Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER

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1 Per Jensen VORLESUNGSSKRIPT MATHEMATIK B FÜR CHEMIKER BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL THEORETISCHE CHEMIE Juli 2008

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen Einführung Rechenregel Exponentialdarstellung Grundlagen der linearen Algebra Problemstellungen Matrizen Definition und Begriffe Rechnen mit Matrizen Quadratische Matrizen Weitere Begriffe Lineare Gleichungssysteme Das Matrixeigenwertproblem Differentialgleichungen Grundbegriffe Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung Ausgleichsrechnung Grundbegriffe Ausgleich bedingter Beobachtungen Ausgleich linearer Zusammenhänge Ausgleich nichtlinearer Zusammenhänge Darstellung einer Funktion mit Hilfe einfacherer Funktionen 86 3

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5 1 Komplexe Zahlen 1.1 Einführung Betrachten wir das Polynom f(z = z 2 + 4z + 8. (1.1 Wir möchten die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen. Es gilt Damit haben wir an einer Nullstelle die Bedingung Formal existieren also die Nullstellen oder Die Zahl i erfüllt die Gleichung z 2 + 4z + 8 = (z (1.2 (z = 0. (1.3 z = 2 4 und z + = 2 + 4, (1.4 z = 2 2 i und z + = i. (1.5 i 2 = 1. (1.6 Eine willkürliche reelle Zahl x R hat die Eigenschaft x 2 0. Also ist i keine reelle Zahl. Wir bezeichnen i als die imaginäre Einheit. Mit der Definition von i erhalten wir für das Polynom in Gln. (1.2 z 2 + 4z + 8 = (z z (z z + = (z i (z i. (1.7 Die Größen z und z + sind Beispiele für komplexe Zahlen. Allgemein läßt sich eine komplexe Zahl z darstellen als z = a + i b C, wobei a, b R (1.8 und C die Menge aller komplexen Zahlen ist. Die Größe a = R(z = R(a + ib (1.9 ist der Realteil, und der Imaginärteil von z. b = I(z = I(a + ib (1.10 5

6 Imaginärteil b r ϕ a z = (a,b Realteil Abbildung 1.1: Die komplexe Zahlenebene. Alternativ schreibt man komplexe Zahlen als geordnete 2-tupel der reellen Zahlen nach z = (a, b. (1.11 Abbildung 1.1 zeigt die Darstellung der Zahl z = (a, b in der komplexen Zahlenebene. Jeder Punkt in der komplexen Zahlenebene (das heißt, jede komplexe Zahl ist auch durch den Abstand zum Ursprung r und den Winkel ϕ festgelegt (siehe Abb Es gilt a = r cos ϕ und b = r sin ϕ. (1.12 Damit haben wir z = a + i b = r cos ϕ + i r sin ϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ (1.13 mit r = a 2 + b 2 und ϕ = arctan ( b a. Die Darstellung einer komplexen Zahl als a+ib nennt man eine kartesische Darstellung, die Darstellung als r (cos ϕ+i sin ϕ heißt Polardarstellung. Die zu z = a + ib konjugiert komplexe Zahl bezeichnet man mit z und es gilt z = a ib. (1.14 In der Polardarstellung haben wir z = r (cos ϕ + i sin ϕ und damit z = r (cos ϕ i sin ϕ = r (cos( ϕ + i sin( ϕ. (1.15 Abbildung 1.2 zeigt z und z in der komplexen Zahlenebene. 1.2 Rechenregel Wir definieren z 1 = a 1 + i b 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 (1.16 6

7 Imaginärteil r z = (a,b ϕ - ϕ Realteil r z* = (a,-b Abbildung 1.2: Konjugiert komplexe Zahlen. und z 2 = a 2 + i b 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2. (1.17 Die zwei komplexen Zahlen z 1 und z 2 sind gleich, wenn sind, beziehungsweise wenn a 1 = a 2 und b 1 = b 2 (1.18 r 1 = r 2 und ϕ 1 = ϕ k π, (1.19 sind, wobei k Z eine beliebige ganze Zahl ist. Komplexe Zahlen werden komponentenweise addiert, das heißt Es gilt z 1 + z 2 = z 2 + z 1. Komplexe Zahlen werden multipliziert gemäß z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 + i (b 1 + b 2. (1.20 z 1 z 2 = (a 1 + i b 1 (a 2 + i b 2 = a 1 a 2 + a 1 i b 2 + i b 1 a 2 + i 2 b 1 b 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 + i (a 1 b 2 + b 1 a 2. (1.21 Es gilt z 1 z 2 = z 2 z 1 und z 1 (z 2 + z 3 = z 1 z 2 + z 1 z 3. Ein Sonderfall ist z z = (a + i b (a i b = a 2 + b 2 R. (1.22 7

8 Der Betrag von z ist definiert als z = z z = a 2 + b 2. (1.23 In der Polardarstellung haben wir z = r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = r. (1.24 Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man mit dem konjugiert-komplexen des Nenners erweitert und dann die Multiplikationsregeln anwendet: z 1 z 2 = a 1 + i b 1 a 2 + i b 2 = (a 2 i b 2 (a 1 + i b 1 (a 2 i b 2 (a 2 + i b 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 a b Exponentialdarstellung + i b 1 a 2 a 1 b 2. (1.25 a b 2 2 Wir betrachten eine Taylorentwicklung der Exponentialfunktion Setzen wir hier u = i ϕ, erhalten wir e u = 1 + u 1! + u2 2! + u3 3! + u4 4! + u5 5! (1.26 e i ϕ = 1 + i ϕ 1! ϕ2 2! i ϕ3 3! + ϕ4 4! + i ϕ5 5!... ( = (1 ϕ2 2! + ϕ4 ϕ 4!... + i 1! ϕ3 3! + ϕ5 5!... (1.27 Wir erkennen den Realteil in Gln. (1.27 als die Taylorentwicklung von cos ϕ und den Imaginärteil als die Taylorentwicklung von sin ϕ. Damit gilt und wir erhalten aus Gln. (1.13 die Euler sche Formel e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.28 z = r (cos ϕ + i sin ϕ = r e i ϕ (1.29 oder, da r = z ist, z = z e i ϕ = z exp(i ϕ. (1.30 8

9 Der Betrag von e i ϕ ist e i ϕ = e i ϕ (e i ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ(cos ϕ i sin ϕ = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1. (1.31 In der Euler schen Darstellung ist es einfach, komplexe Zahlen zu multiplizieren und zu dividieren. Mit berechnen wir das Produkt nach und die Division nach z 1 = z 1 e i ϕ 1 und z 2 = z 2 e i ϕ 2 (1.32 z 1 z 2 = z 1 z 2 e i (ϕ 1+ϕ 2, (1.33 z 1 z 2 = z 1 z 2 ei (ϕ 1 ϕ 2. (1.34 Potenzen können mittels der Moivre-Formel berechnet werden: Für k Z gilt zum Beispiel z m = ( z e i ϕm = z m e i m ϕ. ( = e i 0 = e i(0+2 k π = cos(2 k π + i sin(2 k π i = e i π 2 = e i( π 2 +2 k π ( π ( π = cos k π + i sin k π 1 = e i π = e i(π+2 k π = cos(π + 2 k π + i sin(π + 2 k π i = e i 3π 2 = e i( 3π 2 +2 k π ( 3π = cos k π + i sin Die Zahl i i berechnen wir als das heißt, i i = e π 2 ist eine reelle Zahl. Weitere Beziehungen sind ( 3π k π. (1.36 i i = ( e i π 2 i = e i 2 π 2 = e π 2, (1.37 e +iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.38 e iϕ = cos ϕ i sin ϕ (1.39 cos ϕ = 1 ( e +iϕ + e iϕ 2 (1.40 sin ϕ = 1 ( e +iϕ e iϕ. 2i (1.41 9

