I) MATRIZEN. 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n

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1 I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y1 = a11x1+ a12x2 + a13x3 y2 = a21x1+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1,2,3,..., m j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n Definition m x n Matrix Matrix mit m Zeilen und n Spalten = Zahlenschema Lineare Algebra Seite 1/ von 49 Folien

2 A( mn, ) a11 a1n =, aik R a m1 a mn Praxisanwendungen: 1) Lösen von linearen Gleichungssystemen 2) Geometrische Transformationen Der Formalismus: y = A* x y1 a11 a1n x1 = y m ( ) am1 a mn ( ) x n m,1 m, n ( n,1) Lineare Algebra Seite 2/ von 49 Folien

3 Beispiele von Matrizen Beispiel 1: Schnitt zweier Ebenen x1+ x2 + 2x3 = 4 1 3x1+ x2 x3 = x 2 = x 3 x Beispiel 2: spezielle Matrizen a) Die Einheitsmatrix E n 1 0 = 0 1 ( nn, ) Lineare Algebra Seite 3/ von 49 Folien

4 b) Die Nullmatrix O mn, 0 0 = 0 0 ( mn, ) c) Reelle Zahlen r als 1x1 Matrizen ( r ) ( 1,1 ) Lineare Algebra Seite 4/ von 49 Folien

5 Rechnenregeln 1) Gleichheit A = B m= p n= q a = b i j mn, pq, ij ij, 2) Multiplikation mit einem Skalar s, A mn, a 11 1n mn, = s a m1 a mn s A a sa11 sa1n = sam1 sa mn Lineare Algebra Seite 5/ von 49 Folien

6 Für s = n Amn, = am1 a mn ( 1) a Rechenregeln: a (1) s A= As (2) p( qa) = ( pq) A (3) 0A = Omn, Nullmatrix Lineare Algebra Seite 6/ von 49 Folien

7 3) Die Addition / Subtraktion: funktioniert nur wenn beide Matrizen die gleiche Anzahl Zeilen und Spalten haben. C = A + B mn, mn, mn, a11 a1n b11 b1 n + = a a b b m1 mn m1 mn a + b a + b a + b a + b n 1n m1 m1 mn mn Elementweise Addition: Subtraktion: ( 1) ( ) A B = A+ B = a b mn, mn, ij ij mn, Lineare Algebra Seite 7/ von 49 Folien

8 Rechenregeln: A + B = B+ A A + B + C = A+ B+ C A + 0 = A A + A = ( ) ( ) ( ) 0 1 A = A p( A+ B) = pa+ pb p+ q A= pa+ qa ( ) Bemerkung: Diese formalen Regeln der Operationen mit Matrizen sind ähnlich wie die entsprechenden Regeln der Vektorrechnung. Deshalb können Matrizen im abstrakten Sinne auch als "Vektoren" eines abstrakten 'Vektorraumes' aufgefaßt werden. Lineare Algebra Seite 8/ von 49 Folien

9 4) Die Multiplikation von Matrizen wobei = C mn, A mk, C kn, k cij = aip bpj p= 1 d.h. das Element c ij der Produktmatrix ist das Skalarprodukt der Zeile i von A mit der Spalte j von B. Lineare Algebra Seite 9/ von 49 Folien

10 Das Falk Schema = B A= = C Lineare Algebra Seite 10/ von 49 Folien

11 Beispiele für die Matrixmultiplikation 1) Produkt möglich 2) Produkt nicht möglich 3) Quadratische Matrizen 4) Reihenfolge 2 A= ( ), B = ) Nullteiler A=, B. 1 1 = 1 1 6) Potenzen 101 n n A= 010. A =? ( a 13 = n) 001 7) Symmetrische Matrizen 8) a = f(, i j) ij Lineare Algebra Seite 11/ von 49 Folien

