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1 $Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $ 2 Gruppen 2.3 Zyklische Gruppen Wir hatten am Ende der letzten Sitzung bewiesen, dass in einer endlichen zyklischen Gruppe G = {a k k N} mit n Elementen für das erzeugende Element a stets a n = e gilt, wobei e das neutrale Element der Gruppe bezeichnete. Dieses Lemma können wir auch noch etwas umformulieren. Angenommen wir haben eine beliebige ganze Zahl k Z. Führen wir die Division mit Rest nach 1.Lemma 1 durch, so können wir k = qn + r mit einem Rest 0 r < n schreiben. Eine Anwendung der Potenzrechenregeln liefert dann a k = a qn+r = a qn a r = (a n ) q a r = e q a r = a r, man kann im Exponenten also modulo n rechnen. Diese Beobachtung ist die Grundlage für die Bestimmung der zyklischen Gruppen bis auf Isomorphie, auf die wir hier aber verzichten wollen. Wir wollen noch eine weitere wichtige Folgerung aus Lemma 8 ziehen, und den sogenannten kleinen Satz von Fermat beweisen. Mit diesem Namen werden diverse ähnliche aber verschiedene Aussagen bezeichnet, wundern Sie sich also nicht wenn Ihnen auch etwas andere Aussagen als kleiner Satz von Fermat verkauft werden. Wir benötigen einige kleine Vorbereitungen, seien hierzu eine Gruppe G und eine Untergruppe U von G gegeben. 1. Für alle a, b G gilt die Gleichung inv(a b) = inv(b) inv(a). Dies ist leicht einzusehen, nach Lemma 4 ist nur zu zeigen, dass sich das Produkt inv(b) inv(a) wi das neutrale Element von a b verhält. Hierzu rechnen wir (a b) (inv(b) inv(a)) = a (b inv(b)) inv(a) = a e inv(a) = a inv(a) = e, und damit gilt tatsächlich inv(a b) = inv(b) inv(a). 2. Nun behaupten wir das durch a b : a inv(b) U für a, b G eine Äquivalenzrelation auf der Menge G definiert wird. Hierzu müssen wir die drei definierenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation durchgehen. Für jedes a G haben wir zunächst a inv(a) = e U, d.h. a a und 5-1

2 somit ist unsere Relation reflexiv. Die Symmetrie ist die komplizierteste Eigenschaft, sind a, b G mit a b, so gilt a inv(b) U, und da U eine Untergruppe ist folgt damit auch b inv(a) = inv(inv(b)) inv(a) = inv(a inv(b)) U, d.h. wir haben b a, und unsere Relation ist symmetrisch. Sind schließlich a, b, c G mit a b und b c, also a inv(b) U und b inv(c) U, so folgt mit Lemma 3 auch a inv(c) = a e inv(c) = a (inv(b) b) inv(c) = (a inv(b)) (b inv(c)) U, erneut da U eine Untergruppe ist. Somit ist unsere Relation auch transitiv und insgesamt eine Äquivalenzrelation. 3. Nun behaupten wir, dass die Äquivalenzklasse jedes Elements b G genau [b] = U b = {x b x U} ist. In der Tat, ist a G, so ist a inv(b) U nach Lemma 3 und Aufgabe (10) gleichwertig zu d.h. wir haben a = a e = a (inv(b) b) = (a inv(b)) b U b, [b] = {a G a b} = {a G a inv(b) U} = U b. 4. Nun nehme zusätzlich an, dass G endlich ist. Für jedes b G ist dann wieder nach Aufgabe (10) [b] = U b = {x b x U} = U, d.h. jede unserer Äquivalenzklassen hat genauso viele Elemente wie U. Da G die disjunkte Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ist, folgt G = (Anzahl der Äquivalenzklassen von ) U, also ist U G. Die Elementeanzahl einer Untergruppe ist also immer ein Teiler der Elementeanzahl der gesamten Gruppe. Damit können wir jetzt den scho erwähnten kleinen Satz von Fermat beweisen. Satz 2.9 (Kleiner Satz von Fermat) Sei (G, ) eine endliche Gruppe mit neutralen Element e. Dann gilt für jedes a G die Gleichung a G = e, wobei G für die Anzahl der Elemente von G steht. 5-2