10 Die Gleichungen (1.40 und (1.41 können mit der Definitionsgleichungen der Funktionen cosh (hyperbolische Cosinusfunktion und sinh (hyperbolische Sinusfunktion verglichen werden: cosh x = 1 ( e x + e x ( und sinh x = 1 2 ( e x e x. (1.43 Die Gleichung z m = 1 (1.44 besitzt für m = 1, 2, 3, 4,... und z C die m verschiedenen Lösungen z k = e i k 2π m, (1.45 k = 1, 2, 3, 4,..., m. Diese Zahlen liegen in der komplexen Zahlenebene auf dem Einheitskreis und bilden ein reguläres m-eck. Zum Beispiel haben wir für m = 5 (siehe Abb. 1.3 z 1 = e i 2π 5, z 2 = e i 4π 5, z 3 = e i 6π 5 = e i 4π 5 = z 2, z 4 = e i 8π 5 = e i 2π 5 = z 1, z 5 = e i 10π 5 = e i 2 π = 1. (1.46 sind Die Lösungen der Gleichung z 4 = 1 (1.47 z 1 = i z 2 = 1 z 3 = i z 4 = 1. (1.48 Wir definieren die Funktion f(ϕ = e i ϕ. (

11 Imaginärteil z 2 z 1 z 5 Realteil z 3 z 4 Abbildung 1.3: Die Lösungen z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 (Gln. (1.46 der Gleichung z 5 = 1, dargestellt in der komplexen Zahlenebene. Die Lösungen liegen alle auf dem Einheitskreis. Wie berechnet man die Ableitung f (ϕ = df/dϕ? Es gilt ( e i ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ = sin ϕ + i cos ϕ = i (cos ϕ 1i sin ϕ ( = i cos ϕ i i sin ϕ = i (cos ϕ + i sin ϕ = i e i ϕ. ( Später in der Vorlesung werden wir Differentialgleichungen behandeln, wie zum Beispiel y + y = 0. (1.51 Hier ist y(x eine Funktion von x und y = d 2 y/dx 2. Also erfüllt die Funktion die Gleichung d 2 y = y. (1.52 dx2 Wir können einfach nachprüfen, daß eine Lösung ist, wobei A und B Konstanten sind. y(x = A e i x + B e i x (

12 2 Grundlagen der linearen Algebra 2.1 Problemstellungen Als erstes Beispiel betrachten wir zwei Geraden in der (x, y-ebene: oder y = 2x + 1 y = 3x + 4 (2.1 2x y = 1 (2.2 3x + y = 4. (2.3 Im Schnittpunkt der beiden Geraden sind die beiden Gleichungen (2.2 und (2.3 erfüllt. Wir suchen also ein Zahlenpaar (x, y, daß eine Lösung beider Gleichungen ist. Allgemein können wir solche Gleichungen als ax + by = c (2.4 dx + ey = f (2.5 ausdrücken. Es kann sein, daß die beiden Geraden sich in einem Punkt schneiden. Dann haben die Gleichungen genau eine Lösung (x, y. Die beiden Geraden können aber auch parallel sein, dann existieren keine Lösungen. Schließlich können die beiden Geraden zusammenfallen und es gibt unendlich viele Lösungen. Wie bestimmen wir im Allgemeinen die Lösungen solcher linearen Gleichungssysteme? Wir schreiben sie als ( a b d e wobei die Konstruktionen ( a b d e, ( x y ( x y = und ( c f, (2.6 ( c f (2.7 Matrizen genannt werden. Die Eigenschaften der beiden Matrizen ( ( a b c und d e f (2.8 entscheiden die Lösungsstruktur. Als zweites Beispiel betrachten wir eine Koordinatentransformation. Wir haben zwei Koordinatensysteme xy und x y, wobei die Achsen x und x einen Winkel von α bilden. Ein gegebener Punkt P hat die Koordinaten (x P, y P im xy-system 12

13 y y y P P α y P x P x Q α S O α x P x Abbildung 2.1: Die Koordinatentransformation. und die Koordinaten (x P, y P im x y -System. Abbildung 2.1 zeigt das Prinzip der Koordinatentransformation. Es gilt OQ = x P cos α. (2.9 Wir erhalten x P, indem wir OQ zum Abstand zwischen Q und dem Punkt, wo P S die x -Achse schneidet, addieren. Der letztere Abstand ist y P sin α. Damit gilt Ferner gilt x P = x P cos α + y P sin α. (2.10 P S = y P cos α. (2.11 Wir erhalten y P, indem wir von P S den Abstand zwischen S und dem Punkt, wo P S die x -Achse schneidet, subtrahieren. Der letztere Abstand ist x P sin α. Damit gilt y P = y P cos α x P sin α. (2.12 Die beiden Gleichungen (2.10 und (2.12 können auch als eine Matrixgleichung ausgedruckt werden, als ( ( ( x P cos α sin α xp y P =. (2.13 sin α cos α y P 13

14 2.2 Matrizen Definition und Begriffe Ein Rechteckschema mathematischer Größen (z. B. Zahlen, Funktionen oder Operatoren aus n Zeilen und m Spalten nennt man eine Matrix der Dimension n m. Die n m Einträge auf den einzelnen Plätzen dieses Schemas heißen Matrixelemente. Ein Beispiel für eine Matrix der Dimension n m ist A = a 11 a 12 a a 1m a 21 a 22 a a 2m..... a n1 a n2 a n3... a nm. (2.14 Das Element a ij steht in der i ten Zeile (i ist das Zeilenindex und der j ten Spalte (j ist das Spaltenindex. Die Elemente a ii heißen Diagonalelemente, die Elemente a ij mit i j heißen Außerdiagonalelemente. A ist eine reelle Matrix, wenn alle a ij R sind. A ist eine quadratische Matrix der Dimension n, wenn n = m ist, das heißt, wenn Zeilenzahl und Spaltenzahl übereinstimmen. A ist eine Nullmatrix, wenn alle a ij = 0 sind. Die quadratische Matrix A ist symmetrisch, wenn gilt a ij = a ji. Ein Beispiel für eine symmetrische Matrix ist ( Die quadratische Matrix A ist antisymmetrisch (oder schiefsymmetrisch, wenn gilt a ij = a ji. Ein Beispiel für eine antisymmetrische Matrix ist ( Die quadratische Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn gilt a ij = 0 für i > j. Ein Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix ist ( Die quadratische Matrix A ist eine untere Dreiecksmatrix, wenn gilt a ij = 0 für i < j. Ein Beispiel für eine untere Dreiecksmatrix ist (

15 Die quadratische Matrix A ist eine Diagonalmatrix, wenn gilt a ij = 0 für i j. Ein Beispiel für eine Diagonalmatrix ist ( Die quadratische Matrix A ist eine Einheitsmatrix, wenn gilt a ij Kroneckerdelta ist definiert als { 1 wenn i = j und δ ij = 0 wenn i j ist. = δ ij. Das (2.20 Ein Beispiel für eine Einheitsmatrix ist ( Eine Matrix der Dimension n 1 entspricht einen Spaltenvektor mit n Komponenten. Eine Matrix der Dimension 1 n entspricht einen Zeilenvektor mit n Komponenten. 2.3 Rechnen mit Matrizen Mit A bezeichnen wir eine Matrix der Dimension n A m A mit Elementen a ij R und mit B bezeichnen wir eine Matrix der Dimension n B m B mit Elementen b ij R. Die beiden Matrizen A und B sind gleich, wenn 1. n A = n B und 2. m A = m B und 3. a ij = b ij für alle i = 1, 2, 3,..., n A und j = 1, 2, 3,..., m A. In diesem Fall schreiben wir A = B (2.22 Zwei Matrizen A und B können addiert werden, wenn n A = n B und m A = m B sind. Wir schreiben C = A + B. (2.23 Das heißt, wir bezeichnen die Summe von A und B als C. C ist eine Matrix der Dimension n A m A (oder n B m B mit den Elementen c ij = a ij + b ij. (

