Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 11

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1 Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 11 Für die Abgabe der Bearbeitungen stehen den Übungsgruppen zu Mathematik für Informatiker I Briefkästen im Raum E06 der Otto-Hahn-Straÿe 20 zur Verfügung. Die den einzelnen Übungsgruppen zugeteilten Briefkästen sind durch die Gruppennummer gekennzeichnet. Sie sind ferner mit dem Namen der Veranstaltung sowie Zeit Ort der Übung kenntlich gemacht. Bitte werfen Sie Ihre Bearbeitungen in den Ihrer Übungsgruppe zugeteilten Briefkasten bis zur unten aufgeführten Abgabefrist ein! Schreiben Sie unbedingt immer Ihren vollständigen Namen, Ihre Matrikelnummer Ihre Gruppennummer auf Ihre Abgaben! Abgabefrist: , 14:00 Uhr Aufgabe 11.1 Körper (4 Punkte) Es sei K,, ein Körper M eine nichtleere Menge. K M sei die Menge aller Abbildungen von M nach K. Auf der Menge K M denieren wir eine Addition + eine Multiplikation durch die folgende Festlegung: f, g K M, m M : (f + g) (m) = f (m) g (m) Zeigen Sie: 1. K M, +, ist ein Ring. K M, + ist eine kommutative Gruppe: (f g) (m) = f (m) g (m). a) Assoziativität Kommutativität übertragen sich von K direkt auf K M : Für alle f, g, h K M gilt (f + (g + h)) (x) = f (x) (g + h) (x) = f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x) = (f + g) (x) h (x) = ((f + g) + h) (x)

2 (f + g) (x) = f (x) g (x) = g (x) f (x) = (g + f) (x). b) Die konstante Nullfunktion ist das neutrale Element: (f + 0) (x) = f (x) 0 (x) = f (x) 0 = f (x) (0 + f) (x) = 0 (x) f (x) = 0 f (x) = f (x). c) Die Funktion ( f), deniert durch ( f) (x) = f (x), ist invers zu f : (f + ( f)) (x) = f (x) ( f (x)) = 0 = 0 (x) (( f) + f) (x) = ( f (x)) f (x) = 0 = 0 (x). K M, ist eine Halbgruppe, da das Assoziativgesetz gilt: (f (g h)) (x) = f (x) (g h) (x) = f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x) = (f g) (x) h (x) = ((f g) h) (x). Es fehlen noch die beiden Distributivgesetze. Wir zeigen hier nur das erste. (f (g + h))(x) = f(x) (g(x) h(x)) = (f(x) g(x)) (f(x) h(x)) = (f g)(x) (f h)(x) = ((f g) + (f h))(x) 2. K M, +, ist genau dann ein Körper, wenn M einelementig ist. Wir zeigen die beiden Implikationen.

3 K M, +, Körper M ist einelementig: Sei also K M, +, ein Körper. Angenommen M hat mindestens 2 Elemente. Sei m 1 M fest gewählt. Betrachte die Abbildung f : M K mit f (m 1 ) = 1 f (m) = 0 für alle m M mit m m 1. Da nach Annahme K M, +, ein Körper ist, existiert zu f eine multiplikative Inverse g. Für alle Elemente von M, insbesondere auch für m m 1, gilt dann 1 = (f g) (m) = f (m) g (m) = 0 g (m) = 0, was in einem Körper unmöglich ist. Also muss M einelementig sein. M ist einelementig K M, +, Körper: Sei M = {m}. Wir zeigen noch, dass K M \ {0}, eine kommutative Gruppe ist. Die Kommutativität ergibt sich genauso wie die Kommutativität bzgl +. Die Abbildung 1 mit 1 (m) = 1 ist oensichtlich das neutrale Element: Für f K M gilt Existenz der Inversen: (1 f) (m) = 1 (m) f (m) = f (m) = f (m) 1 (m) = (f 1) (m). Sei f K M mit f (m) / {0, 1}. Da K ein Körper ist, existiert zu f (m) ein a K mit a f (m) = 1. Sei die Abbildung g : M K deniert durch g (m) = a. Dann gilt (g f) (m) = g (m) f (m) = a f (m) = 1 = 1 (m), so dass g die Inverse von f ist. Aufgabe 11.2 Körper Gegeben sei die folgende Menge A von reellen 2 2-Matrizen: {( ) } a b A = a, b R. (3 Punkte) Zeigen Sie: A, +, ist ein Körper (+ bezeichnet die Addition die Multiplikation von 2 2-Matrizen) Hinweis: Verwenden Sie auch, dass nach Satz des Foliensatzes zur Linearen Algebra (Datei lineare_algebra.pdf) die n n-matrizen zusammen mit + einen Ring bilden. Wir zeigen zunächst, dass A ein Unterring des Ringes der n n-matrizen ist. A ist abgeschlossen unter + : ( ) ( ) a b c d Es seien zwei beliebige Matrizen aus A. Es gilt dann c c ( ) ( ) ( ) a b c d a + c b + d + = A d c (b + d) a + c ( ) a b ( ) ( c d ac bd bc + ad = d c (bc + ad) ac bd ) A Existenz der Null: oensichtlich ist die Nullmatrix ein Element von A.