3 Beweis: Sei a G gegeben. Wir betrachten dann die Menge U := {a k k Z} G der Potenzen von a, und behaupten das U eine Untergruppe von G ist. Wegen e = a 0 U ist dabei U. Sind k, l Z, so ergeben die Potenzrechenregeln auch a k a l = a k+l U und inv(a k ) = (a k ) 1 = a k U, d.h. U erfüllt die drei Bedingungen einer Untergruppe. Weiter ist die Gruppe (U, ) zyklisch mit dem erzeugenden Element a. Als Teilmenge der endlichen Menge G ist U auch endlich, und es bezeichne n N die Anzahl der Elemente von U. Nach Lemma 8 ist dann a n = e. Wie gerade gezeigt ist n ein Teiler von G, d.h. es existiert ein m Z mit G = nm. Damit ist auch wie behauptet. a G = a nm = (a n ) m = e m = e, Als eine kleine Anwendung wollen wir uns die zahlentheoretische Form des kleinen Satzes von Fermat überlegen. Hierzu sei eine Primzahl p gegeben. Dann haben wir die Gruppe (Z p, ) mit p 1 Elementen, und nach dem kleinen Satz von Fermat gilt a p 1 = e = [1] für jedes a Z p. Dies bedeutet [a p 1 ] = [a] p 1 = [1] für jedes a Z mit p a, d.h. für alle a Z die keine Vielfachen von p sind, ist a p 1 a mod p. Multiplizieren wir diese Kongruenz noch mit a, so ergibt sich a p a mod p für jedes a Z, denn im Fall p a ist dies trivialerweise wahr. Dies ist die zahlentheoretische Form des kleinen Satzes von Fermat. Beispielsweise wissen wir damit, ohne irgendetwas ausrechnen zu müssen, dass mod 17 gilt. Ist p keine Primzahl, so ist diese Kongruenz häufig falsch, sind zum Beispiel p = 6 und a = 2, so haben wir 2 6 = mod Permutationsgruppen Es sei M eine beliebige Menge. Dann bildet die Menge S M := {f : M M f ist eine bijektive Abbildung} aller bijektiven Abbildungen von M auf sich selbst versehen mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als zweistellige Verknüpfung eine Gruppe (S M, ). Überprüfen wir einmal die Gruppenaxiome. Dass die Komposition von Abbildungen das Assoziativgesetz (h g) f = h (g f) für alle f, g, h S M erfüllt wissen Sie schon aus 5-3

4 Teil A im letzten Semester. Die Begründung hierfür war auch recht einfach, für jedes x M gelten ja ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) und (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))). Damit ist (S M, ) schon mal eine Halbgruppe. Ein neutrales Element der Hintereinanderausführung ist auch leicht zu finden, es handelt sich um die identische Abbildung id M : M M; x x. Damit ist (S M, ) ein Monoid. Außerdem ist für jedes f S M die Umkehrabbildung f 1 : M M das zu f bezüglich Hintereinanderausführung inverse Element. Damit ist (S M, ) wirklich eine Gruppe. Hat die Menge M mindestens drei Elemente, so ist die Gruppe S M nicht kommutativ. Wähle nämlich drei verschiedene Elemente x, y, z M. Dann betrachten wir die beiden Permutationen f, g S M gegeben durch y, u = x, z, u = y, f(u) = x, u = y, und g(u) = y, u = z, u, u x, y u, u y, z für alle u M, d.h. f vertauscht nur x und y und g vertauscht y und z. Dann sind g(f(x)) = g(y) = z aber f(g(x)) = f(x) = y z, also insbesondere g f f g. Ein besonders wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn M = {1,..., n} die Menge der ersten n... natürlichen Zahlen für ein n N ist. Man nennt S n := S M dann die symmetrische Gruppe auf n Ziffern. Die Gruppe S n ist eine endliche Gruppe, deren Elemente wir leicht zählen können. Für das Bild f(1) der 1 können wir jedes Element von M = {1,..., n} verwenden, es gibt... also n Möglichkeiten für f(1). Das Bild von 2 unterliegt dann schon einer kleinen Einschränkung, weil f bijektiv sein soll muss f(2) f(1) sein, wir haben also nur noch n 1 Möglichkeiten für f(2). Für das Bild von 3 haben wir schon zwei Bedingungen f(3) f(1) und f(3) f(2) mit n 2 verbleibenden Möglichkeiten. So fortfahrend reduziert sich die Zahl der Möglichkeiten für die Bilder unter f jedesmal um Eins, bis es schließlich für das letzte Bild f(n) nur noch n (n 1) = 1 Möglichkeit gibt, eben die letzte noch freie Ziffer. Insgesamt gibt es also n (n 1) (n 2)... 1 = n! 5-4