16 Es gilt A + B = B + A (2.25 und (A + B + D = A + (B + D. (2.26 Ist 0 eine Nullmatrix der Dimension n A m A, so gilt A + 0 = 0 + A = A. (2.27 Mit à bezeichen wir die Matrix a 11 a 12 a a 1m a 21 a 22 a a 2m à =..... a n1 a n2 a n3... a nm. (2.28 Es gilt A + à = à + A = 0. (2.29 Die Multiplikation einer Matrix A der Dimension n A m A mit einem Skalar λ R ergibt eine Matrix D = λ A (2.30 der Dimension n A m A ; diese Matrix hat die Elemente d ij = λ a ij. (2.31 Zum Beispiel gilt 3 ( = ( (2.32 Die Matrix à in Gln. (2.28 können wir als à = ( 1 A = A (2.33 schreiben. Zwei Matrizen A und B können multipliziert werden (das heißt, wir können die Produktmatrix A B bilden, wenn gilt m A = n B. In diesem Falle ist A B eine Matrix der Dimension n A m B. Für C = A B (2.34 gilt m A c ij = a ik b kj (2.35 k=1 16

17 mit i = 1, 2, 3,..., n A und j = 1, 2, 3,..., m B. Wie betrachten als Beispiel die Matrizen 1 2 ( A = und B = (2.36 Hier gilt n A m A = 3 2 und n B m B = 2 2. Damit ist m A = n B und die Matrix C = A B der Dimension n A m B = 3 2 existiert. Ihre Elemente sind und damit haben wir c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 = ( 1 = 3 c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 = = 6 c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 = ( 1 = 11 c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 = = 12 c 31 = a 31 b 11 + a 32 b 21 = ( 1 = 19 c 32 = a 31 b 12 + a 32 b 22 = = 18 (2.37 C = (2.38 Als weiteres Beispiel bilden wir das Produkt aus den folgenden Matrizen: ( ( A = und B = ( Hier berechnen wir A B = ( und B A = ( (2.40 Das heißt, A B B A. (2.41 Matrixmultiplikation ist also nicht kommutativ! Für quadratische Matrizen A, B und C derselben Dimension sind das Assoziativgesetz A (B C = (A B C (2.42 und das Distributivgesetz erfüllt. A (B + C = A B + A C (

18 Ist A eine Matrix der Dimension n A m A und E eine Einheitsmatrix der Dimension n A n A, so gilt E A = A. (2.44 Zum Beispiel ist = Ist E eine Einheitsmatrix der Dimension m A m A, so gilt Beispielsweise ist (2.45 A E = A. (2.46 ( = Gilt m A = n A, so daß A und E beide quadratisch sind, haben wir Ein Vektor lässt sich als Zeilenmatrix. (2.47 A E = E A = A. (2.48 a = a = (a 1 a 2 a 3... a n (2.49 oder als Spaltenmatrix b = b = b 1 b 2 b 3. b n (2.50 schreiben. Das Skalarprodukt a b lässt sich dann als Matrixprodukt ausdrücken b 1 b 2 a b = (a 1 a 2 a 3... a n b 3 n = a i b i. (2.51. b n 18

19 2.4 Quadratische Matrizen Die Dimension Die Dimension einer quadratischen Matrix A entspricht der Anzahl der Zeilen (die wiederum der Anzahl der Spalten gleicht: Die Matrix hat die Dimension Dim (A = 3. Die Spur Dim (A = n. (2.52 A = (2.53 Die Spur (Englisch: Trace einer quadratischen Matrix der Dimension n ist die Summe der Diagonalelemente n Spur(A = a ii. (2.54 Die Matrix A in Gln. (2.53 hat die Spur = 15. Die Determinante Einer quadratischen Matrix A A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n..... a n1 a n2 a n3... a nn (2.55 aus n Zeilen und n Spalten kann man immer eine sogenannte Determinante n-ter Ordnung zuordnen. Man versteht darunter den mathematischen Ausdruck, der aus den Elementen der Matrix in folgender Weise gebildet wird: Man wählt zunächst aus jeder Zeile und aus jeder Spalte der Matrix jeweils genau ein Element, ordnet diese Elemente nach den Zeilen und bildet ihr Produkt: a 1j1 a 2j2... a njn. Die Größen j 1 j 2... j n sind die jeweiligen Spaltenindizes. Da aus jeder Spalte genau ein Element gewählt wurde, bilden die Spaltenindizes j 1 j 2... j n eine Permutation 19

20 der Zahlen 1 bis n. Wenn es sich um eine gerade Permution handelt (das heißt, wenn man eine gerade Anzahl von Vertauschungen von je zwei Elementen braucht, um diese Permutation aus den Zahlen 1, 2,..., n, das heißt, aus der Referenzpermutation, herzustellen, so fügen wir dem Produkt das positive Vorzeichen bei. Bei einer ungeraden Permutation (das heißt, wenn man eine ungerade Anzahl von Vertauschungen von je zwei Elementen braucht, um diese Permutation aus den Zahlen 1, 2,..., n herzustellen das negative Vorzeichen. Das kann man dadurch zum Ausdruck bringen, daß man vor das Produkt den Faktor ( 1 t(j 1j 2...j n setzt, wobei t(j 1 j 2... j n die Zahl der Vertauschungen von je zwei Elementen angibt, die von der Zahlenfolge 1, 2,..., n zur Folge j 1 j 2... j n führt. Eine Vertauschung von zwei Elementen wird auch eine Transposition genannt. Anschließend bilden wir die Summe über Produkte für alle n! Permutationen der Spaltenindizes, was wir durch ein Summenzeichen ohne Angabe der Grenzen angeben wollen ( 1 t(j 1 j 2...j n a 1j1 a 2j2... a njn. Die so erhaltene Summe stellt die gesuchte Determinante D dar. Sie wird oft durch das Symbol A oder auch durch das gesamte Koffizientenschema, das zwischen zwei senkrechten Linien geschrieben wird, bezeichnet. Es gilt somit D = A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... a n1 a n2... a nn = ( 1 t(j 1j 2...j n a 1j1 a 2j2... a njn. (2.56 Andere gebräuchliche Symbole für die Determinante einer Matrix A sind Beispiele D = det(a = det(a ij = a ij. (2.57 a Die Determinante einer Matrix der Dimension 1, also A = (a 11 lautet det(a = a 11. b Wir berechnen die zur Matrix ( a11 a A = 12 a 21 a 22 (2.58 gehörende Determinante 2-ter Ordnung. Sie ist definiert mit Gln. (2.56 nach D = ( 1 t(12 a 11 a 22 + ( 1 t(21 a 12 a 21, (