4 Existenz der additiven Inversen: ( ) ( ) a b a b Sei eine beliebige Matrix in A. Dann gilt für ( b) a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b = + =, ( b) a ( b) a 0 0 ( ) ( ) ( ) a b a b a b so dass das additive Inverse von ist. ist aber ein ( b) a ( b) a Element von A. Da A nun als Unterring nachgewiesen ist, sind für A \ {0}, noch ( Kommutativität, ) Existenz der Existenz der Inversen zu zeigen. Oensichtlich ist die Matrix Einselement bzgl. 0 1 auch Element von A. ( ) ( ) a b c d Kommutativität: Seien zwei beliebige Matrizen in A \ {0}. Es gilt d c ( ) ( ) ( ) a b c d ac bd bc + ad = d c bc ad ac bd ( ) ( ) ( ) c d a b ac bd bc + ad = d c bc ad ac bd auf Gr der Kommutativität von R, so dass Kommutativität für die Matrizenmultiplikation in A \ {0} gilt. ( ) a b Existenz der Inversen: Sei eine beliebige Matrix in A \ {0}. Für die Matrix ) ( a b a 2 +b 2 a 2 +b 2 b a a 2 +b 2 a 2 +b 2 A gilt ( a a 2 +b 2 b b a 2 +b 2 a 2 +b 2 a a 2 +b 2 ) ( ) a b = ( ) Aufgabe 11.3 K-Vektorraum (3 Punkte) Im Folgenden sind Körper K Mengen M zusammen mit Abbildungen : M M M : K M M angegeben. Prüfen Sie, ob M mit den Abbildungen ein K-Vektorraum ist. sind hierbei folgendermaÿen deniert: (f g) (x) = f (x) + g (x) (c f) (x) = c f (x). 1. a) K = R M = {f : R R a, b R. x. f (x) = a 2 x + b (x 1)} Nach Folie 305 (Foliendatei lineare_algebra.pdf) bildet die Menge der Abbildungen von R nach R zusammen mit den Operationen einen Vektorraum. Wir zeigen, dass M zusammen mit einen Teilraum dieses Vektorraums darstellt.

5 M ist oensichtlich erfüllt. Seien f, g M. Es gibt dann a, b, c, d R mit x : f (x) = a 2 x + b (x 1) Damit ist g (x) = c 2 x + d (x 1). also f g M. (f g) (x) = f (x) + g (x) = (a + c) 2 x + (b + d) (x 1), Seien s R f M. Es gibt dann a, b R mit x. f (x) = a 2 x + b (x 1). Es ist (s f) (x) = s f (x) = (s a) 2 x + (s b) (x 1), also ist s f M. Damit ist die Teilraumeigenschaft nachgewiesen. b) K = R M = {f : R R x. f ( x) = f (x)} M ist oensichtlich erfüllt. Seien f, g M. Es gilt dann f ( x) = f (x) g ( x) = g (x) für alle x R. Damit folgt also f g M. (f g) ( x) = f ( x) + g ( x) = f (x) g (x) = (f g) (x), Seien s R f M. Es gilt dann f ( x) = f (x) für alle x R. Es folgt also ist s f M. (s f) ( x) = s f ( x) = s f (x) = (s f) (x), Damit ist die Teilraumeigenschaft nachgewiesen. 2. K = Z 2 M = P(X), wobei X eine beliebige nichtleere Menge ist. : P(X) P(X) P(X) sei deniert durch: : Z 2 P(X) P(X) ist festgelegt durch A B = (A \ B) (B \ A). 0 A = 1 A = A. Wir zeigen, dass M = P (X) mit den angegebenen Operationen ein Vektorraum ist. Nach Beispiel 8.35 (Foliensatz algebraische_strukturen.pdf) ist P (X),, für eine beliebige Menge X ein Ring. Da mit unserer Abbildung übereinstimmt,gilt also, dass P (X), eine kommutative Gruppe ist.