12 Rechenregeln 1) ( λ A) B = A( λb) = λ( AB). 2) A B BA 3) ( A BC ) = ABC ( ) = ABC 4) A( B+ C) = AB+ AC 1 0 5) AE = E A= A, E = Hausaufgabe: Aufg. 6,8,10-13,16 BzM 2 Transponieren Definition: Zeilen mit Spalten vertauschen T ( ) ( ) A = a A = A = a ij Rechenregeln T 1) ( A + B) = A + B 2) ( T A ) T T T = A 3) ( ) T T T AB = B A ji Lineare Algebra Seite 12/ von 49 Folien

13 Anwendung der Matrixmultiplikation bei linearen Abbildungen Definition: R R sind defi- Lineare Abbildungen niert als L : 2 2 y = L( x) = A x wobei A eine 2x2 Matrix ist und 2 x, y R. Beispiele Geometrische Transformationen der Ebene wie Rotationen, Spiegelungen, Streckungen usw. werden durch lineare Abbildungen 2 2 L : R R beschrieben. Lineare Algebra Seite 13/ von 49 Folien

14 Spiegelungen an der x-achse haben als Transformationsmatrix S 1 0 = 0 1 Rotationen um den Ursprung O (0 0) mit Drehwinkel ϕ haben die Drehmatrix R cosϕ sinϕ = sinϕ cosϕ Bei der Verkettung von geometrischen Trafos werden die Matrizen multipliziert. Lineare Algebra Seite 14/ von 49 Folien

15 Beispiel Gegeben sind A(0 0), B(0 1), C (1 1). Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks ABC nach: a) einer Rotation um O (0 0) mit ϕ = π /4. b) einer Spiegelung an der x-achse. c) der Rotation a) gefolgt von der Spiegelung b). d) Trafo b) gefolgt von a). Lineare Algebra Seite 15/ von 49 Folien

16 II) DETERMINANTEN Definition ( ) A = ai, j,1 i, j n. Entwicklung nach der Zeile i: n i+ j i, j i, j j= 1 det( A) = a ( 1) U Entwicklung nach der Spalte j: n i+ j i, j i, j i= 1 det( A) = a ( 1) U wobei U i, j die Unterdeterminante ist, in der die Zeile i und die Spalte j entfernt wurden. Bemerkungen 1) Rekursive Definition (n=2, 3,...) 2) Sarrusregel als Alternative nur für n=3. 3) Schachbrettregel für die Vorzeichen Lineare Algebra Seite 16/ von 49 Folien

17 Beispiele: 1) = Entwicklung nach der 2. Zeile. Ergebnis = 4. 2) BzM 2: Aufgaben 20a, 18b, 19c 3) Satz: det( A B) = det( A) det( B) Hausaufgabe: BzM 2, Aufg. 20b, 18c, 22, 23 Lineare Algebra Seite 17/ von 49 Folien

18 III) DIE INVERSE MATRIX Definition: A inva ( ) = inva ( ) A= E Bezeichnung: inv( A) = 1 A Satz: Wenn A eine quadratische Matrix ist und det( A) 0, dann ist die Matrix invertierbar. Bemerkung: Matrizen mit der Eigenschaft det( A) 0 werden reguläre Matrizen genannt; wenn det( A ) = 0 ist die Matrix singulär und nicht invertierbar. Lineare Algebra Seite 18/ von 49 Folien

19 Die Berechnung der Inversen für 2x2 Matrizen A a b 1 =, A =? c d Beispiel A 2 1, 1 x y A? = 1 3 = = z t Lösung: x y A A = z t 2x z 2y t 1 0 = = x+ 3z y+ 3t 0 1 Lineare Algebra Seite 19/ von 49 Folien

20 2x z = 1 x = 3/7 2y t 0 = y = 1/7 x+ 3z = 0 z = 1/7 y+ 3t = 1 t = 2/7 Ergebnis: A = Probe: A A = = E = = 0 1 Lineare Algebra Seite 20/ von 49 Folien