21 da die Spaltenindices 1 und 2 sich als 12 oder 21 permutieren lassen. Wir brauchen keine Transpositionen, um aus 12 die Permutation 12 herzustellen. Damit ist t(12 = 0. Wir brauchen eine Transposition, um aus 12 die Permutation 21 herzustellen: t(21 = 1. Folglich gilt D = ( 1 0 a 11 a 22 + ( 1 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21. (2.60 c Die 3! = 6 möglichen Permutationen der drei Zahlen 1, 2, 3 sind 123, 132, 231, 213, 312 und 321. Damit ist die Determinante 3-ter Ordnung a 11 a 12 a 13 D = a 21 a 22 a 23 (2.61 a 31 a 32 a 33 als D = ( 1 t(123 a 11 a 22 a 33 + ( 1 t(132 a 11 a 23 a 32 + ( 1 t(231 a 12 a 23 a 31 + ( 1 t(213 a 12 a 21 a 33 + ( 1 t(312 a 13 a 21 a 32 + ( 1 t(321 a 13 a 22 a 31 (2.62 definiert. In Tabelle 2.1 zählen wir für jede mögliche Permutation j 1 j 2 j 3 die Transpositionen, die erforderlich sind, um die fragliche Permutation aus den Zahlen 123 herzustellen, und bestimmen damit t(j 1 j 2 j 3. Wir erhalten D = ( 1 0 a 11 a 22 a 33 + ( 1 1 a 11 a 23 a 32 + ( 1 2 a 12 a 23 a 31 + ( 1 1 a 12 a 21 a 33 + ( 1 2 a 13 a 21 a 32 + ( 1 1 a 13 a 22 a 31 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. (2.63 Die Unterdeterminante Als Unterdeterminante D ij (n 1-ter Ordnung bezeichnet man die aus einer Determinante D n-ter Ordnung durch Entfernung der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgehende Determinante. Haben wir zum Beispiel D = A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (

22 Tabelle 2.1: Die Berechnung einer Determinante 3-ter Ordnung j 1 j 2 j 3 Transpositionen t(j 1 j 2 j so erhalten wir die Unterdeterminanten durch Streichen der 1. Zeile und 1. Spalte, bzw. 1. Zeile und 2. Spalte D 11 = a 22 a 23 a 32 a 33, D 12 = a 21 a 23 a 31 a 33, (2.65 und so weiter. Der Entwicklungsgesetz von Laplace Jede Determinante läßt sich in der Form n D = a ij ( 1 i+j D ij (2.66 j=1 nach den Elementen der i-ten Zeile entwickeln. Analogerweise kann nach den Elementen der k-ten Spalte entwickelt werden: D = n a ik ( 1 i+k D ik (2.67 Die Wahl der Zeile oder Spalte ist beliebig. Es ist natürlich vorteilhaft, eine Zeile oder Spalte zu wählen, die viele Nullelemente enthält. Zum Beispiel sollte die Determinante D = (

23 nach der ersten Spalte oder nach der zweiten Zeile entwickelt werden. Entwicklung nach der ersten Spalte ergibt D = 1 ( ( ( = 1 (1 1 ( (4 3 1 ( 2 = 72. (2.69 Entwicklung nach der zweiten Zeile ergibt D = 1 ( ( = 1 (1 1 4 ( 2 3 (1 ( = 72. (2.70 Determinanten höherer Ordnung können durch Mehrfachanwendung des Entwicklungssatzes immer in eine Summe von Unterdeterminanten 2-ter Ordnung entwickelt werden. Das Produkt A ij = ( 1 i+j D ij (2.71 heißt das algebraische Komplement zum Matrixelement a ij. Die Eigenschaften der Determinante n-ter Ordnung (a Vertauschen wir zwei Zeilen (oder zwei Spalten einer Determinante, so wechselt sie ihr Vorzeichen. Beispiel: = 17 (2.72 aber = = 17. (2.73 (b Enthält eine Determinante eine Nullzeile (oder eine Nullspalte, so ist ihr Wert Null. Beispiel: = = 0. ( Der Beweis für diesen Satz kann über die Laplace sche Entwicklung nach den Elementen der Nullzeile (oder Nullspalte geführt werden. 23

24 (c Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn wir zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren, oder wenn wir zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addieren. Beispiele: = = = = 17. (2.75 (d Enthält eine Determinante zwei gleiche Zeilen (oder zwei gleiche Spalten, so ist ihr Wert Null. Beispiel: = = 0. ( (e Ist in einer Determinante eine Zeile als Linearkombination anderer Zeilen darstellbar, so ist der Wert der Determinante Null. Ist eine Spalte als Linearkombination anderer Spalten darstellbar, so ist der Wert der Determinante Null. Beispiel: = = 0. (2.77 (f Eine Determinante wird mit einer Zahl λ multipliziert, indem wir alle Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte mit λ multiplizieren. Beispiel: = = = = = 6. (2.78 (g Die Determinante einer Dreiecksmatrix (oder eine Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente mit A = a 11 a 22 a a nn = n a ii. (2.79 Durch Anwendung der Regel (c können wir beliebige Determinanten in Determinanten einer Dreiecksmatrix umwandeln. In Gln. (2.68-(2.70 berechneten wir durch Entwicklung nach Laplace D = = 72. (

25 Addieren wir das 4-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile, so erhalten wir nach Regel (c: D = (2.81 In dieser neuen Determinante multiplizieren wir die zweite Zeile mit 21 und addieren das Ergebnis zur dritten Zeile: D = (2.82 Die Größe D kann jetzt als die Determinante einer Dreiecksmatrix berechnet werden und hat den Wert D = = 72. (2.83 (h Die Determinante eines Produktes zweier quadratischen Matrizen A und B ist gleich dem Produkt der Determinanten der Einzelmatrizen: (i Die Einheitsmatrix E hat die Determinante det (A B = det (A det (B. (2.84 det (E = 1. (2.85 (j Die Transformationsmatrix ( cos α sin α sin α cos α (2.86 besitzt die Determinante cos α sin α Rang sin α cos α = cos2 α + sin 2 α = 1. (2.87 Der Rang einer Matrix A, Rang (A, ist gleich der Ordnung der größten darin enthaltenen und von Null verschiedenen Determinante. Gleichzeitig ist der Rang gleich der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten. Der Rang ist sowohl für quadratische als auch für nicht-quadratische Matrizen definiert. 25

26 Für eine quadratische Matrix A der Dimension n n gilt offensichtlich Rang (A Dim (A = n. (2.88 Für eine nicht-quadratische Matrix A der Dimension n A m A gilt Rang (A min (n A, m A (2.89 wobei min (n A, m A gleich der kleinsten der beiden Zahlen n A und m A ist. Der Rang einer Matrix bleibt unverändert, wenn wir zwei Zeilen (oder Spalten vertauschen. zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren, oder zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addieren. Betrachten wir zum Beispiel eine quadratische Matrix A der Dimension 4 4. Ist det(a 0, so haben wir Rang (A = 4. Ist dagegen det(a = 0, müssen wir Unterdeterminanten 3-ter Ordnung untersuchen. Finden wir eine solche Unterdeterminante, die ungleich Null ist, gilt Rang (A = 3. Sind die Unterdeterminanten 3-ter Ordnung alle Null, müssen wir die Unterdeterminanten 2-ter Ordnung berechnen. Finden wir eine solche Unterdeterminante, die ungleich Null ist, gilt Rang (A = 2. Sind diese Unterdeterminanten auch alle Null, hat die Matrix, insofern sie nicht die Nullmatrix ist, den Rang 1. Die Nullmatrix hat den Rang 0. Eine Dreiecksmatrix (oder Diagonalmatrix A der Dimension n n, für die alle Diagonalelemente a ii 0 sind, ist die Determinante mit n a ii 0 und die Matrix besitzt damit den Rang n. Die Determinante der Matrix A = (2.90 berechnet sich nach A = 1 ( ( = 1 ( ( 1 ( 7 = 0, (2.91 wenn wir nach der ersten Zeile entwickeln. Also ist Rang (A < 3. Die obere rechte Unterdeterminante = 14 (

