2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen Untergruppen Homomorphismen... 25

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1 2 Gruppen Übersicht 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen Untergruppen Homomorphismen Eine Halbgruppe G mit neutralem Element heißt Gruppe, wenn G = G gilt, d.h. wenn jedes Element von G invertierbar ist. Dieser abstrakte Gruppenbegriff geht auf A. Cayley 1854 (für endliche Gruppen), auf L. Kronecker 1870 (für abelsche Gruppen) und in endgültiger Form auf H. Weber 1892 zurück. Vorher wurden nur endliche Permutationsgruppen und Gruppen geometrischer Transformationen betrachtet. Wir geben viele Beispiele von Gruppen an und untersuchen einfachste Eigenschaften. Insbesondere interessieren uns die sogenannten Untergruppen einer Gruppe G, das sind Teilmengen G, die mit der Verknüpfung aus G wieder Gruppen bilden. Der Satz von Cayley besagt, dass jede Gruppe eine Untergruppe einer symmetrischen Gruppe ist. 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen Wir wiederholen ausführlich, was wir unter einer Gruppe verstehen Definition einer Gruppe Es sei G eine nichtleere Menge mit einer inneren Verknüpfung. Es heißt (G, ) eine Gruppe, wenn: Assoziativgesetz: Für alle a, b, c G gilt (a b) c = a (b c). Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein e G mit e a = a = a e für alle a G. Jedes Element ist invertierbar: Zu jedem a G existiert ein a G mit a a = e = a a.

2 18 2 Gruppen Anstelle von a schreiben wir a 1 und nennen a 1 das Inverse von a; es ist eindeutig bestimmt (vgl. Abschnitt 1.3). Im Folgenden lassen wir den Multiplikationspunkt bei der multiplikativen Schreibweise weg, schreiben also kurz a b anstelle von a b. Eine Gruppe (G, ) nennt man abelsch oder kommutativ, wenn a b = b a für alle a, b G erfüllt ist Einfache Eigenschaften Wir ziehen einfache Folgerungen aus den Gruppenaxiomen. In Gruppen gelten die Kürzregeln, und es sind lineare Gleichungen eindeutig lösbar: Lemma 2.1 Es sei G = (G, ) eine Gruppe. (a) Für a, b, c G folgt aus a c = b c stets a = b, und aus c a = c b folgt ebenfalls a = b (Kürzregeln). (b) Zu je zwei Elementen a, b G gibt es genau ein x G mit a x = b, nämlich x = a 1 b, und genau ein y G mit y a = b, nämlich y = b a 1. Beweis: (a) Wir multiplizieren a c = b c von rechts mit c 1 und erhalten a = (a c) c 1 = (b c) c 1 = b. Die zweite Kürzregel zeigt man analog. (b) Existenz einer Lösung: Mit x = a 1 b G gilt a x = a (a 1 b) = b. Eindeutigkeit der Lösung: Aus a x = b und a x = b folgt a x = a x, also x = x nach der Kürzregel. Analog behandelt man die Gleichung y a = b. Bemerkung. Lemma 2.1 (b) besagt, dass die Abbildungen λ a : { G G x a x und ρ a : { G G y y a für jedes a G Permutationen von G (d.h. bijektive Abbildungen von G auf G) sind. Aus der Kürzregel folgt durch Kürzen von a: Korollar 2.2 Ist a ein Element einer Gruppe G = (G, ) mit a 2 = a, so gilt a = e Schwaches Axiomensystem Wir haben eigentlich ein zu starkes Axiomensystem für Gruppen gewählt. Wir kommen auch mit weniger Axiomen aus; dies sollte man vor allem für Gruppennachweise nutzen: Lemma 2.3 (Schwache Gruppenaxiome) Es sei G = (G, ) eine Halbgruppe mit den Eigenschaften:

3 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen 19 (i) Es gibt ein e G mit e a = a für alle a G (e ist linksneutral). (ii) Zu jedem a G existiert ein a G mit a a = e (a ist linksinvers zu a). Dann ist G eine Gruppe. Beweis: Zu a G existiert ein a G mit a a = e. Zu diesem a existiert ein a G mit a a = e. Es folgt a a = e a a = (a a ) a a = a (a a) a = a a = e und a e = a a a = e a = a. Somit ist jedes Element a G invertierbar, und e ist ein neutrales Element. Damit sind alle Gruppenaxiome erfüllt. Bemerkung. Man beachte die Möglichkeit, die Seiten zu vertauschen: Existiert in einer Halbgruppe G ein rechtsneutrales Element und zu jedem Element ein rechtsinverses Element, so ist G bereits eine Gruppe. Aber rechtsneutral und linksinvers bzw. rechtsinvers und linksneutral reicht nicht aus Beispiele Viele Beispiele von Gruppen erhält man mit der folgenden allgemeinen Aussage, die aus Lemma 1.2 folgt: Lemma 2.4 Ist H eine Halbgruppe mit neutralem Element, so bildet H (mit der aus H übernommenen Verknüpfung) eine Gruppe die Einheitengruppe oder die Gruppe der invertierbaren Elemente von H. Für die folgenden Beispiele vgl. man auch Beispiel 1.4 auf Seite 10. Beispiel 2.1 Für jeden Körper K = (K, +, ) sind (K, +) und (K \ {0}, ) abelsche Gruppen. Die Klein sche Vierergruppe. Durch die rechtsstehende Verknüpfungstafel wird eine e a b c abelsche Gruppe V = {e, a, b, c} gegeben. Es ist e das e e a b c neutrale Element, und für jedes x V ist x 2 = e erfüllt, d. h., jedes Element ist sein eigenes Inverses. Der a a e c b b b c e a Nachweis des Assoziativgesetzes ist etwas umständlich, c c b a e wir ersparen uns das. Für jede nichtleere Menge X ist S X = T X = {σ σ : X X bijektiv} eine Gruppe, die symmetrische Gruppe von X. Im Fall X := {1,..., n} schreibt man S n für S X. Die Elemente von S X sind die Permutationen von X. Bekanntlich gilt S n = n! für n N. Für σ S n verwenden wir vorläufig noch (vgl. Abschnitt 9.1) die übliche Schreibweise als 2-reihige Matrix, bei der das Bild σ(i) von i {1,..., n} unter i steht: σ = ( ) 1 2 n. σ(1) σ(2) σ(n)

4 20 2 Gruppen Es ist S 3 die kleinste nichtabelsche Gruppe: Es gilt etwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = Wir werden demnächst begründen, dass Gruppen mit 2, 3, 4 oder 5 Elementen zwangsläufig abelsch sind ( S 3 = 6). Bei Gruppen mit 2 Elementen ist dies klar, für 4 Elemente kann man das leicht elementar begründen, siehe das folgende Beispiel. Jede Gruppe mit 4 Elementen ist abelsch: Sind nämlich e, a, b, c die vier verschiedenen Elemente einer Gruppe G mit neutralem Element e, so gilt a b = e oder a b = c, weil a b = a bzw. a b = b wegen der Kürzregeln ausgeschlossen ist. Im Fall a b = e gilt b a = e, da b in diesem Fall das Inverse zu a ist. Im Fall a b = c gilt aber auch b a = c, da sonst a das Inverse zu b wäre. Folglich ist G abelsch. Die allgemeine lineare Gruppe GL(n, K) der invertierbaren n n-matrizen über dem Körper K ist die Einheitengruppe der Halbgruppe (K n n, ) und als solche eine Gruppe: GL(n, K) = {M K n n det M 0}. Quaternionengruppe. Die achtelementige Menge Q := {±E, ±I, ±J, ±K} mit den komplexen 2 2-Matrizen ( ) ( ) ( ) ( ) i i 0 E =, I =, J =, K = i 0 0 i bildet bezüglich der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation eine nichtabelsche Gruppe die sogenannte Quaternionengruppe. Offenbar ist E das neutrale Element. Und es gilt: A 2 = E für alle A Q \ {±E}. Daraus folgt A 1 = A für alle A Q \ {±E}. Ferner gilt K = I J = J I, somit ist die Gruppe Q nicht abelsch. Die Isometrien der euklidischen Ebene bzw. des euklidischen Raumes, die ein geometrisches Objekt O auf sich selbst abbilden, bilden mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe die Symmetriegruppe von O. Die identische Abbildung ist hierbei das neutrale Element. Im Abschnitt werden wir die Symmetriegruppe eines regulären n-ecks behandeln, die Diedergruppe D n. Die Symmetriegruppen periodischer Muster im Raum nennt man kristallografische Gruppen. Die Elemente dieser Gruppen sind die Isometrien, die das periodische Muster erhalten, die Komposition von Abbildungen ist die Verknüpfung. Unter einer Möbiustransformation versteht man bekanntlich eine Abbildung µ : z a z+b c z+d mit komplexen Zahlen a, b, c, d, a d b c 0, der erweiterten komplexen Zahlenebene C { } in sich. Die Menge aller Möbiustransformationen bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe die Gruppe der Möbiustransformationen. Die identische Abbildung ist das neutrale Element, die