5 viele bijektive Abbildungen f : M M. Damit haben wir den folgenden Satz begründet: Satz 2.10: Für jedes n N ist S n eine endliche Gruppe mit S n = n!. Überprüfen wir diesen Satz einmal an den kleinen Werten von n. Für n = 1 ist die Identität das einzige Element von S 1. Für n = 2 haben wir einmal die Identität und zum anderen die Bijektion, die die beiden Elemente von {1, 2} vertauscht. Bei n = 3 ist es schon ein klein wenig komplizierter. Zum Einen gibt es wieder die Identität. Dann gibt es die drei Bijektionen, die jeweils zwei der Elemente von {1, 2, 3} vertauschen und das dritte nicht bewegen. Es gibt aber noch zwei weitere Bijektionen, nämlich diejenigen die die Ziffern 1, 2, 3 einmal durchschieben, entweder von links nach rechts, also 1 auf 2, 2 auf 3 und 3 zurück auf 1, oder von rechts nach links, also 3 auf 2, 2 auf 1 und 1 auf 3. Dies sind insgesamt = 6 = 3! Elemente von S 3, wie erwartet Darstellung von Permutationen Wie kann man ein Element f S n hinschreiben? Hierfür gibt es im wesentlichen drei übliche Methoden. Die direkteste Möglichkeit ist eine Art tabellarische Darstellung etwa für n = Dies soll dann die Permutation f S 7 definiert durch f(1) = 4, f(2) = 7, f(3) = 6, f(4) = 2, f(5) = 5, f(6) = 3 und f(7) = 1 sein. Damit so etwas wirklich eine Permutation ist, muss in der unteren Zeile jedes Element genau einmal auftauchen. Dies ist zwar eine ziemlich unmißverständliche Darstellung von f S n, aber auch etwas unhandlich. Die zweite Darstellungsmethode ist eine kleine Modifikation der ersten, man läßt einfach die obere Zeile weg, schreibt also im obigen Beispiel nur f = (4, 7, 6, 2, 5, 3, 1). Die dritte Darstellungsart folgt einer ganz anderen Idee. Wir bleiben einmal beim obigen Beispiel f S 7. Hier wird 1 auf 4 abgebildet, 4 dann auf 2, 2 auf 7 und 7 schließlich zurück auf 1. Folgt man also den Bildern der Eins, so hat man einen sogenannten Zykel. Dieses Phänomen tritt tatsächlich bei jedem Startwert und bei jeder beliebigen Permutation g S n auf. Verfolgen wir die sukzessiven Bilder eines Startwerts 1 k n also k, g(k), g(g(k)), g(g(g(k))),... so muss sich aufgrund der Endlichkeit irgendwann ein Wert wiederholen. Tatsächlich muss dieser erste wiederholte Wert gleich k sein, denn andernfalls hätte ein Element g(... (g(k))) zwei verschiedene Urbilder unter g. Bei jeder Permutation bewegen sich also alle Elemente in Zykeln. 5-5

6 Diese Zykel können wir jetzt zur Beschreibung der Permutation g verwenden. Für einen einzelnen Zykel schreiben wir einfach die sukzessiven Bilder des Startwerts der Reihe nach hin, und brechen unmittelbar vor der Wiederholung des Startwerts ab. Die einzelnen Zahlen werden dabei durch Leerzeichen, oder manchmal auch Kommata oder andere Trennsymbole, getrennt und in Klammern gesetzt, also im obigen Beispiel = ( ). Die Ziffern 3, 5, 6 sind aufgetaucht. Diese laufen in den Zykeln und 5 5, die vollständige Zykeldarstellung ist damit f = ( )(3 6)(5) oder f = ( )(3 6), wobei in der zweiten Variante Zykel der Länge Eins weggelassen sind. 3 Ringe Nachdem wir im letzten Abschnitt den Gruppenbegriff eingeführt haben, kommen wir nun zur nächsten der algebraischen Grundstrukturen, den sogenannten Ringen. Auf einem Ring hat man gleich zwei zweistellige Verknüpfungen, eine Addition und eine Multiplikation, die meistens als + und geschrieben werden. Definition 3.1: Ein Ring (A, +, ) besteht aus einer Menge A und zwei zweistelligen Verknüpfungen + : A A A und : A A A, die die folgenden Bedingungen erfüllen: (a) Das Paar (A, +) ist eine kommutative Gruppe. (b) Das Paar (A, ) ist eine Halbgruppe. (c) Es gelten die beiden Distributivgesetze, d.h. für alle a, b, c A gilt a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c. Es werden die vertrauten Schreibweisen verwendet. Das Multiplikationszeichen wird meist weggelassen ab = a b, und zur Vermeidung von Klammern wird weiter mit Punkt vor Strich gerechnet. Man bezeichnet das neutrale Element der Addition mit Null und das additive Inverse von a A wird mit a bezeichnet. Die Subtraktion können wir als eine Notation einführen, für a, b A setzen wir a b := a + ( b) A. 5-6