27 ist aber ungleich Null, und damit ist Rang (A = 2. Die Determinante A = = 0 (2.93 verschwindet. Mann kann einfach nachprüfen, daß alle neun Unterdeterminanten 2-ter Ordnung, zum Beispiel = 0, (2.94 auch gleich Null sind. Alle Unterdeterminanten erster Ordnung sind aber ungleich Null. Also ist Rang (A = 1. Multiplizieren wir in der Matrix A die erste Zeile mit 2, erhalten wir die zweite Zeile. Multiplikation der ersten Zeile mit 3 erzeugt die dritte Zeile, und durch Multiplikation der ersten Spalte mit 2 und 3 erzeugt man die zweite bzw. dritte Spalte. In der Matrix A ist die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten also gleich 1. In dieser Weise können wir auch erkennen, daß Rang (A = 1 ist. 2.5 Weitere Begriffe Transposition Unter der transponierten Matrix A T einer Matrix A der Dimension n A m A verstehen wir eine Matrix der Dimension m A n A mit den Elementen (a T ij = a ji. (2.95 Eine quadratische Matrix (m A = n A wird bei der Transposition an der Hauptdiagonalen gespiegelt; nur die Diagonalelemente a ii bleiben auf ihren Plätzen. Zum Beispiel erhalten wir aus A = (2.96 die transponierte Matrix A T = (

28 Die Transposition eines Spaltenvektors a = a 1 a 2 a 3. a n (2.98 ergibt einen Zeilenvektor a T = (a 1 a 2 a 3... a n. (2.99 Die Transposition eines Zeilenvektors ergibt analogerweise einen Spaltenvektor. Es gelten Für eine quadratische Matrix gilt Gilt (A T T = A (2.100 (A + B T = A T + B T (2.101 (A B T = B T A T. (2.102 det(a T = det(a. (2.103 A T = A (2.104 sprechen wir von einer symmetrischen Matrix A. Für eine Matrix A mit komplexen Elementen definieren wir die adjungierte Matrix A mit den Elementen (a ij = a ji. (2.105 Das heißt Erfüllt A die Gleichung heißt sie selbstadjungiert oder hermitesch. Die Matrix ( 1 + 2i 3 + 4i A = 5 + 6i 7 + 8i hat die adjungierte Matrix A = (A T = ( A T. (2.106 A = A = A (2.107 ( 1 2i 5 6i 3 4i 7 8i 28 ( (2.109

29 Die Matrix A = ( i 3 4i 7 (2.110 ist hermitesch. Alle symmetrischen Matrizen mit reellen Elementen sind hermitesch (warum?. Inverse Matrizen A ist eine Matrix der Dimension n A m A. Die Matrix B der Dimension m A n A heißt linksinvers zu A wenn gilt B A = E, (2.111 wobei E eine Einheitsmatrix der Dimension m A m A ist. Die Matrix B heißt rechtsinvers zu A wenn gilt A B = E, (2.112 wobei E eine Einheitsmatrix der Dimension n A n A ist. Eine quadratische Matrix A der Dimension n n heißt regulär (oder nichtsingulär, wenn es eine Matrix A 1 gibt, die sowohl linksinvers als auch rechtsinvers zu A ist. A 1 heißt die Inverse zu A: A A 1 = A 1 A = E. (2.113 Eine quadratische Matrix A, die keine Inverse besitzt, heißt singulär. Nicht-quadratische Matrizen sind immer singulär. Es gilt (Gln. (2.84 und (2.113 Ferner ist nach Gln. (2.79 und damit det (A det ( A 1 = det (E. (2.114 det (E = 1 (2.115 det ( A 1 = 1 det (A. (2.116 Hieraus folgt, daß A 1 nur dann existiert, wenn det (A 0 ist. Für eine quadratische Matrix A mit det (A 0 können wir die Elemente der inversen Matrix durch die algebraischen Komplemente (Gln. (2.71 ausdrücken. Es gilt A 1 = 1 det (A A 11 A 21 A A n1 A 12 A 22 A A n A 1n A 2n A 3n... A nn 29. (2.117

30 Hierbei ist auf die transponierte Indizierung zu achten. Berechnen wir mit dieser Definition ein Diagonalelement (AA 1 ii der Matrix (AA 1, erhalten wir ( AA 1 ii = 1 det (A n a ij A ij = 1, (2.118 j=1 wobei wir Gln. (2.66 und (2.71 benutzt haben. Ein Außerdiagonalelement dieser Matrix (AA 1 ik mit k i ist gegeben durch ( AA 1 ik = 1 det (A n a ij A kj. (2.119 j=1 Nach Gln. (2.66 und (2.71 ist (AA 1 ik die Determinante einer Matrix, die aus der Matrix A dadurch hervorgegangen ist, daß wir die k-te Zeile durch die i-te Zeile ersetzt haben, ohne dabei die i-te Zeile zu verändern. Die resultierende Matrix hat zwei gleiche Zeilen und ihre Determinante verschwindet. Das heißt ( AA 1 = 0. (2.120 ik Wir haben jetzt gezeigt, daß ist. Mittels analoger Argumente können wir zeigen, daß ergibt. Die Inverse der Matrix mit der Determinante berechnet sich nach Gln. (2.117 zu A 1 = Einige Rechenregeln: AA 1 = E (2.121 A 1 A = E (2.122 ( a11 a A = 12 a 21 a 22 (2.123 D = a 11 a 22 a 12 a 21 0 ( a 11 a 22 a 12 a 21 det ( A 1 = ( a22 a 12 a 21 a 11. ( det (A. (

31 (A B 1 = B 1 A 1. (2.127 ( A T 1 = ( A 1 T. (2.128 wobei E eine Einheitsmatrix ist. E 1 = E, (2.129 Unitäre und orthogonale Matrizen Eine quadratische Matrix heißt dann unitär, wenn gilt. Für die Spalten einer unitären Matrix gilt A 1 = A = (A T. (2.130 n a ki a kj = δ ij. (2.131 k=1 Hat die unitäre Matrix nur reelle Elemente, nennt man sie eine reelle orthogonale Matrix. Für eine reelle orthogonale Matrix gilt A 1 = A T. (2.132 Die Spalten einer orthogonalen Matrix sind orthogonal zueineinander. Daher gilt Entsprechend gilt für die Zeilen n a ki a kj = δ ij (2.133 k=1 n a ik a jk = δ ij. (2.134 k=1 Da für eine orthogonale Matrix A 1 = A T ist, haben wir wobei E eine Einheitsmatrix ist. Das heißt A T A = E, (2.135 det ( A T A = det (E = 1, (

32 Die Gleichungen (2.84 und (2.103 ergeben und wir folgern, daß det ( A T det (A = [det (A] 2 = 1 (2.137 det (A = ±1 (2.138 ist. Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist also +1 oder 1. Beispiele für orthogonale Matrizen sind die Transformationsmatrizen aus Gleichung. (2.13: ( cos α sin α A =. (2.139 sin α cos α Für diese Matrizen erhalten wir ( ( cos α sin α cos α sin α A T A = = sin α cos α sin α cos α ( , (2.140 und ( cos α sin α A A T = sin α cos α ( cos α sin α sin α cos α = ( (2.141 Folglich ist Gln. (2.132 erfüllt. Ähnlichkeitstransformation Zwischen den beiden n-komponentigen Vektoren x 1 x 2 x = x 3 und y =. x n y 1 y 2 y 3. y n (2.142 besteht der Zusammenhang y = A x, (2.143 wobei A eine quadratische Matrix der Dimension n n ist. Wir unterwerfen jetzt beide Vektoren x und y einer Transformation: X = S x, und Y = S y (2.144 wobei S eine quadratische Transformationsmatrix der Dimension n n ist. 32

