Lineare Algebra und analytische Geometrie I

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1 Sei G eine Gruppe. Zeige, dass ( 1 ) 1 = Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Arbeitsblatt 3 Die Pausenaufgabe Aufgabe 3.1. Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes. Übungsaufgaben Aufgabe 3.2. Betrachte die ganzen Zahlen Z mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung Z Z Z, (a,b) a b. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element? Aufgabe 3.3. Man untersuche die Verknüpfung R 0 R 0 R 0, (,y) min(,y), auf Assoziativität, Kommutativität, die Eistenz von einem neutralen Element und die Eistenz von inversen Elementen. Aufgabe 3.4. Es sei S eine Menge und G = {F : S S F bijektiv}. Zeige, dass G mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Aufgabe 3.5.* für alle G ist. Aufgabe 3.6. Sei G eine Gruppe und,y G. Drücke das Inverse von y durch die Inversen von und y aus. 1

2 2 Aufgabe 3.7. Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen. Aufgabe 3.8. SeiReinRingundseien, und ElementeinR.Berechne das Produkt ( )(2 3 2 )(1 3 2 ). Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist? Aufgabe 3.9. Es sei R ein kommutativer Ring und f,a i,b j R. Zeige die folgenden Gleichungen: und a i f i + i=0 a i f i i=0 m b j f j = j=0 m b j f j = j=0 n+m ma(n,m) c k f k mit c k = (a k +b k )f k a r b k r. r=0 Aufgabe 3.10.* Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel ( ) n (a+b) n = a k b n k k für n N und beliebige Elemente a,b K in einem Körper K. Aufgabe Sei R ein Ring und M eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge A = {f : M R f Abbildung} eine Ringstruktur. Aufgabe Es seien,y,z,w Elemente in einem Körper, wobei z und w nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln. (1) (2) (3) 1 =, 1 1 = 1, 0 z = 0,

3 (4) (5) (6) (7) z z = 1, z = w zw, z y w = y zw, z + y w = w +yz zw Gilt die zu (7) analoge Formel, die entsteht, wenn man Addition mit Multiplikation (und Subtraktion mit Division) vertauscht, also ( z) (y w) = (+w) (y +z) (z +w)? Zeige, dass die beliebte Formel z + y w = +y z +w nicht gilt.. 3 Aufgabe Zeige, dass in einem Körper das umgekehrte Distributivgesetz, also a+(bc) = (a+b) (a+c), nicht gilt. Aufgabe Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge {G,U} eine Addition und eine Multiplikation, die diese Regeln repräsentieren. Aufgabe Zeige, dass die einelementige Menge {0} alle Körperaiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass 0 = 1 ist. Aufgabe Es sei K ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl n N ein Körperelement n K zuordnen kann, so dass 0 K das Nullelement in K und 1 K das Einselement in K ist und so dass (n+1) K = n K +1 K gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften besitzt. (n+m) K = n K +m K und (nm) K = n K m K

4 4 Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen Z und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten. Aufgabe Skizziere den Graphen der reellen Addition +: R R R, (,y) +y, und den Graphen der reellen Multiplikation : R R R, (,y) y. Aufgabe Es sei K ein Körper mit 2 0. Zeige, dass für f,g K die Beziehung fg = 1 ( (f +g) 2 (f g) 2) 4 gilt. Aufgaben zum Abgeben Aufgabe (3 Punkte) SeiM einemenge.zeige,dassdiepotenzmengep(m)mitdemdurchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz A B = (A\B) (B \A) als Addition ein kommutativer Ring ist. Aufgabe (2 Punkte) Zeige für einen Körper K die folgenden Eigenschaften. (1) Für jedes a K ist die Abbildung α a : K K, +a, bijektiv. (2) Für jedes b K, b 0, ist die Abbildung µ b : K K, b, bijektiv.

5 Aufgabe (3 Punkte) Zeige, dass die Rechenregel a b + c d = a+c b+d bei a,c N + (und b,d,b+d Z\{0}) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit a,b,c,d,b+d 0, wo diese Regel gilt. Aufgabe (6 Punkte) Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper. Aufgabe (4 Punkte) Wir betrachten die Menge K = Q Q = {(a,b) a,b Q} mit den beiden ausgezeichneten Elementen 0 = (0,0) und 1 = (1,0), der Addition (a,b)+(c,d) := (a+c,b+d) und der Multiplikation (a,b) (c,d) := (ac bd,ad+bc). Zeige, dass K mit diesen Operationen ein Körper ist. 5