5 2.2 Untergruppen 21 Komposition von Abbildungen ist assoziativ, und Produkt und Inverse von Möbiustransformationen sind wieder solche. Lie-Gruppen sind ein wichtiges Werkzeug der theoretischen Physik. Die Elemente einer Liegruppe sind die Elemente einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, die Gruppenmultiplikation und die Inversion x x 1 sind differenzierbare Abbildungen. Wir werden im Rahmen dieses Buches auf diese Gruppen nicht näher eingehen können Nützliche Kriterien Nützlich sind die folgenden Aussagen, die Kriterien dafür liefern, wann eine Halbgruppe bzw. eine endliche Halbgruppe eine Gruppe ist. Lemma 2.5 Eine nichtleere Halbgruppe G ist genau dann eine Gruppe, wenn es zu je zwei Elementen a, b G Elemente x, y G gibt mit a x = b und y a = b. Beweis: Wegen Lemma 2.1 ist nur zu begründen. Sind die Gleichungen a x = b und y a = b in der Halbgruppe G lösbar, so existiert zu b G ein Element e G mit e b = b; und zu einem beliebigen Element a G gibt es ein c G mit b c = a. Es folgt e a = e (b c) = (e b) c = b c = a; also ist e linksneutral. Zu jedem a G liefert die Lösung y der Gleichung y a = e sodann ein linksinverses Element. Nach Lemma 2.3 zu den schwachen Gruppenaxiomen ist somit G eine Gruppe. Lemma 2.6 Eine nichtleere endliche Halbgruppe G ist genau dann eine Gruppe, wenn in ihr die Kürzregeln gelten. Beweis: Wegen Lemma 2.1 ist nur zu begründen. Die Kürzregeln besagen in anderen Worten, dass die Abbildungen λ a : x a x und ρ a : x x a von G in sich injektiv sind. Nun sind injektive Abbildungen einer endlichen Menge in sich zudem surjektiv. Damit gibt es zu beliebigen a, b G stets x, y G mit a x = b und y a = b. Nach Lemma 2.5 ist G daher eine Gruppe. 2.2 Untergruppen Bei den bisherigen Beispielen von Gruppen fällt auf, dass viele der angegebenen Gruppen Teilmengen von größeren (bekannten) Gruppen sind und die jeweilige Verknüpfung diejenige der größeren Gruppe war. Dahinter steckt das Konzept der Untergruppe:

6 22 2 Gruppen Eine Untergruppe der Gruppe G ist eine Unterhalbgruppe U von G, die (mit der von G induzierten Verknüpfung) eine Gruppe bildet. Wenn U eine Untergruppe von G ist, schreiben wir dafür auch U G. Einfachste Beispiele sind die sogenannten trivialen Untergruppen G und {e}. Die Untergruppen U G von G heißen echt Untergruppennachweise In den meisten Fällen ist es sehr einfach, von einer nichtleeren Teilmenge einer Gruppe nachzuweisen, dass sie eine Gruppe ist. Nützlich ist dazu das folgende Lemma: Lemma 2.7 (Untergruppenkriterien) Für eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G sind gleichwertig: (1) U G. (2) a, b U a b U und a 1 U. (3) a, b U a b 1 U. Die neutralen Elemente von U und G stimmen dann überein. Beweis: Es sei e das neutrale Element von G. (1) (2): Wegen der Voraussetzung folgt aus a, b U natürlich a b U. Weil U eine Gruppe ist, hat U ein neutrales Element e. Wegen e e = e folgt mit Korollar 2.2 nun e = e. Weiter existiert zu jedem a U ein a U mit a a = e = e, sodass a 1 = a U. (2) (3): Sind a, b U, so gilt nach Voraussetzung a, b 1 U und weiter a b 1 U. (3) (1): Sind a, b U, so ist nach Voraussetzung e = b b 1 U. Damit ist aber für jedes b U nach Voraussetzung auch b 1 = e b 1 U. Es folgt a b = a (b 1 ) 1 U; das begründet (1). Wir führen nützliche Bezeichnungen ein: Für Teilmengen A, B einer Gruppe sei A B := A B := {a b a A, b B} das sogenannte Komplexprodukt von A und B. Ferner sei A 1 := {a 1 a A}. Weiter schreiben wir kürzer a B := {a} B, A b := A {b}. Das Ergebnis in Lemma 2.7 lautet mit diesen Abkürzungen: Für eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G sind gleichwertig: (1) U G. (2) U U U, U 1 U. (3) U U 1 U.

7 2.2 Untergruppen 23 Bemerkungen. (1) Wir halten fest: Ist U G Untergruppe einer Gruppe G, so haben U und G dasselbe neutrale Element e. Und die Inversen aus U sind die in G gebildeten Inversen der Elemente aus U. (2) Eine Bemerkung zum Beweis von Lemma 2.7: Die zyklische Beweisführung für die Gleichwertigkeit mehrerer Aussagen wird meist angestrebt. Man mache sich klar, dass man nach einer zyklischen Beweisführung der Form A 1 A 2 A k A 1 für die Aussagen A 1,..., A k von jeder Aussage A i zu jeder anderen A j in Pfeilrichtung gelangt: Die Aussagen A 1,..., A k sind also tatsächlich äquivalent Endliche Untergruppen Für endliche Teilmengen ist der Untergruppennachweis einfacher: Lemma 2.8 Jede nichtleere endliche Unterhalbgruppe U einer Gruppe ist eine Untergruppe. Beweis: Da G eine Gruppe ist, gelten in G die Kürzregeln. Da U eine Teilmenge von G ist, gelten diese Regeln auch in der Halbgruppe U; nun beachte Lemma 2.6. Wir geben einen weiteren Beweis dieser Aussage, da dieser ebenfalls sehr einfache, aber wichtige Schlüsse benutzt und daher von Interesse ist: Wir begründen (2) aus Lemma 2.7. Dazu reicht es, a U a 1 U nachzuweisen. Es sei also a U gegeben. Da U eine Halbgruppe ist, gilt a n U für jedes n N. Da U endlich ist, müssen in der Folge a 1, a 2,..., a k,... Wiederholungen auftreten, d.h., es existieren i, j N, o. E. j > i, mit a i = a j und folglich a j i = e. Also gilt e U, und wegen a j i = a a j i 1 = e liegt auch a 1 = a j i 1 in U. Vorsicht. Die (unendliche) Menge N der natürlichen Zahlen bildet eine Unterhalbgruppe, aber keine Untergruppe von (Z, +) Beispiele von Untergruppen Es folgen weitere zahlreiche Beispiele von Gruppen Untergruppen sind nämlich insbesondere Gruppen. Beispiel 2.2 Für jede nichtleere Menge X werden die Untergruppen von S X Permutationsgruppen genannt. Für jedes nichtleere A X sind U := {σ S X σ(a) = A} und V := {σ S X σ(a) = a für jedes a A} Untergruppen von S X, und V ist eine Untergruppe von U, d.h. V U S X. Für jeden Körper K und jedes n N ist SL(n, K) := {A GL(n, K) det A = 1}