33 Wie sieht nun der Zusammenhang zwischen X und Y aus? Gleichung (2.144 liefert x = S 1 X und y = S 1 Y. (2.145 Eingesetzt in Gln. (2.143 ergibt S 1 Y = A S 1 X, (2.146 und damit Y = S A S 1 X. (2.147 Der Zusammenhang zwischen X und Y besteht also in wobei die neue Transformationsmatrix durch Y = A X, (2.148 A = S A S 1 (2.149 gegeben ist. Wir sagen, daß wir die Matrix A durch eine Ähnlichkeitstransformation Zwischen den beiden n-komponentigen Vektoren der Matrix A erhalten haben. Es gilt: det (A = det ( S A S 1 = det (S det (A det ( S 1 = det (S det ( S 1 det (A (2.150 Da wir mit S S 1 = E (2.151 eine Einheitsmatrix der Dimension n n erhalten, gilt det ( S S 1 = det (S det ( S 1 = det (E = 1. (2.152 Setzen wir dieses Ergebnis in Gln. (2.150 ein, so können wir schreiben det (A = det ( S A S 1 = det (A (2.153 Ferner gilt: Spur (A = Spur ( S A S 1 = Spur (A (2.154 Diese Behauptung können wir wie folgt beweisen: Wir bezeichnen allgemein das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte einer Matrix X (wobei im vorliegenden 33

34 Fall X = A, A, S, S 1,... ist als (X ij. In dieser Notation haben wir Spur ( S A S 1 = = = = n ( S A S 1 ii n n n n ( (S A ij S 1 ji j=1 j=1 k=1 n n ( (S ik (A kj S 1 ji [ n n ( (A ] kj S 1 (S ji ik j=1 k=1 (2.155 Nach den Regeln der Matrixmultiplikation ist aber n ( S 1 (S ji ik = ( S 1 S = (E jk jk = δ jk, (2.156 wobei wir benutzt haben, daß S 1 S = E (2.157 ist. Damit erhalten wir Spur ( S A S 1 n n n = (A kj δ jk = (A jj = Spur (A. (2.158 j=1 k=1 j=1 Betrachten wir als Beispiel für Gln. (2.143 ( ( ( y1 1 0 x1 = 0 3 y 2 x 2 ; (2.159 der Vektor y entsteht hier durch eine Streckung um einen Faktor 3 entlang der x 2 -Richtung. Transformieren wir jetzt das Koordinatensystem, in dem die Vektoren x und y ausgedrückt werden, mit der Transformationsmatrix S = ( cos π 2 sin π 2 sin π 2 cos π 2 = ( (2.160 Diese Matrix beschreibt eine Drehung des Koordinatensystems um 90 (Gln. (2.13. Da S orthogonal ist, gilt ( 0 1 S 1 = S T =. (

35 Wir berechnen daher nach Gln. (2.149 ( ( ( A = S A S 1 = ( ( ( = =. ( Im vorliegenden Fall wird also Gln. (2.148 ( ( ( Y1 3 0 X1 = 0 1 Y 2 X 2 ; (2.163 Der Vektor y entstand durch eine Streckung des Vektors x um einen Faktor 3 entlang der x 2 -Richtung. Nachdem wir das Koordinatensystem um 90 gedreht haben, liegt die neue X 1 -Achse dort, wo die alte x 2 -Achse früher lag und die neue X 2 -Achse liegt dort, wo die alte x 1 -Achse früher lag. Folglich entsteht im neuen Koordinatensystem der Vektor Y durch eine Streckung des Vektors X um einen Faktor 3 entlang der X 1 -Richtung. Prüfen Sie nach, daß die Matrizen A und A des obigen Beispiels die Gleichungen (2.153 und (2.154 erfüllen. 2.6 Lineare Gleichungssysteme Am Anfang dieses Kapitels diskutierten wir die zwei Gleichungen (2.2 und (2.3 2x y = 1 ( x + y = 4, (2.165 mit den beiden Unbekannten x und y. Diese Gleichungen lassen sich in Matrixform schreiben: ( ( ( 2 1 x 1 = ( y 4 Wir möchten jetzt solche Gleichungssysteme analysieren und betrachten n lineare Gleichungen mit den n Unbekannten x 1, x 2, x 3,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. (2.167 Andere Schreibweisen für das Gleichungssystem sind n a ik x k = b i, i = 1, 2, 3,..., n, (2.168 k=1 35.

36 oder wobei A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n..... a n1 a n2 a n3... a nn A x = b, (2.169, x = x 1 x 2 x 3. x n und b = b 1 b 2 b 3. b n (2.170 ist. Falls b 1 = b 2 = b 3 =... = 0 ist, sprechen wir von einem homogenen, ansonsten von einem inhomogenen Gleichungssystem. Die Eigenschaften linearer Gleichungssysteme (a Das lineare Gleichungssystem A x = b ist dann und nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix a 11 a 12 a a 1n b 1 a 21 a 22 a a 2n b 2 Ab = a 31 a 32 a a 3n b 3 ( a n1 a n2 a n3... a nn b n der Dimension n (n + 1 ist: Rang (A = Rang (A b. (2.172 (b Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 (wobei 0 der Nullvektor ist ist somit immer lösbar; es hat die triviale Lösung x = 0. (c Die Lösungsmannigfaltigkeit eines lösbaren Systems ergibt sich aus K = Dim (A Rang (A = n Rang (A (2.173 wie folgt ( x 0, x 1 und x 2 sind n-komponenten-vektoren: K = 0: Es gibt genau eine Lösung x = x 0, K = 1: Die Lösungen bilden eine einfach unendliche Menge von Vektoren x = x 0 + λ x 1, wobei λ R willkürlich ist, 36

37 K = 2: Die Lösungen bilden eine zweifach unendliche Menge von Vektoren x = x 0 + λ 1 x 1 + λ 2 x 2, wobei λ 1, λ 2 R willkürlich sind, und so weiter. (d Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 hat demnach außer der trivialen Lösung x = 0 noch weitere Lösungen, wenn det(a = 0 ist. In diesem Fall ist nämlich Rang (A < n und damit K > 0. Das Gleichungssystem hat die Koeffizientenmatrix A = x 1 x 2 x = ( (2.175 Wir entwickeln det(a nach der ersten Spalte und erhalten det(a = = 7 6 = 13. (2.176 Das Gleichungssystem hat also nur die triviale Lösung x = 0. Wir können dieses nachprüfen, indem wir das Gleichungssystem wie folgt aufschreiben: x x 3 = 0 ( x 2 + x 3 = 0 (2.178 x 1 2 x 2 3 x 3 = 0 (2.179 Wir subtrahieren Gln. (2.177 von Gln. (2.179 und erhalten damit ein äquivalentes Gleichungssystem x x 3 = 0 ( x 2 + x 3 = 0 ( x 2 5 x 3 = 0. (2.182 Multplikation der Gln. (2.181 mit 2/3 und Addition zu Gln. (2.182 ergeben x x 3 = 0 ( x 2 + x 3 = 0 ( x 3 = 0. (

38 Gleichung (2.185 hat die Lösung x 3 = 0 und Einsetzen in Gln. (2.183 und (2.184 liefert x 1 = x 2 = 0. Wir haben also bestätigt, daß das Gleichungssystem in Gln. (2.177-(2.179 nur die triviale Lösung x = 0 besitzt. Als weiteres Beispiel betrachten wir das Gleichungssystem x x 2 = 0 ( x 3 0 mit der Koeffizientenmatrix A = (2.187 Wir entwickeln det(a nach der dritten Zeile und erhalten det(a = = 2 ( = 0. (2.188 Damit ist auch Rang (A kleiner Dim (A. Wir finden eine Unterdeterminante zweiter Ordnung verschieden von Null, beispielsweise = 3 0, (2.189 so daß Rang (A = 2 ist. Also ist K = Dim (A Rang (A = 3 2 = 1, und die Lösungen des Gleichungssystems können als x = x 0 + λ x 1 aufgeschrieben werden. Wir können dieses Ergebnis bestätigen durch Umformung des Gleichungssystems. Wir fangen an mit 2 x 1 x x 3 = 0 (2.190 x 1 + x 2 2 x 3 = 0 ( x x 3 = 0. (2.192 Multiplikation der Gln. (2.191 mit 2 und Addition zu den Gleichungen (2.190 und (2.191 erzeugen das Gleichungssystem x 2 + x 3 = 0 (2.193 x 1 + x 2 2 x 3 = 0 ( x x 3 = 0. (