21 Berechnung der Inversen für 2x2 Matrizen: A a b 1 1 d b, A = c d = det( A) c a Berechnung der Inversen für nxn Matrizen mit dem Gauß Algorithmus * (optional) Verfahren: ( A E) ( E inv( A) ) Beispiel* (optional): A = ; A =? Die Zeilenoperationen sind in den eckigen Klammern angegeben. Lineare Algebra Seite 21/ von 49 Folien

22 [ Z3 5Z1 2Z3] [ Z3 2Z3 Z2] Z1 Z Z 2+ Z ( 1) Z Z2 Z2/ Z1 Z1 Z Lineare Algebra Seite 22/ von 49 Folien

23 / [ Z Z ] Ergebnis: A = Probe: 1 1 AA = A A= E Lineare Algebra Seite 23/ von 49 Folien

24 Rechenregeln 1) 2) 1 1 AA = A A= E 1 1 ( A ) = A AB = B A 1 T T A = A 3) ( ) ) ( ) ( ) 1 1 5) Ax = b x = A b 6) xa= b x = ba * 7)* A = A det A ( ) ( ) Anwendungen der Inversen 1) Lösen von LGS 2) Lösen von Matrixgleichungen 3) Berechnung von geometrischen Transformationen. T Hausaufgabe:Aufg. 36, 37, 46 Lineare Algebra Seite 24/ von 49 Folien

25 IV) LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (LGS) Definition: LGS mit m Gleichungen, n Unbekannten xk, k = 1,2, n und Koeffizienten a, b : i = 1, 2,, m; k = 1, 2, n : ik i a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 a x + a x + + a x = b m1 1 m2 2 mn n m Matrixdarstellung: a11 a1n x1 b1 = a a x b m1 mn n m Lineare Algebra Seite 25/ von 49 Folien

26 A x = b = Matrix, x R, A m n n b R m 1. Die Lösung durch Gauß Elimination Durch elementare Umformungen der erweiterte Systemmatrix A = ( Ab) wird die Systemmatrix A auf eine Dreiecks- oder Trapezform gebracht (je nach Dimension). Das zugehörige äquivalente gestaffelte System ist durch Substitutionen leicht lösbar. Elementare Umformungen sind lineare Kombinationen von Zeilen der Matrix A = ( Ab). Sie werden mit dem Symbol ~ bezeichnet. Spaltentausch ist auch zulässig. Lineare Algebra Seite 26/ von 49 Folien

27 Beispiel 1: 2x1+ x2 x3 = 1 2x2 + x3 = 7 5x1+ 2x2 3x3 = 0 Lösung: A = [ Z3 5Z1 2Z3] [ Z3 2Z3 Z2] Lineare Algebra Seite 27/ von 49 Folien

28 Das entsprechende gestaffelte System ist von unten nach oben lösbar: x = x2 = (7 x3 ) = x1 = (1 x2 + x3 ) = 1 2 Beispiel 2: 2x1+ 3x2 + 7x3 + 4x4 = 6 x1 2x2 4x3 + 5x4 = 1 4x1+ 3x2 x3 2x4 = 0 6x1+ 5x2 + x3 7x4 = 2 Lösung: Lineare Algebra Seite 28/ von 49 Folien

29 ~ ~[ S 2 S 3] ~ Lineare Algebra Seite 29/ von 49 Folien

30 ~ ~ ~ Lineare Algebra Seite 30/ von 49 Folien

31 Das entsprechende gestaffelte System: x4 = 0 (siehe Spaltentausch) x2 = x3 = (8 7 x2) = = x = 1+ 4x + 2x = Beispiel 3: x1 6x2 + 4x3 = 1 3x1 4x2 + 5x3 = 1 2x1 + 2x2 + x3 = 1 Lösung: Lineare Algebra Seite 31/ von 49 Folien

32 ~ ~ = 1! Das System führt zu einem Widerspruch und ist somit nicht lösbar. Beispiel 4: x1 8x2 3x3 = 1 3x1 4x2 + 5x3 = 1 2x1 + 2x2 + x3 = 1 Lösung: Lineare Algebra Seite 32/ von 49 Folien

