Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie

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1 FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Studiengang: Besuchte Übungsgruppe (bitte ankreuzen): Herr Habeck (Di., 14-16) Herr Habeck (Di., 16-18) Herr Körber (Do., 10-12) Frau Reifenhäuser (Di., 12-14) Herr Kloft (Do., 08-10) Frau Reifenhäuser (Mi., 18-20) keine Übungsgruppe Aufgabe Punkte Erz. Punkte Erreichte Punktzahl: Die Modulprüfung ist bestanden von max. 50 Punkten ja / nein Note: Technische Hinweise: 1. Taschenrechner und elektronische Geräte aller Art sind nicht zugelassen! 2. Handys bitte ausschalten. 3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt am Ende der Arbeit oder die Rückseiten. 4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt erforderlich. 5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der Arbeit getrennt werden. 6. Nicht mit Bleistift schreiben!

2 Aufgabe 1: a) Berechnen Sie ϕ(63) und ϕ(5 + ϕ(16)). ϕ(63) = ϕ(5 + ϕ(16)) = Nebenrechnungen: b) Bestimmen Sie alle m N, m > 1, für die [5] m [6] m [9] m = [13] m erfüllt ist und für die (gleichzeitig) [3] m und [7] m invers bzgl. der Multiplikation sind. Lösung: Nebenrechnung: c) Beweisen Sie oder widerlegen Sie: (p + 2)(p 2 + 3) ist für alle Primzahlen p durch 4 teilbar. 2

3 Aufgabe 2: a) Bestimmen Sie ein x Z mit 0 x 26 und 14x Lösung: x = Nebenrechnung: b) Bestimmen Sie die letzten beiden Ziffern von Lösung: Die letzten beiden Ziffern von sind Nebenrechnung: 3

4 Aufgabe 3: Für alle x, y Z sei x y := 2y 3 + 2x y. a) Beweisen oder widerlegen Sie: (1) (Z, ) besitzt mindestens ein linksneutrales Element. (2) (Z, ) besitzt mindestens ein rechtsneutrales Element. b) Geben Sie (ohne Beweis!) eine Verknüpfung an, so dass das Verknüpfungsgebilde (Z, ) genau die drei rechtsneutralen Elemente e r1 = 1, e r2 = 2 und e r3 = 3 besitzt. 4

5 c) Bertrachten Sie das von k Z abhängige Verknüpfungsgebilde (Z, ) mit der Verknüpfung x y = (2k + 5)x y für alle x, y Z. Bestimmen Sie k so, dass (Z, ) kommutativ ist. Lösung: Für k = ist (Z, ) kommutativ. Begründung: d) Seien (Z, ) und (Z, ) algebraische Strukturen mit a b = a b und a b = a + 2b für alle a, b Z. Beweisen oder widerlegen Sie: ist distributiv bezüglich. 5

6 Aufgabe 4: a) Sei (M, +, ) der Ring der reellen 2 2-Matrizen. Beweisen oder widerlegen Sie: (1) In (M, +, ) existiert ein rechtsneutrales Element. (2) (M, +, ) ist nullteilerfrei. b) Sei f : (G, ) (H, ) eine verknüpfungstreue Abbildung zwischen den Gruppen (G, ) und (H, ), wobei e G bzw. e H das neutrale Element von G bzw. H bezeichnet. Beweisen Sie: f(e G ) = e H. Beweis: c) Sei (G, ) eine Gruppe mit vier Elementen a, b, c, d. Zudem gilt c a = d, d = c 1. Geben Sie das neutrale Element der Gruppe an und bestimmen Sie die Verknüpfungstafel von (G, ). Das neutrale Element der Gruppe ist Verknüpfungstafel: a b c d a b c d 6

7 Aufgabe 5: a) Sei σ x die Spiegelung an der x-achse und σ y die Spiegelung an der y-achse. Geben Sie die reelle 2 2-Matrix M an, die die Abbildung σ y σ x darstellt. Begründen Sie Ihre Aussage. Matrix: M = Begründung: b) Sei f : C C gegeben durch f(z) = z 5i i. (1) Berechnen Sie alle Fixpunkte der Abbildung f. Lösung: Nebenrechnung: 7

8 (2) Begründen Sie, dass die Abbildung f eine Kongruenzabbildung ist und ermitteln Sie, ob f orientierungserhaltend oder orientierungsumkehrend ist. Bestimmen Sie weiterhin, um welchen Typ Kongruenzabbildung es sich handelt und charakterisieren Sie diesen, z.b. durch Angabe von Drehzentrum und Drehwinkel bei einer Drehung. 8

9 Aufgabe 6: Beweisen oder widerlegen Sie: a) Das regelmäßige 35-Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. (Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Gauß.) b) Es gibt ein Achteck, dessen Symmetriegruppe D + 4 ist. c) Es gibt ein Neuneck, dessen Symmetriegruppe D + 6 ist. 9

10 Notizen und Nebenrechnungen Dieses Blatt wird nicht korrigiert. 10

11 Notizen und Nebenrechnungen Dieses Blatt wird nicht korrigiert. 11