Definition: Halbgruppe. Definition: Gruppoid. Definition: Gruppe. Definition: Monoid. Definition: Gruppenhomomorphismus. Definition: abelsche Gruppe

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1 1 Gruppoid 2 Halbgruppe 3 Monoid 4 Gruppe 5 abelsche Gruppe 6 Gruppenhomomorphismus 7 Kern(ϕ) 8 Bild(ϕ) 9 Untergruppe 10 Untergruppenkriterium

2 Es sei (G, ) ein Gruppoid. Ist die Verknüpfung zusätzlich noch assoziativ, d.h. x, y, z G : x (y z) = (x y) z so nennt man (G, ) eine Halbgruppe Sei = G eine Menge ( Trägermenge ) und eine binäre Verknüpfung. Existiert eine Abbildung der Form (Existenzaxiom) G G G so nennt man die Menge zusammen mit der Verknüpfung (G, ) ein Gruppoid (G, ) hei8t Gruppe,wenn x, y, z G : (x y) z = x (y z) 2. e G : x G : x e = e x = x 3. x G y G : x y = y x = e Sei (G, ) eine Halbgruppe. Existiert zu jedem Halbgruppenelement ein neutrales Element, d.h e G x G : x e = e x = x so nennt man (G, ) ein Monoid. Eine Gruppe ist also ein Monoid, indem jedes Monoidelement ein inverses Element besitzt. Seien (G, ), (H, ) Gruppen, dann ist ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus, wenn gilt g, h G : ϕ(g h) = ϕ(g) ϕ(h) (G, ) hei8t abelsche Gruppe,wenn x, y, z G : (x y) z = x (y z) 2. e G : x G : x e = e x = x 3. x G y G : x y = y x = e 4. x, y G : x y = y x. Eine abelsche Gruppe ist also eine kommutative Gruppe. Sei (G, ), (H, ), ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus, dann ist Kern(ϕ) Bild(ϕ) := {g G ϕ(g) H} Sei (G, ), (H, ), ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus, dann ist Kern(ϕ) Kern(ϕ) := {g G ϕ(g) = 1 H } U G heißt Untergruppe von (G, +) wenn gilt 0 G U x, y U : x + y U U G heißt Untergruppe von (G, ) wenn (U, ) mit der von G auf U restingierten Abbildung eine Gruppe x U x U oder alternativ: U U U U

3 11 12 Linksnebenklasse Rechtsnebenklasse 13 Index einer Gruppe [G : U] 14 Satz von Lagrange: Sei G ein Gruppe, U G Untergruppe, dann gilt G =... Normalteiler N G Untergruppen mit Index 2: [G:U]= Monomorphismus Epimorphismus Isomorphismus Automorphismus

4 (G, ) dann ist g G, so ist Ug := {ug u U} eine Rechtsnebenklasse von G. (G, ) dann ist g G, so ist gu := {gu u U} eine Linksnebenklasse von G. (G, ) dann ist G = U [G : U] der Satz von Lagrange. Ist G < so gilt sogar U G und [G : U] G (G, ) dann ist [G : U] = gu = Ug Der Index einer Gruppe. Die Links und Rechtsnebenklassen gu und Ug bilden stehts eine Partition von G. Ihre Anzahl ist gleich und wird als Index bezeichnet. Der Index einer Gruppe. (G, ) und gelte [G : U] = 2 Sei G eine Gruppe N G eine Untergruppe von (G, ) dann ist N ein Normalteiler von G wenn gilt g G : gn = Ng Dann ist U ein Normalteiler von G. Seien (G, ), (H, ) Gruppen und ϕ : G H eine Abbildung. Nenne φ einen (Gruppen-) Epimorphismus, wenn ϕ ein surjektiver Homomorphismus Seien (G, ), (H, ) Gruppen und ϕ : G H eine Abbildung. Nenne φ einen (Gruppen-) Monomorphismus, wenn ϕ ein injektiver Homomorphismus Sei (G, ) eine Gruppen und ϕ : G G eine Abbildung. Nenne φ einen (Gruppen-) Automorphismus, wenn ϕ ein bijektiver Homomorphismus Seien (G, ), (H, ) Gruppen und ϕ : G H eine Abbildung. Nenne φ einen (Gruppen-) Isomorphismus, wenn ϕ ein bijektiver Homomorphismus

5 21 22 Aut(G) Innerer Automorphismus und Inn(G) Homomorphiesatz 1. Isomorphiesatz (für Gruppen) Isomorphiesatz (für Gruppen) Zyklische Gruppe 27 Satz: Sei G zyklische Gruppe, dann gilt G =...

6 Sei (G, ) eine Gruppen. Dann wird die Abbildung ϕ g : G G mit ϕ g (x) := gxg ( 1) für alle g G als innerer Automorphismus bezeichnet. Definiere Inn(G) := {ϕ ϕ innerer Automorphismus} Inn(G) ist bezüglich Hintereinanderausführung eine Gruppe (Untergruppe von Aut(G)). Sei (G, ) eine Gruppen und ϕ : G G eine Abbildung. Definiere Aut(G) := {ϕ ϕ ist ein Automorphismus} Aut(G) ist bezüglich Hintereinanderausführung eine Gruppe. Sei (G, ) eine Gruppen. H G und N G dann gilt: 1. HN := {hn h H, n N} ist Untergruppe von G. 2. N ist ein Normalteiler von HN 3. H N ist ein Normalteiler von H 4. H/(H N) = HN/N (1. Isomorphiesatz) Seien (G, ), (H, circ) Gruppen, ϕ Hom(G, H), dann gilt G/Kern(ϕ) = Bild(ϕ) Insbesondere ist also Kern(ϕ) ein Normalteiler von G. Eine Gruppe (G, ) heißt zyklisch, wenn es ein g G für das gilt G =< g >. zyklische Gruppen sind immer abelsch!! Sei (G, ) eine Gruppen. H G und N G mit N H dann gilt: 1. H ist Normalteiler von G H/N ist Normalteiler von G/N 2. Wenn H/N Normalteiler von G/N ist, so ist (G/N)/(H/N) = G/H (2. Isomorphiesatz) Sei G zyklische Gruppe, dann gilt { G Z/nZ G = n < = Z G =