TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Grundlagen Matrixschreibweise Zeilenstufenform Rang, Lösbarkeit und Struktur Gruppen Grundbegriffe Gruppen-Homomorphismen Untergruppen Mengen Grundbegriffe Rechnen mit Mengen Abbildungen 7 5 komplexe Zahlen Grundlagen

3 1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 1.1 Grundlagen Definition Ein System von Gleichungen der Gestalt a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... (1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem (LGS). Dabei sind x 1,..., x n die zu berechnenden Unbestimmten, die Koeffizienten a i j mit 1 i m und 1 j n und die auf der rechten Seite stehenden b i mit 1 i m entstammen einem zugrunde gelegten Körper K. Mit Hilfe des Summenzeichens kann man auch kompakter schreiben. n a i j x j = b i für i = 1,..., m j=1 Man ist an der Lösungsmenge des LGS interessiert, d.h. an := {(x 1,..., x n ) K n mit 1}. Die Lösungsmenge kann natürlich auch leer sein. Zur Lösung des LGS nimmt man Äquivalenzumformungen vor, d.h. Umformungen, die die Lösungsmenge des Systems nicht verändern. Das sind genau die folgenden Umformungen: (i) Vertauschen zweier Gleichungen, (ii) Beidseitige Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl 0 (iii) Addition eines beliebigen Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung. 1.2 Matrixschreibweise Definition Ein rechteckiges Zahlenschema aus m mal n Elementen des Körpers K heißt m n-matrix. Man schreibt a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n. K m n, a m1 a m2... a mn oder kurz A = (a i j ) 1 i m (oder nur (a i j ), wenn m und n klar sind). 1 j n K m n ist die Menge aller m n-matrizen mit Einträgen aus K (oft auch M m,n (K)). Definition Das LGS 1 schreibt man abkürzend als Ax = b. Dabei heißt A = (a i j ) 1 i m K m n die 1 j n Koeffizientenmatrix, x = (x j ) 1 j n K n der Vektor aus den Unbekannten b = (b i ) 1 i m K m die rechte Seite der Inhomogenität. Das LGS heißt homogen, wenn b 1 = b 2 = = b m = 0 ist (kurz b = 0), sonst inhomogen. Besonders ökonomisch für das Lösen des LGS 1 ist die Schreibweise mit der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) K m (n+1). 2

4 2 Gruppen 1.3 Zeilenstufenform Mit der erweiterten Koeffizientenmatrix kann man nun genauso rechnen, wie mit dem damit verbundenen LGS. Mit den elementaren Zeilenumformungen (siehe Kapitel 1.1) kann man nun jede Matrix (erweitert oder nicht) in Stufenform bringen. Definition Eine m n-matrix A K m n heißt in Zeilenstufenform (oder Staffelform), wenn sie von folgender Gestalt ist: Dabei sind die Elemente an den mit markierten Stellen (diese heißen Pivotelemente, die zugehörigen Spalten Pivotspalten) ungleich Null und unterhalb der Treppenlinie stehen ausschließlich Nullen. 1.4 Rang, Lösbarkeit und Struktur Satz Ein homogenes LGS Ax = 0 ist immer lösbar. Es hat zumindest immer die sogenannte triviale Lösung x = (0,..., 0). Ein inhomogenes LGS kann dagegen unlösbar sein, und zwar genau dann, wenn der Rang der erweiterten Matrix (A b) größer als der Rang der Matrix A ist, i.z. Ax = b ist nicht lösbar Rang(A b) > Rang(A). Satz Gilt für das homogene LGS Ax = 0 n j=1 a i j x j = 0, i = 1,..., m die Bedingung m < n, d.h. gibt es weniger Gleichungen als Unbekannte, so gibt es eine Lösung mit mindestens n m freien Parametern. Lässt sich die Anzahl der Gleichungen mittels elementarer Zeilenumformungen auf eine Zeilenstufenform mit Rang(A) = r m Gleichungen umformen, so ist die Anzahl der Parameter im Ergebnis gleich n r. Folgerung Aus den beiden vorhergehenden Sätzen fasst man die folgenden Lösungskriterien für ein LGS zusammen: Ax = b hat Rang(A) < Rang(A b) keine Lösung r = Rang(A) = Rang(A b) < n eine n r-parametrige Lösung r = Rang(A) = Rang(A b) = n eine eindeutige Lösung Der letzte Fall ist wegen r min{m, n} nur möglich, wenn r = n m ist, d.h. wenn A eine sogenannte quadratische Matrix mit m = n ist oder mehr Zeilen als Spalten hat. 2 Gruppen 2.1 Grundbegriffe Definition Eine Gruppe besteht aus einer Menge G zusammen mit einer Verknüpfung (die je zwei Elementen aus G wieder ein Element aus G zuordnet, also : G G G), so dass folgende Axiome erfüllt sind: 3

