14 (Allgemeines Kommutativgesetz) Sind die Elemente a 1,, a n einer Halbgruppe (H, ) paarweise vertauschbar, so gilt für jede Permutation τ S n := S {1,, n} a 1 a 2 a n = a τ(1) a τ(2) a τ(n) Die Begründung dieser Aussage haben wir als Übungsaufgabe formuliert 15 Potenzen und Vielfache Es sei (H, ) bzw (H, +) eine Halbgruppe Für a H und n N definiert man die Potenz a n bzw das Vielfache n a durch a n := aa a }{{} n Faktoren bzw n a := a + a + + a }{{} n Summanden Wenn H ein neutrales Element e bzw 0 besitzt, setzen wir außerdem a 0 := e bzw 0 a := 0 Vorsicht In 0 a =0tauchen zwei im Allgemeinen verschiedene Nullen auf Die erste Null ist aus N 0,diezweiteausH

8 12 1 Halbgruppen Im Fall a H erklärt man für n N a n := (a 1 ) n bzw ( n) a := n ( a) Mit den Lemmata 13 und 14 erhält man unmittelbar: Lemma 15 (Potenzregeln bzw Vielfachenregeln) Es sei (H, ) bzw (H, +) eine Halbgruppe (a) Für a H und r, s N gelten a r a s = a r+s und (a r ) s = a rs bzw r a+s a =(r+s) a und r (s a) =(rs) a (b) Sind a, b H vertauschbar, so gilt für jedes r N: a r b r =(ab) r bzw r a + r b = r (a + b) (c) Wenn H ein neutrales Element besitzt, gelten die Regeln in (a) und (b) für alle r, s N 0 und im Fall a, b H für alle r, s Z Vorsicht In (b) kann man auf die Vertauschbarkeit nicht verzichten: Im Allgemeinen gilt nämlich (ab) 2 a 2 b 2 Man beachte das folgende Beispiel Beispiel 15 In der multiplikativen Halbgruppe der reellen 2 2-Matrizen gilt mit den Matrizen ( ) ( ) ( ) ( ) a = und b = : (ab) = = a 2 b Homomorphismen, Isomorphismen Es folgen Begriffe, die aus der linearen Algebra für Vektorräume bekannt sind 161 Definitionen und Beispiele Es seien (G, ) und (H, ) Halbgruppen Eine Abbildung τ : G H wird ein Homomorphismus von (G, ) in (H, ) genannt, wenn gilt: τ(x y) =τ(x) τ(y) für alle x, y G Injektive bzw surjektive bzw bijektive Homomorphismen heißen Monomorphismen bzw Epimorphismen bzw Isomorphismen Homomorphismen bzw Isomorphismen von (G, ) in (G, ) heißen auch Endomorphismen bzw Automorphismen von (G, ) Monomorphismen nennt man gelegentlich auch Einbettungen In der folgenden Tabelle kürzen wir Definitionsbereich mit Db und Bildbereich mit Bb ab, weiter sind von der multiplikativen Halbgruppe R >0 := {x R x>0} abgesehen alle weiteren Beispiele von Halbgruppen additiv mit den üblichen Additionen

9 16 Homomorphismen, Isomorphismen 13 injektiv surjektiv Db = Bb { Beispiel Monomorphismus ja n notw n notw { R R 2 x ( x 0 ) Epimorphismus n notw ja n notw { R 2 R ( x y ) x Isomorphismus ja ja n notw R R >0 { x e x Endomorphismus n notw n notw ja ( x y ) ( ) x y 0 { R 2 R 2 Automorphismus ja ja ja R 2 R 2 ( x y ) ( x y ) Wenn ein Isomorphismus von G auf H existiert, nennt man G und H isomorph und schreibt G = H Man sagt dann, G und H haben dieselbe Struktur oder sind vom gleichen Isomorphietyp Der Isomorphismus ϕ benennt die Elemente um: ϕ : a ϕ(a) Zwei isomorphe Halbgruppen sind also von der Bezeichnung der Elemente abgesehen gleich Isomorphie ist also fast dasselbe wie Gleichheit ob nun die Elemente a, b, c, oder α, β, γ heißen, soll uns im Allgemeinen nicht weiter kümmern Beispiel 16 Es seien G =(G, ) und H =(H, ) Halbgruppen Wenn H ein neutrales Element e hat, ist die Abbildung G H 1 : x e ein Homomorphismus Wenn H abelsch ist, ist die Abbildung H H p : x x r für jedes r N ein Endomorphismus (vgl Lemma 15 (b)) Es ist Id H ein Automorphismus von H Wenn H ein neutrales Element e hat, ist die Abbildung H H ι a : x axa 1 für jedes a H ein Automorphismus von H Ist nämlich a H, so gilt für alle x, y H: ι a (xy)=axya 1 =(axa 1 )(aya 1 )=ι a (x) ι a (y)

10 14 1 Halbgruppen Somit ist ι a ein Homomorphismus Wegen ι a ι a 1 =Id H = ι a 1 ι a ist ι a bijektiv Man nennt ι a den von a erzeugten inneren Automorphismus von H Ist H kommutativ oder a = e, so gilt ι a =Id H 162 Produkte und Inverse von (bijektiven) Homomorphismen Ist σ : G H eine bijektive Abbildung, so existiert bekanntlich eine (ebenfalls bijektive) Umkehrabbildung σ 1 : H G, dhσ 1 σ =Id G und σσ 1 =Id H Wir zeigen nun: Sind G und H Halbgruppen und σ ein bijektiver Homomorphismus, d h ein Isomorphismus, so ist die Umkehrabbildung auch ein Homomorphismus, also ebenfalls ein Isomorphismus Lemma 16 Es seien G, H und K Halbgruppen (a) Sind σ : G H und τ : H K Homomorphismen, so ist auch τσ: G K ein Homomorphismus (b) Ist σ : G H ein Isomorphismus, so ist auch σ 1 : H G ein Isomorphismus Beweis: (a) Es seien a, b G Dann gilt wegen der Homomorphie von σ und τ: τσ(ab)=τ(σ(a) σ(b)) = τσ(a) τσ(b) Somit ist τσein Homomorphismus (b) Zu a,b H existieren wegen der Bijektivität von σ Elemente a, b G mit σ(a) =a und σ(b) =b Es folgt σ 1 (a b )=σ 1 (σ(a) σ(b)) = σ 1 (σ(ab)) = ab= σ 1 (a ) σ 1 (b ) Folglich ist die bijektive Abbildung σ 1 ein Homomorphismus und damit ein Isomorphismus 1 Folgerung: Sind G, H und K Halbgruppen, so gelten G = G ; G = H H = G ; G = H, H = K G = K D h, die Relation = ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller Halbgruppen 2 Folgerung: Die Menge Aut H aller Automorphismen der Halbgruppe H ist eine Unterhalbgruppe der Halbgruppe S H aller Permutationen von H