7 Beachte das in den Axiomen eines Ringes einige naheliegende Rechenregeln nicht gefordert werden, zum Beispiel wird nicht a 0 = 0 a = 0 verlangt. Dies folgt aber leicht aus den anderen Axiomen. Ist nämlich a A, so rechnen wir mit dem Distributivgesetz 0 a = (0 + 0) a = 0 a + 0 a, und da (A, +) eine Gruppe ist, können wir auf beiden Seiten dieser Gleichung das additive Inverse von 0 a addieren, und erhalten 0 = 0 a 0 a = 0 a + 0 a 0 a = 0 a, d.h. 0 a = 0. Analog ergibt sich mit dem anderen Distributivgesetz auch a 0 = 0. Ein Ring A heißt kommutativ wenn auch das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt, also a b = b a für alle a, b A. Ist schließlich (A, ) sogar ein Monoid, gibt es also ein neutrales Element der Multiplikation, so nennt man A einen Ring mit Eins. Hat der Ring eine Eins, so bezeichnen wir das neutrale Element der Multiplikation mit dem üblichen Symbol 1. Genau wie bei den Gruppen sind Null und Eins eindeutig bestimmt. Hat der Ring A eine Eins, so lassen sich die additiven Inversen wir üblich durch die Multiplikation beschreiben, d.h. für jedes a A ist a = ( 1) a. Der Beweis dieser Tatsache wird eine Übungsaufgabe sein. Einfache Beispiele von Ringen sind 1. Die ganzen Zahlen (Z, +, ). Dies ist ein kommutativer Ring mit Eins. 2. Die geraden ganzen Zahlen (2Z, +, ) sind ein kommutativer Ring der keine Eins hat. 3. Die rationalen Zahlen (Q, +, ). Dies ist wieder ein kommutativer Ring mit Eins. 4. Die reellen Zahlen (R, +, ). Dies ist erneut ein kommutativer Ring mit Eins. 5. Die abstrakte Definition eines Rings läßt auch recht merkwürdige Beispiele zu. Ist etwa (A, +) eine beliebige kommutative Gruppe mit neutralen Element 0, so können wir A zu einem Ring machen indem die Multiplikation als konstant Null definiert wird, also a b := 0 für alle a, b in A. Diese Multiplikation ist trivialerweise assoziativ, es ist ja (ab)c = 0 = a(bc) für alle a, b, c A und auch die beiden Distributivgesetze werden einfach zu 0 = Dieser Ring ist kommutativ hat aber keine Eins, außer wenn A nur aus der Null besteht. 6. Dagegen ist (N, +, ) kein Ring, da (N, +) keine Gruppe ist. 3.1 Der Ring Z m Sei m N. Wir hatten bereits in 1.Lemma 10 gesehen, dass man auf den Restklassen modulo m eine Addition und eine Multiplikation einführen kann. Bei der Behandlung von Beispielen von Halbgruppen, Monoiden und Gruppen in 2 hatten wir dann auch gesehen, dass (Z m, ) eine kommutative Gruppe und (Z m, ) ein kommutatives Monoid 5-7