8 24 2 Gruppen eine Untergruppe von GL(n, K). Denn für A, B SL(n, K) gilt det(a B 1 ) = det A(det B) 1 = 1, d. h A B 1 SL(n, K) (beachte Lemma 2.7). Die Gruppe SL(n, K) nennt man die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über K. Es sei n N. Wir bezeichnen mit E n die Menge der n-ten Einheitswurzeln aus C, d. h. E n = {z C z n = 1}. Für a, b E n gilt nach den Potenzregeln in C: (a b 1 ) n = a n (b 1 ) n = a n (b n ) 1 = 1, sodass (E n, ) (C \ {0}, ) nach Lemma 2.7. Nun gilt für a C \ {0} in der Polardarstellung a = r e i ϕ mit r > 0 und 0 ϕ < 2 π: a = r e i ϕ E n 1 = a n = r n e i n ϕ r n = 1, e i n ϕ = 1 { r = 1, ϕ 0, 2 π n, 2 2 π } 2 (n 1) π,...,. n n Mit der Abkürzung ε n := e 2π i n gilt demnach E n = { } 1, ε n, ε 2 n,..., εn n 1. Somit ist E n die Menge der Ecken eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regulären n-ecks; und es gilt E n = n. Wir haben E 3 und E 8 skizziert: e 2πi/3 i e 3πi/4 i e πi/ e 4πi/3 e 5πi/4 i e 7πi/4 Die Menge V 4 := {Id, σ 1, σ 2, σ 3 } mit den Permutationen ( ) ( ) ( ) Id, σ 1 =, σ 2 =, σ 3 = bildet eine Untergruppe von S 4. Es gilt σ 2 = Id für alle σ V 4. Die Bestimmung aller Untergruppen einer Gruppe G ist im Allgemeinen recht schwierig, aber nicht bei (Z, +): Satz 2.9 Jede Untergruppe U von (Z, +) hat die Form U = n Z mit n N 0. Dabei ist n = 0 oder die kleinste natürliche Zahl aus U.

9 2.3 Homomorphismen 25 Beweis: Im Fall U = {0} gilt n = 0. Daher gelte U {0}. Da mit jedem Element aus U auch das Negative (das additive Inverse) in U liegt, gibt es natürliche Zahlen in U. Es sei n die kleinste natürliche Zahl in U, und m U sei beliebig. Division mit Rest liefert q, r Z mit m = n q+r, 0 r < n. Mit m und n liegt auch m n q = r in U. Wegen r < n und der Minimalität von n geht das nur für r = 0. Also gilt m = n q und folglich U = n Z. Dieser Satz wird später mehrfach gute Dienste leisten. 2.3 Homomorphismen Man kann in eine gegebene Menge von Gruppen eine gewisse Ordnung bringen, wenn man die strukturverträglichen Abbildungen, die Homomorphismen, zwischen ihnen betrachtet. Dabei wird klar, welche Unterschiede lediglich durch die Art der Beschreibung der einzelnen Gruppen auftreten und welche Unterschiede strukturbedingt sind. Es seien (G, ) und (H, ) Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt ein Gruppenhomomorphismus oder kurz Homomorphismus, wenn für alle a, b G gilt: ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b). Wir haben hier ausdrücklich die Multiplikationszeichen angegeben, um deutlich zu machen, wie Homomorphismen die möglicherweise sehr verschiedenen Verknüpfungen miteinander in Beziehung bringen. Wie üblich werden Monomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus, Endomorphismus und Automorphismus erklärt (vgl. Abschnitt 1.6). Aus Lemma 1.6 erhält man direkt: Lemma 2.10 Für jede Gruppe G ist Aut G eine Untergruppe von S G die sogenannte Automorphismengruppe von G Kern und Bild eines Homomorphismus Lemma 2.11 Es seien G und H Gruppen mit den neutralen Elementen e G und e H, ϕ : G H ein Homomorphismus sowie a G, U G und V H. Dann gilt: (a) ϕ(e G ) = e H ein Homomorphismus bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab. (b) ϕ(a n ) = ϕ(a) n für jedes n Z Bilder von Potenzen sind Potenzen der Bilder. (c) ϕ(u) H Bilder von Untergruppen sind Untergruppen. (d) ϕ 1 (V ) G Urbilder von Untergruppen sind Untergruppen.