33 ~ ~ Das System ist unterbestimmt und durch Einführung eines Parameters lösbar: x 3 = t 1 x2 = (1 + 7 t ) x1 = 1 8 (1+ 7 t) + 3t = t 14 7 Lineare Algebra Seite 33/ von 49 Folien

34 x1 3/7 t xt () = x 2 = (1+ 7)/14 t = x 3 t 3/7 1 xt ( ) = 1/14+ t 1/2, t R. 0 1 Das System hat somit Lösungen, die auf einer Gerade liegen. Beispiel 5: x1 5x2 = 5 x1 + 2x2 = 4 2x 3x = Lösung: Das System ist überbestimmt. Lineare Algebra Seite 34/ von 49 Folien

35 ~ ~ Die Lösung ist: x = x = 5 = Rang einer Matrix Definition: Rang einer Matrix Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl seiner linear unabhängigen Zeilen. Satz : Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der von verschiedenen Zeilen nach der Gaußelimination. Lineare Algebra Seite 35/ von 49 Folien

36 Beispiele: 1) rang( A) =rang( A)=3 2) rang( A) =rang( A)=4 3) rang( A) =2; rang( A)=3 4) rang( A) =rang( A)=2 5) rang( A) =rang( A)=2 Hauptsatz der Linearen Algebra: Das LGS A x = b ist lösbar genau wenn rang( A) =rang( A) Lineare Algebra Seite 36/ von 49 Folien

37 Die Lösungsalternativen: A sei eine m n Matrix und r der rang von A 1) Wenn A quadratisch ist und wenn gilt rang( A)=dim( A)=n, dann liegt eine eindeutige Lösung vor. 2) Wenn r=rang( A) =rang( A) < m, dann liegt eine ( m r) - parametrige Lösungsschar vor. 3) Wenn rang( A) rang( A), dann ist das System nicht lösbar. 3. Systeme mit Parameter Beispiel 6: x1 + x2 + p x3 = 1 x1 + p x2 + x3 = p px1 + x2 + x3 = p 2, p R Lösung: Lineare Algebra Seite 37/ von 49 Folien

38 1 1 p p 1 1 p 1 p ~ 0 p 1 1 p p p 1 1 p 0 1 p 1 p p p 1 1 p 1 ~ 0 p 1 1 p p p p p 1 Fallunterscheidung nach p R: 1) Für p R \{1, 2} : 2 p 1 ( p 1)( p+ 1) x3 = = 2 2 p p ( p 1)( p+ 2) p + 1 p 2 x3 = + Lineare Algebra Seite 38/ von 49 Folien

39 1 p + 1 x2 = p 1 ( p 1) p 1 p x2 = p p + 1 x1 = 1 + p p+ 2 p+ 2 x = 1 p 2 + 2p+ 1 p + 2 1) Für p = 2: 1 1 p 1 A~ 0 p 1 1 p p p p p = Lineare Algebra Seite 39/ von 49 Folien

40 Und somit ist das System nicht lösbar (Widerspruch). 2) Für p = 1: 1 1 p 1 A~ 0 p 1 1 p p p p p = Das System besitzt eine 2 parametrige Lösungsschar: x3 = s, x2 = t, x = 1 s t 1 Die Lösungen liegen in der Ebene: Lineare Algebra Seite 40/ von 49 Folien

41 x1 s x = x(,) s t = x 2 = t x 3 1 s t x = 0+ s 0 + t 1 ; s, t R Die Cramerregel Es sei A eine 3 3 Matrix mit den Spaltenvektoren a 1, a 2, a 3 : ( ) A a a a =, und A x = b ein lineares Gleichungssystem. Das System A x = b ist eindeutig lösbar genau wenn det( A) 0. Die Lösung ist: Lineare Algebra Seite 41/ von 49 Folien