6 Von den weiteren Vektorraumeigenschaften ist nur (s + s ) A = (s A) (s A) nicht oensichtlich. Interessant ist auch nur der Fall s = s = 1. Es gilt (1 + 1) A = 0 A = = (A \ A) (A \ A) = A A = (1 A) (1 A), so dass auch für diesen Fall die Eigenschaft (s + s ) A = (s A) (s A) gilt. Aufgabe 11.4 Teilräume (Präsenzaufgabe) Beweisen oder widerlegen Sie: 1. { (x, y, z) R 3 x + 2y + 3z = 0 } ist Teilraum des Vektorraums R 3. Dies ist ein Teilraum. Sei M = { (x, y, z) R 3 x + 2y + 3z = 0 }. Es gilt M, da (0, 0, 0) M. Betrachte zwei beliebige Elemente (a, b, c), (x, y, z) von M. Wir zeigen (a, b, c)+(x, y, z) M. Es gilt 0 = a + 2b + 3c + x + 2y + 3z = (a + x) + 2 (b + y) + 3 (c + z), also ist (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z) M. Sei s R (x, y, z) M. Es gilt 0 = s 0 = s (x + 2y + 3z) = (s x)+2 (s y)+3 (s z), also s (x, y, z) = (s x, s y, s z) M. Hiermit sind die Teilraumeigenschaften nachgewiesen. 2. { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5 x 2 = 0 x 5 = 0 } ist Teilraum des Vektorraums R 5. Diese Aussage ist falsch. Z.B. sind (0, 1, 0, 0, 0) (1, 0, 1, 1, 1) in dieser Menge, aber nicht (0, 1, 0, 0, 0) + (1, 0, 1, 1, 1) = (1, 1, 1, 1, 1). 3. { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) (Z 2 ) 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) enthält eine gerade Zahl von 1 } ist Teilraum des Vektorraums (Z 2 ) 5. Die Aussage ist richtig. Es sei M = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) (Z 2 ) 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) enthält eine gerade Zahl von 1 }. Wir weisen die Teilraumeigenschaften nach. M, da (0, 0, 0, 0, 0) M.

7 Sei s Z 2 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) M. Es gilt dann s (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0, 0, 0, 0, 0) oder s (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ). In jedem Fall ist das Resultat ein Element von M. Seien (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ), (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5 ) M. Sei (z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 ) = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 )+ (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5 ). Es gilt dann: z i = 1 genau dann, wenn x i = 1 y i = 0 oder x i = 0 y i = 1 ist. Sei weiter k = {i {1,..., 5} x i = y 1 = 1} m = {i {1,..., 5} x i = 1} n = {i {1,..., 5} y 1 = 1} Dann gilt m k = {i {1,..., 5} x i = 1 y i = 0} n k = {i {1,..., 5} y i = 1 x i = 0} damit (m k) + (n k) = {i {1,..., 5} z i = 1}. Da m n gerade sind, ist aber auch (m k) + (n k) = m k gerade. (z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 ) ist daher ein Element von M. Hiermit sind die Teilraumeigenschaften nachgewiesen. 4. { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) (Z 2 ) 5 (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) enthält eine ungerade Zahl von 1 } ist Teilraum des Vektorraums (Z 2 ) 5. Die Aussage ist falsch. Z.B. ist der Nullvektor (0, 0, 0, 0, 0) kein Element dieser Menge. 7