10 26 2 Gruppen Beweis: (a) folgt aus ϕ(e G ) = ϕ(e G e G ) = ϕ(e G ) ϕ(e G ) nach Kürzen von ϕ(e G ). (b) Für n N 0 ist die Behauptung klar. Mit (a) folgt für jedes n N: e H = ϕ(e G ) = ϕ(a n a n ) = ϕ(a n ) ϕ(a n ), sodass ϕ(a n ) = ϕ(a n ) 1 = (ϕ(a) n ) 1 = ϕ(a) n. (c) Die Behauptung folgt wegen (b) und der Inklusion U U 1 U aus Lemma 2.7 mit ϕ(u) ϕ(u) 1 = ϕ(u) ϕ(u 1 ) = ϕ(u U 1 ) ϕ(u). (d) Wegen e G ϕ 1 (V ) ist ϕ 1 (V ) nicht leer. Für a, b ϕ 1 (V ) gilt ϕ(a b 1 ) = ϕ(a) ϕ(b) 1 V, also a b 1 ϕ 1 (V ). Nun beachte man Lemma 2.7. Wegen Lemma 2.11 (d) ist der Kern von ϕ : G H eine Untergruppe von G. Kern ϕ := {a G ϕ(a) = e H } = ϕ 1 ({e H }) Vorsicht. Üblich ist auch die missverständliche Schreibweise Kern ϕ = ϕ 1 (e H ). Es gibt ein nützliches Kriterium für die Injektivität eines Homomorphismus: Lemma 2.12 (Monomorphiekriterium) Ein Gruppenhomomorphismus ϕ ist genau dann injektiv, wenn Kern ϕ = {e G }. Beweis: Für a Kern ϕ gilt ϕ(a) = e H = ϕ(e G ). Ist nun ϕ injektiv, so folgt a = e G, d. h. Kern ϕ = {e G }. Andererseits liefert ϕ(a) = ϕ(b) für a, b G mit Lemma 2.11 (b) e H = ϕ(a) ϕ(b) 1 = ϕ(a) ϕ(b 1 ) = ϕ(a b 1 ), d. h. a b 1 Kern ϕ. Mit Kern ϕ = {e G } folgt dann a b 1 = e G, d. h. a = b. Beispiel 2.3 Die Abbildung exp : R R \ {0}, x e x ist bekanntlich ein Homomorphismus von (R, +) in (R \ {0}, ). Es gilt Kern exp = {0}, sodass exp injektiv ist. Die Abbildung ϕ : V V, a a 2 ist ein Endomorphismus der Klein schen Vierergruppe V mit Kern ϕ = V ; insbesondere ist ϕ nicht injektiv Symmetrische Gruppen gleichmächtiger Mengen Die äußeren Unterschiede von Gruppen, d. h. Unterschiede, die nur von den Bezeichnungen der Elemente herrühren, verschwinden unter Isomorphie. So wird man erwarten, dass die symmetrische Gruppe S n die gleiche Struktur hat wie die symmetrische Gruppe S X, wenn X genau n Elemente enthält. Diese Vermutung wird durch das folgende Ergebnis bestätigt:

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