39 Wir multiplizieren Gln. (2.193 mit 2 und addieren das Ergebnis zu Gln. (2.195: x 2 + x 3 = 0 (2.196 x 1 + x 2 2 x 3 = 0 ( = 0. (2.198 Gleichung (2.198 ist trivialerweise erfüllt. Setzen wir x 3 = λ, so erhalten wir durch Einsetzen in Gln. (2.196 x 2 = λ und durch weiteres Einsetzen in Gln. (2.197 x 1 = 3 λ. Die Lösungen des Gleichungssystems lauten damit wie erwartet: x x 2 = λ 1 = 0 + λ 1 (2.199 x (e Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht bei sogenannten elementaren Zeilenoperationen. In einer elementaren Zeilenoperation wird eine der n Gleichungen, zum Beispiel die mit dem Index k, mit einer Zahl λ multpliziert, a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k, (2.200 λ a k1 x 1 + λ a k2 x λ a kn x n = λ b k, (2.201 und das Ergebnis wird zu einer anderen Gleichung (zum Beispiel mit Index p addiert: (a p1 + λ a k1 x 1 + (a p2 + λ a k2 x (a pn + λ a kn x n = b p + λ b k (2.202 Unter Punkt (d haben wir bereits mehrere solcher Zeilenoperationen durchgeführt. (f Ist x 0 ein spezieller Lösungsvektor (eine sogenannte partikuläre Lösung des lösbaren inhomogenen Gleichungssystems A x = b, so erhält man alle Lösungen x dieses Systems, wenn wir zu x 0 die Lösungen des entsprechenden homogenen Systems A x h = 0 addieren: x = x 0 + x h (2.203 (g Das inhomogene lineare Gleichungssystem A x = b besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn det A 0 ist. In diesem Fall hat das entsprechende homogene Gleichungssystem A x = 0 die eindeutige Lösung x = 0. 39

40 Das Gleichungssystem x 1 x 2 x 3 = (2.204 hat die in Gln. (2.175 gegebene Koeffizientenmatrix A mit der Determinante det(a = 13. Wir schreiben das Gleichungssystem als x x 3 = 1 ( x 2 + x 3 = 0 (2.206 x 1 2 x 2 3 x 3 = 2 (2.207 schreiben. Wir subtrahieren Gln. (2.205 von Gln. (2.207 und erhalten damit das äquivalente Gleichungssystem x x 3 = 1 ( x 2 + x 3 = 0 ( x 2 5 x 3 = 1. (2.210 Multplikation der Gln. (2.209 mit 2/3 und Addition zu Gln. (2.210 ergeben x x 3 = 1 ( x 2 + x 3 = 0 ( x 3 = 1. (2.213 Gleichung (2.213 hat die Lösung x 3 = 3/13. Einsetzen in Gln. (2.212 liefert nun x 2 = 1/13, und weiteres Einsetzen in Gln. (2.211 ergibt x 1 = 19/13. Die Lösung des Gleichungssystems ist damit x 1 x 2 x 3 = (2.214 Als eine bequeme Kurzschreibweise für ein Gleichungssystem, zum Beispiel x x 2 = 5, ( x 3 2 genügt es, die erweiterte Koeffizientenmatrix nach Gln. (2.171, hier Ab = , (

41 aufzuschreiben. Wir können jetzt elementare Zeilenoperationen in dieser Matrix ausführen und erhalten zunächst , ( und dann (2.218 Die dritte Gleichung des transformierten Systems ist trivialerweise erfüllt. Die beiden verbleibenden Gleichungen sind x 1 + x 2 + x 3 = 4 (2.219 x 2 2 x 3 = 1. (2.220 Wählen wir hier x 3 = λ, so erhalten wir x 1 3 3λ x 2 x 3 = 1 + 2λ = λ λ (2.221 Das definierte Gleichungssystem Ab = , (2.222 hat dieselbe Koeffizientenmatrix wie das System in Gln. (2.216 aber einen anderen b-vektor. Die in Gln. (2.217 und (2.218 durchgeführten Zeilenoperationen ergeben in diesem Fall , ( bzw. x 1 + x 2 + x 3 = 0 (2.224 x 2 2 x 3 = 0. (2.225 Mit x 3 = λ ermitteln wir hier x 1 x 2 x 3 = λ (

42 Wir sehen, daß die in Gln. (2.221 vollständige Lösung des inhomogenen Gleichungssystems in Gln. (2.215 sich als eine Summe zweier Terme schreiben läßt. Der erste Term 3 x 0 = 1, ( ist eine partikuläre Lösung des inhomogenen Gleichungssystems, und der zweite Term 3 x h = λ 2. ( ist die vollständige Lösung des homogenen Gleichungssystems in Gln. ( Als Beispiel für ein drittes Gleichungssystem mit derselben Koeffizientenmatrix A betrachten wir Ab = , ( so lässt sich durch die Zeilenoperationen der Gln. (2.217 und (2.218 in ( umwandeln. Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar, da die dritte Gleichung einen Widerspruch beinhaltet. Die erweiterte Koeffizientenmatrix Ab in Gln. (2.229 hat den Rang 3, da die Unterdeterminante = 3 (2.231 ist. Die Koeffizientenmatrix A = (2.232 hat det (A = 0, aber Rang (A = 2, da die Unterdeterminante = 1 (2.233 ist. Damit haben wir Rang (A Rang (Ab, das heißt, ein nicht-lösbares Gleichungssystem. 42

43 Verallgemeinerung Haben wir allgemein m lineare Gleichungen mit n Unbekannten, müssen wir drei Fälle unterscheiden: m = n: Diesen Fall haben wir hier in allen Einzelheiten behandelt. m < n: Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Ist Rang (A Rang (Ab, so ist das System nicht lösbar. Für Rang (A = Rang (Ab gibt es unendlich viele Lösungen in der Form von Geraden, Ebenen etc. m > n: Das Gleichungssystem ist überbestimmt. Gibt es im System Gleichungen, die linear abhängig von anderen Gleichungen sind, können diese eliminiert werden und das System damit möglicherweise in ein (m = n- oder (m < n- Problem umgewandelt werden. Ansonsten ist keine exakte Lösung möglich. Man kann in diesem Fall durch Ausgleichsrechnung eine optimale Lösung (das heißt, eine Lösung, die die Gleichungen mit der kleinsten Abweichung erfüllt ermitteln. Berechnung der inversen Matrix In Gln. (2.117 haben wir bereits einen allgemeinen Ausdruck für die Elemente der inversen Matrix A 1 gegeben. Diese Elemente können jedoch auch durch Lösung von linearen Gleichungssystemen bestimmt werden. Ist A eine quadratische Matrix der Dimension n n und E eine Einheitsmatrix der Dimension n n, erfüllt die Matrix X = A 1 die Gleichung A X = E. (2.234 Für n = 2 können wir diese Gleichung als ( ( a11 a 12 x11 x 12 = a 21 a 22 x 21 x 22 ( (2.235 aufschreiben. Diese Gleichung läßt sich auch als zwei Gleichungssysteme schreiben, nämlich ( ( ( a11 a 12 x11 1 = (2.236 a 21 a 22 x 21 0 und ( a11 a 12 a 21 a 22 ( x12 x 22 = ( 0 1. (2.237 Im Allgemeinfall können wir offensichtlich Gln. (2.234 als n lineare Gleichungssysteme ausdrücken. Jedes Gleichungssystem liefert als Lösung eine Spalte der inversen Matrix A 1. Wir können damit alle Elemente der inversen Matrix durch Lösung der Gleichungssysteme erhalten. 43

