18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus
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- Andrea Pfeiffer
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1 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus Conrad Donau 8. Oktober 2010 Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
2 18.1 Wiederholung: Ebenen in R Wiederholung: Ebenen in R 3 Beispiel Betrachte zwei Ebenen E 1 und E 2 mit E 1 : x + 7y z = 8 E 2 : 2x y + 3z = 1 Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
3 18.1 Wiederholung: Ebenen in R Wiederholung: Ebenen in R 3 Beispiel Betrachte zwei Ebenen E 1 und E 2 mit Folgende Fälle können auftreten: E 1 : x + 7y z = 8 E 2 : 2x y + 3z = 1 Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
4 18.1 Wiederholung: Ebenen in R Wiederholung: Ebenen in R 3 Beispiel Betrachte zwei Ebenen E 1 und E 2 mit Folgende Fälle können auftreten: E 1 : x + 7y z = 8 E 2 : 2x y + 3z = 1 Ebenen sind gleich: E 1 E 2 = E 1 = E 2. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
5 18.1 Wiederholung: Ebenen in R Wiederholung: Ebenen in R 3 Beispiel Betrachte zwei Ebenen E 1 und E 2 mit Folgende Fälle können auftreten: E 1 : x + 7y z = 8 E 2 : 2x y + 3z = 1 Ebenen sind gleich: E 1 E 2 = E 1 = E 2. Ebenen sind parallel, aber nicht gleich: E 1 E 2 =. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
6 18.1 Wiederholung: Ebenen in R Wiederholung: Ebenen in R 3 Beispiel Betrachte zwei Ebenen E 1 und E 2 mit Folgende Fälle können auftreten: E 1 : x + 7y z = 8 E 2 : 2x y + 3z = 1 Ebenen sind gleich: E 1 E 2 = E 1 = E 2. Ebenen sind parallel, aber nicht gleich: E 1 E 2 =. Ebenen schneiden sich: E 1 E 2 = G mit G Gerade. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
7 18.1 Wiederholung: Ebenen in R Wiederholung: Ebenen in R 3 Lösung x = z y = z z = z Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
8 18.1 Wiederholung: Ebenen in R Wiederholung: Ebenen in R 3 Lösung x = z y = z z = z G ist Schnittgerade. G : x y = z z Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
9 18.2 Gleichungssysteme als Matrix 18.2 Gleichungssysteme als Matrix Beispiel Betrachte wieder die zwei Ebenen E 1 und E 2 mit E 1 : x + 7y z = 8 E 2 : 2x y + 3z = 1 Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
10 18.2 Gleichungssysteme als Matrix 18.2 Gleichungssysteme als Matrix Beispiel Betrachte wieder die zwei Ebenen E 1 und E 2 mit E 1 : x + 7y z = 8 E 2 : 2x y + 3z = 1 In Matrixschreibweise: ( ) x ( y 8 = ) }{{} z }{{} A }{{} b x Also: A x = b. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
11 Charakterisierung 18.2 Gleichungssysteme als Matrix homogen / inhomogen Gegeben ein lineares Gleichungssystem (LGS) A x = b. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
12 18.2 Gleichungssysteme als Matrix Charakterisierung homogen / inhomogen Gegeben ein lineares Gleichungssystem (LGS) A x = b. Gilt b = 0 nennt man LGS homogen. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
13 18.2 Gleichungssysteme als Matrix Charakterisierung homogen / inhomogen Gegeben ein lineares Gleichungssystem (LGS) A x = b. Gilt b = 0 nennt man LGS homogen. Gilt b = 0 nennt man LGS inhomogen. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
14 18.2 Gleichungssysteme als Matrix Charakterisierung homogen / inhomogen Gegeben ein lineares Gleichungssystem (LGS) A x = b. Gilt b = 0 nennt man LGS homogen. Gilt b = 0 nennt man LGS inhomogen. triviale Lösung Sei A x = 0 gegeben. Eine Lösung x nennt man triviale Lösung, falls x = 0 Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
15 18.3 Gauß-Algorithmus 18.3 Gauß-Algorithmus Idee Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
16 18.3 Gauß-Algorithmus 18.3 Gauß-Algorithmus Idee 1 Schreibe Gleichungssystem in Matrixschreibweise A x = b. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
17 18.3 Gauß-Algorithmus 18.3 Gauß-Algorithmus Idee 1 Schreibe Gleichungssystem in Matrixschreibweise A x = b. 2 Bringe A mit elementaren Zeilenumformungen auf Dreiecksgestalt: 0 Ã = Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
18 18.3 Gauß-Algorithmus 18.3 Gauß-Algorithmus Idee 1 Schreibe Gleichungssystem in Matrixschreibweise A x = b. 2 Bringe A mit elementaren Zeilenumformungen auf Dreiecksgestalt: 0 à = Betrachte neues Gleichungssystem à x = b und lese Lösungen ab. Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
19 Beispiel 18.3 Gauß-Algorithmus Gegeben ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten: 2x + 2y z = 1 x z = 2 3x + y + z = 3 Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
20 Beispiel 18.3 Gauß-Algorithmus Gegeben ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten: 2x + 2y z = 1 x z = 2 3x + y + z = 3 In Matrixschreibweise: x y = z 3 Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober / 7
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