Kapitel 10 Komplexe Zahlen

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1 Komplexe Zahlen Kapitel 10 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 94 / 112

2 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen entstehen aus den reellen Zahlen, indem eine neues Element i (in der Elektrotechnik j) mit i 2 = 1 hinzugenommen wird: 10.1 Denition: Komplexe Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen ist deniert als C = {x + yi x, y R}. Dabei sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen gelten (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz), und zusätzlich sei i 2 = 1. Ist z = x + yi eine komplexe Zahl, so heiÿen die beiden reellen Zahlen x Realteil und y Imaginärteil von z. x = Re z und y = Im z. Die reellen Zahlen kann man durch x = x + 0i als Teilmenge von C auassen. Achtung: Auf C ist keine Ordnung deniert! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 95 / 112

3 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen lassen sich als Elemente der Ebene darstellen. Die Addition ist die Addition von Vektoren: Für z = 1 + i und w = 4 + i ist z + w = 5 + 2i. 2i z + w i z w i Die Zahlen der Form z = x + 0i bilden die reelle Achse, die der Form z = 0 + iy die imaginäre Achse. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 96 / 112

4 Komplexe Zahlen Beim Multiplizieren wird einfach i 2 = 1 beachtet: 10.3 Addition und Multiplikation Ist z = a + bi und w = c + di, so ist 1 z ± w = (a ± c) + (b ± d)i 2 zw = (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i 10.4 Konjugiert komplexe Zahl Ist z = a + ib, so ist die konjugiert komplexe Zahl z deniert durch z = a ib. Mit der dritten binomischen Formel ist z z = (a + ib)(a ib) = a 2 i 2 b 2 = a 2 + b 2 immer reell und nicht-negativ. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 97 / 112

5 Komplexe Zahlen Durch Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl kann man für Zahlen ungleich Null Kehrwerte ausrechnen: 10.5 Kehrwert 1 z = z z z = a ib a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2. Genauso kann man komplexe Zahlen durcheinander teilen: 10.6 Quotient z w = a + bi (a + bi)(c di) (ac + bd) + i(bc ad) = = c + di (c + di)(c di) c 2 + d 2. Es stellt sich heraus, dass man Zahlen aus C wie reelle Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann, und dass weiter die Kommutativ-, Distributiv- und Assoziativgesetze gelten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 98 / 112

6 Komplexe Zahlen 10.7 Weitere Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl 1. z = z 2. z + w = z + w 3. z w = z w, 4. Für z R ist z = z ( 1 ) = 1 (z 0) z z 5. Re z = 1 2 (z + z), Im z = 1 (z z) 2i 10.8 Denition und Eigenschaften: Betrag Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + ib ist deniert durch z = a 2 + b 2. Es ist z 2 = zz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / 112

7 Komplexe Polarkoordinaten Kapitel 11 Komplexe Polarkoordinaten Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 100 / 112

8 Komplexe Polarkoordinaten 11.1 Satz: Polarkoordinatendarstellung Sei z C \ {0} eine komplexe Zahl, die wir als Punkt in der Zahlenebene betrachten. Dann gibt es einen Winkel ϕ ] π, π] und eine reelle Zahl r > 0, so dass z die folgende Darstellung hat z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Um auch z = 0 behandeln zu können beschreiben wir diese Zahl durch r = 0 und einen beliebigen Winkel. r = z ϕ = arg z a = Re z z = a + ib b = Im z Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 101 / 112

9 Komplexe Polarkoordinaten 11.2 Denition: Polarkoordinaten Die Darstellung aus dem obigen Satz heiÿt Polarkoordinatendarstellung der Zahl z und der Winkel ϕ heiÿt Argument und wird mit arg(z) bezeichnet Satz: Umrechnung 1 Ist z = r(cos ϕ + i sin ϕ), so ist z = a + ib mit a = r cos ϕ und b = r sin ϕ.. 2 Ist z = a + ib, so ist r = z = a 2 + b 2 und für z 0 ist arctan b π falls a < 0, b < 0 a π 2 falls a = 0, b < 0 arg(z) = arctan b falls a > 0 a π 2 falls a = 0, b > 0 arctan b + π falls a < 0, b 0. a Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 102 / 112