44 Benutzen wir eine Notation analog zur erweiterten Koeffizientenmatrix in Gln. (2.171, so können wir die n Gleichungssysteme, die A 1 als Lösung liefern, als ( A E (2.238 aufschrieben. Für die zwei Gleichungssysteme in Gln (2.235 erhalten wir zum Beispiel die Kurzform ( a11 a (2.239 a 21 a Wir können jetzt elementare Zeilenoperationen in dieser Matrix ausführen und damit die zwei Gleichungssysteme in einem Aufwasch lösen. Können wir durch Zeilenoperationen die Matrix in ( 1 0 r s ( t u überführen, so haben wir die Gleichungssysteme in ( ( ( 1 0 x11 x 12 r s = 0 1 x 21 x 22 t u (2.241 umgewandelt. In diesem Fall gilt trivialerweise x 11 = r, x 12 = s, x 21 = t und x 22 = u, das heißt ( r s A 1 =. (2.242 t u Im Allgemeinfall zielen wir also darauf, die Matrix in Gln. (2.238 durch Zeilenoperationen auf die Form ( E B (2.243 zu bringen, da genau dann A 1 = B ist. Für ( 1 3 A = 2 1 liefert Gln. (2.238 ( Durch Zeilenoperationen erhalten wir zunächst ( ( (2.245 (2.246 und dann ( (

45 Also gilt A 1 = ( (2.248 Prüfen Sie nach, ob Gln. (2.125 dieselbe Matrix A 1 liefert. Für die Matrix A = ( lautet das Koeffizientenschema in Gln. ( ( Zeilenoperationen ergeben und so daß A 1 = , (2.251 (2.252, (2.253 (2.254 ist. Prüfen Sie nach, ob die Gleichungen AA 1 = A 1 A = E erfüllt sind. 2.7 Das Matrixeigenwertproblem Wir betrachten eine quadratische Matrix A der Dimension n n, n-komponentige Vektoren x 1, x 2,..., x n und komplexe Zahlen λ C. Gesucht sind zu einer solchen Matrix A diejenigen Vektoren x i und die komplexen Zahlen λ i, für die gilt: A x i = λ i x i (

46 Diese Gleichung kann auch als A x i = λ i E x i (2.256 ausgedrückt werden, wobei E eine Einheitsmatrix der Dimension n n ist. Damit haben wir (A λ i E x i = 0. (2.257 Die Matrix A λ i E = a 11 λ i a 12 a a 1n a 21 a 22 λ i a a 2n a 31 a 32 a 33 λ i... a 3n..... a n1 a n2 a n3... a nn λ i (2.258 heißt die charakteristische Matrix. Die Zahlen λ i heißen Eigenwerte der Matrix A, und die Vektoren x i sind die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A. Mit x i = 0 sind die Gleichungen (2.255 und (2.257 für jeden Wert von λ i erfüllt. Der Nullvektor 0 gilt aber definitionsgemäß nicht als Eigenvektor. Damit Gln. (2.257 Lösungen mit x i 0 besitzt, muß die charakteristische Gleichung det (A λ i E = 0 (2.259 erfüllt sein. Wegen der unendlichen Lösungsmannigfaltigkeit erhalten wir für jeden Eigenwert λ i unendlich viele Eigenvektoren, die wir als α x i schreiben können, wobei α C beliebig ist. Erfüllen λ i und x i die Gln. (2.255 und multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit α A (α x i = λ i (α x i, (2.260 dann erfüllen auch λ i und α x i die Eigenwertgleichung. Man wählt α oft so, daß α x i = 1 (mit α > 0 ist. In diesem Fall spricht man von normierten Eigenvektoren. Um das Eigenwertproblem einer gegebenen, quadratischen Matrix A der Dimension n n zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 1. Zunächst lösen wir die charakteristische Gleichung det (A λ E = 0. (2.261 Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Polynom (das charakteristische Polynom n-ter Ordnung in λ; die n Eigenwerte der Matrix A sind die n Nullstellen λ i (i = 1, 2, 3,..., n dieses Polynoms. 46

47 2. Für jeden Eigenwert λ i bestimmen wir die zugehörigen Eigenvektoren x i durch Lösung des Gleichungssystems Als Beispiel betrachten wir die Matrix ( 1 0 A = 1 2 (A λ i E x i = 0. ( (2.263 Die charakteristische Gleichung ist 1 λ λ = 0 (2.264 oder (1 λ (2 λ = 0. (2.265 Die Eigenwerte der Matrix A erhalten wir als die Lösungen dieser Gleichung: λ 1 = 1 und λ 2 = 2 (2.266 Wir bestimmen jetzt die Eigenvektoren, die zum Eigenwert λ 1 = 1 gehören, indem wir das Gleichungssystem ( ( ( ( 1 λ1 0 1 λ1 0 x11 0 x 1 2 λ 1 = = ( λ 1 x 12 0 lösen. Einsetzen von λ 1 = 1 liefert die beiden Gleichungen 0 x x 12 = 0 (2.268 ( 1 x x 12 = 0 (2.269 Gleichung (2.268 ist trivialerweise erfüllt für alle (x 11, x 12, aber Gln. (2.269 ergibt x 11 = x 12. (2.270 Mit x 11 = α haben wir damit x 1 = ( x11 x 12 = ( α α. (2.271 Dieser Vektor soll, zusammen mit λ 1 = 1, die Eigenwertgleichung A x 1 = λ 1 x 1 (

48 erfüllen, das heißt ( ( α α ( α = α ( α = 1 α. (2.273 Wir stellen fest, daß die Eigenwertgleichung erfüllt ist. Der Eigenvektor x 1 ist dann normiert, wenn ist. Für den normierten Vektor gilt also x 1 = x 1 x 1 = 1 (2.274 x 1 x 1 = α 2 + α 2 = 1, (2.275 und damit α = 1 2. (2.276 Der zum Eigenwert λ 1 = 1 gehörende, normierte Eigenvektor ist folglich ( 1/ 2 x 1 = 1/. ( Die zum Eigenwert λ 2 = 2 gehörenden Eigenvektoren berechnen sich aus ( ( ( ( 1 λ2 0 1 λ2 0 x21 0 x 1 2 λ 2 = =. ( λ 2 x 22 0 Einsetzen von λ 2 = 2 liefert die beiden identischen Gleichungen ( 1 x x 22 = 0 (2.279 ( 1 x x 22 = 0 (2.280 mit der allgemeinen Lösung x 2 = ( x21 x 22 = ( 0 α, (2.281 wobei α beliebig ist. Einsetzen in die Eigenwertgleichung zur Probe ergibt hier ( ( 0 α A x 2 = λ 2 x 2 (2.282 = ( 0 2 α 48 = 2 ( 0 α. (2.283

49 Die Eigenwertgleichung ist erfüllt. Normierung des Eigenvektors nach liefert x 2 x 2 = α 2 = 1 (2.284 α = 1 (2.285 und damit lautet der zum Eigenwert λ 2 = 2 gehörende, normierte Eigenvektor ( 0 x 2 =. ( Einige Sätze (a Hat die charakteristische Gleichung n verschiedene Lösungen λ i, so gilt det (A λ E = 0 (2.287 zu jedem λ i gibt es genau einen Eigenvektor x i bestimmt bis auf einem Faktor α und die n verschiedenen Eigenvektoren x i sind linear unabhängig. Man spricht von Entartung, wenn mehrere Eigenwerte gleich sind. (b Ist die Matrix A selbstadjungiert (hermitesch; A = A, so gilt: alle n Eigenwerte sind reell. Eigenvektoren x i und x j, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, erfüllen die Gleichung ( x i x j = 0. Es läßt sich eine unitäre Matrix C finden, so daß B = C 1 A C (2.288 eine Diagonalmatrix B = λ λ λ ( λ n 49