5 2 Gruppen 1. a, b, c G : a (b c) = (a b) c Assoziativität 2. e G a G : e a = a Neutrales Element 3. a G a G : a a = e Inverses Element (G, ) heißt abelsch oder kommutativ, wenn gilt 4. a, b G : a b = b a Kommutativität Satz Es sei (G, ) eine nicht notwendig abelsche Gruppe. Dann gilt: 1. Für jedes neutrale Element e G gilt a e = a a G, d.h. jedes linksneutrale Element e ist auch rechtsneutral. Deshalb spricht man auch einfach von einem neutralen Element. 2. Aus a a = e folgt jeweils auch a a = e, d.h. jedes linksinverse Element a ist auch rechtsinvers. Deshalb spricht man auch einfach von einem inversen Element. 3. Es gibt genau ein neutrales Element e G. Bereits aus x a = a oder a x = a für ein a G folgt x = e. 4. Zu jedem a G gibt es genau ein inverses Element a G. Deshalb ist es möglich, diesem Inversen ein eigenes Symbol zu geben: in additiven Gruppe schreibt man -a, sonst meist a 1. Die Tatsache, dass sich das neutrale Element und das Inverse jeweils so schön abelsch verhalten, darf aber nicht dazu verleiten, das für alle Elemente anzunehmen. Bei nicht-abelschen Gruppen gilt immer noch a b b a für die meisten a, b G. Für das Rechnen in Gruppen sind die folgenden Regeln nützlich: Satz Es sei (G, ) eine nicht notwendig abelsche Gruppe. Dann gilt: 1. a G : (a 1 ) 1 = a. 2. a, b G : (a b) 1 = b 1 a a, b G 1 x G : x a = b. 4. a, b G 1 y G : a y = b. 2.2 Gruppen-Homomorphismen Definition Eine Abbildung f : G 1 G 2 von der Gruppe (G 1, ) in die Gruppe (G 2, ) heißt Homomorphismus 1, wenn gilt a, b G : f (a b) = f (a) f (b). Ein surjektiver Homomorphismus heißt Epimorphismus, ein injektiver Monomorphismus und ein bijektiver Isomorphismus. Ist G 1 = G 2, so nennt man den bijektiven Homomorphismus auch Automorphismus. 1 Ein Homomorphismus ist generell eine strukturerhaltende Abbildung. 4

6 3 Mengen 2.3 Untergruppen Definition Eine nichtleere Teilmenge U G einer Gruppe (G, ), die auch mit der Verknüpfung eine Gruppe bildet, heißt Untergruppe von G. Satz Eine nichtleere Teilmenge U G ist genau dann eine Untergruppe von (G, ), wenn folgendes gilt: 1. U. 2. u U u 1 U. 3. u, v U u v U. Definition Es sei f : G 1 G 2 ein Homomorphismus von der Gruppe (G 1, ) in die Gruppe (G 2, ). Das Urbild des neutralen Elements e 2 G 2 heißt der Kern des Homomorphismus Kern(f ) := f 1 ({e 2 }) Satz Der Kern eines Homomorphismus f : G 1 G 2 ist Untergruppe von G 1. 3 Mengen 3.1 Grundbegriffe Definition Eine Menge ist jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterscheidbaren Objekten. Arten von Mengen: verbal formulierte Menge: Alle Teilnehmer des Ferienkurses aufzählbare Menge: Die Zahlen 1, 2 und 3 gehören zur Menge M. Die Schreibweise ist M = 1,2,3 charakteristische Eigenschaften einer Menge: M:= x x M Definition Seien A und B Mengen. A heißt Teilmenge von B oder B Obermenge von A. A B wenn gilt: A B : x A gilt x B (2) Definition A und B heißen gleich, wenn gilt: A = B : A B und B A (3) Definition Die Mächtigkeit M ist die Anzahl der Elemente in der Menge M. 3.2 Rechnen mit Mengen Definition Der Schnitt zweier Mengen A und B ist A B := {x x A x B} (4) Definition Die Vereinigung zweier Mengan A und B ist A B := {x x A x B} (5) 5

7 3 Mengen Definition Die Differenz zweier Mengan A und B ist A\B := {x x A x / B} (6) Definition Das Komplement(Gegenstück) einer Menge A innerhalb einer Grundmenge G wird A bezeichnet. A := G\A := {x x G x / A} (7) 6

8 5 komplexe Zahlen 4 Abbildungen Definition Seinen A und B Mengen. f heißt Abbildung oder Funktion und bildet Elemente von A auf B ab. A ist Definintionsbereich D(f) und B Bildbereich W(f) Definition Eine Funktion f heißt injektiv, wenn aus f (a 1 ) = b und f (a 2 ) = b stets folgt, dass a 1 = a 2. Die Funktion ist eindeutig zurückverfolgbar. Beispiel: f(x)= x Definition Eine Funktion heißt surjektiv, wenn Der komplette Bildraum wird ausgenutzt. Beispiel: f(x) = x 2 auf + W (f ) = B = {b B x A : (a, b) f } (8) Definition Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. 5 komplexe Zahlen 5.1 Grundlagen Definition Der Körper der komplexen Zahlen heißt := {a + i b a, b, i 2 = 1} (9) Für z = a+i b heißt der Realteil Re(z) := a und der Imaginärteil Im(z):= b. Man kann komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem als Vektor einzeichnen in dem der Realteil nach links und der Imaginärteil nach oben zeigt. Die Länge des Vektors ist der Betrag der komplexen Zahl z = a 2 + b 2 (10) und der Winkel zur Realteilachse ϕ = arctan( b a ) (11) Vgl. Polarkoordinaten Definition Das konjugierte einer komplexen Zahl z heißt z Satz Für alle z,w gilt: Re(z) = z+z 2 Re(z) = z z 2i w z = w z w + z w + z z = a + i b = a i b (12) 7