10 Komplexe Polarkoordinaten 11.4 Satz: Rechnen mit Polarkoordinaten { } 1 a > 0 Für alle reellen Zahlen gilt: genau dann, wenn a < 0 { } arg(a) = 0 arg(a) = π 2 arg(z) = arg(z), und z = z 3 arg(wz) = arg(w) + arg(z), und wz = w z ( 1 ) 4 arg = arg(z), und 1 z z = 1 z { arg(z) + π falls arg(z) 0 5 arg( z) = arg(z) π falls arg(z) > 0. Insbesondere ist arg(z k ) = k arg(z) und z k = z k für k Z. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 103 / 112

11 Komplexe Polarkoordinaten Damit können wir nun einige der einer Zahl z zugeordneten Zahlen in die Ebene einzeichnen: z = 1 Im z i z z 1 z 1 z Re z Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 104 / 112

12 Komplexe Polarkoordinaten Die Multiplikation komplexer Zahlen ist in Polarkoordinaten besonders einfach (siehe 11.4) z w = 4 + 2i Im z w = 1 + i z = 3 + i Re z Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 105 / 112

13 Komplexe Polarkoordinaten 11.5 Denition: komplexe Exponentialfunktion Für z = a + ib C denieren wir exp(z) := e a (cos b + i sin b), insbesondere also e ib = cos b + i sin b. Damit schreibt sich die Polarkoordinatendarstellung z = r(cos ϕ + i sin ϕ) kürzer als z = re iϕ. Die so denierte komplexe Exponentialfunktion hat die gleichen Eigenschaften wie die reelle Exponentialfunktion. Insbesondere gilt die Formel von Moivre (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 106 / 112

14 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 12 Lineare Gleichungssysteme Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 107 / 112

15 Lineare Gleichungssysteme 12.1 Denition: Lineares Gleichungssystem LGS Ein (reelles) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen x 1, x 2,..., x n und m Gleichungen hat folgende Gestalt a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m mit a ij, b j R für 1 i n und 1 j m. Die a ij nennen wir die Koezienten des LGS und die b j nennen wir die rechte Seite des LGS. Das LGS heiÿt homogen, wenn die rechte Seite nur aus Nullen besteht. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 108 / 112

16 Lineare Gleichungssysteme Kurzschreibweise: Statt der Form in oben benutzen wir auch die etwas kompaktere Schreibweise (A b) := a 11 a a 1n a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn 12.2 Denition: Lösungsmenge Die Lösungsmenge des LGS (A b) bezeichnen wir mit L(A, b) := { (x 1,..., x n ) R n (x 1,..., x n ) löst (A b) } b 1 b m. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 109 / 112

17 Lineare Gleichungssysteme 12.3 Satz: Gauÿ-Operationen Die folgenden Operationen verändern die Lösungsmenge eines LGS nicht: 1. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl a Vertauschen von Zeilen. 3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. 4. Vertauschen von Spalten Achtung: Wenn man Punkt 4. anwendet, muss man sich merken, welche Variable zu welcher Spalte gehört! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 110 / 112

18 Lineare Gleichungssysteme 12.4 Satz: Gauÿ-Algorithmus Es sei (A b) ein lineares Gleichungssystem, dann kann man durch geeignete Gauÿ-Operationen erreichen, dass das LGS die folgende Form bekommt: y 1 y 2 y k y k+1 y n c c c k c k c m Die y j sind die Variablennamen x 1 bis x n, aber eventuell in vertauschter Reihenfolge. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 111 / 112

19 Lineare Gleichungssysteme Praktische Durchführung des Gauÿ-Algorithmus: Wir versuchen durch 3.(Tausch von Zeilen), 4.(Tausch von Spalten) und 1.(Skalierung einer Zeile) eine 1 in die obere linke Ecke zu bekommen. (Ist dies nicht möglich, dann endet der Algorithmus, denn die Koezienten, mit denen man diesen Schritt gestartet hat, sind alle Null.) Durch Anwenden von 2.(Addition von Zeilen) erzeugen wir Nullen unterhalb und oberhalb dieser 1. Wir beginnen nun wieder mit Step1. Allerdings wenden wir ihn auf das kleinere System an, das wir durch Löschen der ersten Spalte und ersten Zeile erhalten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 112 / 112