8 sind. Dabei war Z m die Bezeichnung für die Menge aller Restklassen modulo m. In Erweiterung dieser Aussagen gilt sogar: Lemma 3.2 (Der Restklassenring) Sei m N. Dann ist (Z m,, ) ein kommutativer Ring mit Eins. Beweis: Dies ist eine Übungsaufgabe. Wir wollen jetzt den Restklassenring Z m etwas näher untersuchen, und beginnen dabei mit der Bestimmung der Elemente, die ein multiplikatives Inverses haben. Allgemein nennt man ein Element a A eines Rings A mit Eins invertierbar wenn es ein b A mit ab = ba = 1 gibt, und dieses b heißt dann ein multiplikatives Inverses zu a. Was sind jetzt die invertierbaren Elemente im Ring Z m? Das wesentliche Argument haben wir dabei schon bei unserer Behandlung von Beispielen von Gruppen gesehen, wir hatten gezeigt das (Z m, ) eine Gruppe ist wenn m eine Primzahl ist. Die Behandlung eines allgemeinen m ist nur eine kleinere Erweiterung unserer damaligen Überlegungen. Lemma 3.3 (Bestimmung der invertierbaren Elemente des Restklassenrings) Seien m N und a Z. Dann hat die Restklasse [a] von a modulo m genau dann ein multiplikatives Inverses im Ring Z m wenn ggt(m, a) = 1 gilt. Beweis: Da [1] das neutrale Element der Multiplikation in Z m ist, bestehen die folgenden Äquivalenzen: [a] invertierbar in Z m (β Z) : [a] [β] = [1] (β Z) : [aβ] = [1] (β Z) : m 1 aβ (α, β Z) : 1 aβ = mα (α, β Z) : mα + aβ = 1 ggt(m, a) = 1, wobei wir die letzte Äquivalenz bei der Besprechung der Wechselsummendarstellung des größten gemeinsamen Teilers in 1.2 eingesehen hatten. Der Beweis des Lemmas gibt uns auch eine Methode die multiplikativen Inversen in Z m wirklich zu berechnen. Ist a Z mit ggt(m, a) = 1, so können wir wie in 1 gesehen den euklidischen Algorithmus verwenden um α, β Z mit mα + aβ = 1 zu finden. Der Beweis des Lemmas zeigt, dass die Restklasse [β] dann das multiplikative Inverse von [a] in Z m ist. Als ein Beispiel nehmen wir einmal m = 12. Die zu m teilerfremden a Z mit 0 a < m = 12 sind dann 1, 5, 7 und 11, wir haben also genau vier modulo 12 invertierbare Elemente. Die Berechnung des Inversen der Restklasse von a = 7 führen 5-8

9 wir mit dem euklidischen Algorithmus durch: 12 = 7 + 5, 5 = 12 7, 7 = 5 + 2, 2 = 7 5 = 7 (12 7) = , 5 = , 1 = = (2 7 12) = , und das multiplikative Inverse von [7] ergibt sich als inv([7]) = [ 5] = [7]. Als nächstes wollen wir uns die Eindeutigkeit der multiplikativen Inversen in Z m, und allgemeiner gleich in jedem Ring mit Eins klarmachen. Wir wollen diese Eindeutigkeitsaussage auf die in 2.Lemma 4 bewiesene Eindeutigkeit inverser Elemente in Gruppen zurückführen, und zu diesem Zweck benötigen wir die sogenannte Einheitengruppe eines Rings mit 1. Diese Gruppe wird uns auch später noch nützlich sein. Lemma 3.4 (Die Einheitengruppe) Sei (A, +, ) ein Ring mit Eins. Wir nennen ein Element a A eine Einheit, wenn es ein b A mit ab = ba = 1 gibt, und die Menge aller Einheiten von A werde mit U(A) bezeichnet. Dann gelten: (a) Sind a, b U(A) so ist auch ab U(A), und für jedes a U(A) ist das multiplikative Inverse von a eindeutig bestimmt und wieder eine Einheit von A. (b) Das Paar (U(A), ) ist eine Gruppe. (c) Für jedes a U(A) sind die Linksmultiplikation und die Rechtsmultiplikation bijektiv. l a : A A; x ax r a : A A; x xa Beweis: (a,b) Wegen 1 1 = 1 ist 1 U(A). Sind a, b U(A), so existieren a, b A mit aa = a a = 1 und bb = b b = 1, und damit sind auch (ab) (b a ) = a 1 a = aa = 1 und (b a ) (ab) = b 1 b = b b = 1, d.h. es ist ab U(A). Ist a U(A), so gibt es b A mit ab = ba = 1 und dann ist auch b U(A) mit ab = 1, d.h. b ist ein Inverses von a in U(A). Somit ist U(A) eine Gruppe und mit 2.Lemma 4 folgt auch die Eindeutigkeit multiplikativer Inverser. (c) Sei a U(A) eine Einheit. Dann existiert ein b A mit ab = ba = 1. Sind x, y A mit l a (x) = l a (y), also ax = ay, so folgt auch x = 1 x = (ba)x = b(ax)b(ay) = (ba)y = 1 y, d.h. l a ist injektiv. Ist y A, so haben wir by A mit l a (by) = a(by) = (ab)y = 1 y = y, d.h. l a ist auch surjektiv. Insgesamt ist l a bijektiv, und analog folgt das auch r a bijektiv ist. 5-9

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