42 x x x = = = ( ba a) det det( A) 2 3 ( a b a ) det det( A) 1 3 ( a a b ) det 1 2 det( A) Beispiel 6: Lösung mit Cramerregel 5 Homogene Systeme Definition: 1) Das System A x = 0 wird homogenes System genannt. 2) Die Lösung x = 0 wird triviale Lösung gemannt. Satz: Ein homogenes System A x = 0mit quadratischer Matrix A hat nichttriviale Lösungen genau wenn det( A) 0. Lineare Algebra Seite 42/ von 49 Folien

43 Beispiel 7: Für welche Werte des Parameters p R hat das folgende System nichttriviale Lösungen. Welches sind diese? px1 x2 + 2x3 = 0 2x1 + px2 x3= 0, p R. px2 + x3= 0 Lösung: p 1 2 p det( A) = 2 p 1 = p ( 1) p p 1 2 p + 2 = 2p p = 2( p+ 1) 0 p 2 2 Es gilt: det( A ) = 0 für p = 1. Lineare Algebra Seite 43/ von 49 Folien

44 Die nichttrivialen Lösungen für p = 1 berechnen wir mit der Gauß Elimination: ~ ~ Das System ist unterbestimmt: x3 = t, x = t, 2 x = 2t t = t 1 V) ANWENDUNGEN DER LINEAREN ALGEBRA A) EIGENWERTPROBLEME Lineare Algebra Seite 44/ von 49 Folien

45 Viele Praxisanberechnungen (z.b. Frequenz von Schwingungen, Hauptachsen von Ellipsoiden) werden zurückgeführt auf das folgende Problem: Wann ist der Vektor Av parallel zu v? (EWP) Eigenwertprobleme: A ist eine quadratische Matrix der Dimension n. Gesucht sind Zahlen λ ( λ 0) und Vektoren v 0 für die gilt: Av = λ v Die Zahlen λ mit dieser Eigenschaft werden Eigenwerte (EW) der Matrix A genannt, die entsprechenden Vektoren v sind die Eigenvektoren (EV) zum Eigenwert λ. Die Lösung: ( ) Av = λ v Av λ v= 0 A λ E v= 0 Lineare Algebra Seite 45/ von 49 Folien

46 Mathematisch ist ein AWP ein homogenes LGS mit einem Parameter λ. Satz Die EW der Matrix A sind die Lösungen λ = λ1, λ2,... der charakteristischen Gleichung: Die EV zum EW ( λ ) P( λ) = det A E = 0; λ = λ sind die Lösungen v k des homogenen (unterbestimmten) Systems: ( A λ E) v 0 k k =. Beispiel 1: 2 1 A = 1 2 Lineare Algebra Seite 46/ von 49 Folien

47 Lösung 1) Berechnung der Eigenwerte Ansatz: 2 λ 1 det( A λe) = 0 = λ 2 (2 λ) 1= 0 λ = 1, λ = ) Berechnung der Eigenvektoren Ein Eigenvektor zum Eigenwert λ = λ1 : Ansatz: 1 1 v1 0 ( A λ1e) v = 0 = 1 1 v 2 0 v = (unterbestimmtes LGS!) 1 v2 0 Lineare Algebra Seite 47/ von 49 Folien

48 Eine Lösung des LGS ist v 1 = v 2 = 1 und 1 1 ein Eigenvektor v = 1. Für λ 2 = 3 ergibt sich analog v 2 1 = 1. Beispiel 2: A 2 1 = 1 2 Lösung 1) Berechnung der Eigenwerte 2 λ 1 det( A λe) = 0 = λ 2 ( 2 λ) + 1= 0 λ R 1,2 (siehe komplexe Zahlen, Mathe 2) Lineare Algebra Seite 48/ von 49 Folien

49 2) 5 4 A = 1 2 3) A = Hausaufgabe: BzM 2 Aufg. 47, Prüfungsaufgaben: A = 1 1 1, B = Wiederholungsaufgaben BzM2, Prüfungen ab S2000, Blatt Lineare Algebra, B) ABBILDUNGEN BzM 2, Seite und Folien Lineare Algebra Seite 49/ von 49 Folien