V DETERMINANTEN In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie der Determinanten Die folgenden Beispiele sollen die Einfuhrung dieses Begries motivieren

Transkript

1 SKRIPTUM { LINEARE ALGEBRA II JB COOPER Inhaltsverzeichnis: x Determinanten x Eigenwerte x Euklidische Raume x8 Dualitat, Tensorprodukte, Alternierende Formen Anhang: ) Mengen, Abbildungen ) Gruppen ) Die komplexen Zahlen

2 V DETERMINANTEN In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie der Determinanten Die folgenden Beispiele sollen die Einfuhrung dieses Begries motivieren I Betrachten wir das einfache Gleichungssystem: Die Losung ist x = ed fb ad bc ; ax + by = e cx + dy = f af ce y = ad bc falls ad bc = 0, oder, wenn wir die Bezeichnung a b = ad bc c d einfuhren, x = e f a c Wir stellen daher folgende Frage: Gibt es eine Funktion b a d c ; y = b a d c : M n! R; soda die Losung von AX = Y folgendermaen gegeben wird: e f b d wobei (falls A = 0)? A i = x i = A i A a : : : a i y a i+ : : : a n a n : : : y n : : : a nn Wir werden unten sehen, da eine solche Funktion tatsachlich existiert II Erinnern wir uns, da ad bc = a c b d

3 der Flacheninhalt des von den Vektoren (a; c) und (b; d) aufgespannten Parallelogramms ist Anderseits gilt: a b (a; c) = fe, (c; d) = fe wobein e = (; 0), e = (0; ) und f der von erzeugte c d Operator ist Eine naturliche Verallgemeinerung der -dimensionalen Determinante ware daher: Sei A = [ ; : : : ; ] eine n n Matrix, wobie A i die i-te Spalte von A ist Wir denieren A = das Volumen des von ; : : : ; aufgespannten Parallelopeds = das Volumen des Bildes bzgl f A des Einheitswurfels f( ; : : : ; n ): 0 i ; i = ; : : : ; ng Geometrisch ist dann klar, da a) I n = ; b) ist linear in jeder Spalte dh [ ; : : : ; A i + A 0 i ; : : : ; ] = [ ; : : : ; ] + [ ; : : : ; A 0 i ; : : : ; ] : c) falls A i = fur irgendwelche i; j mit i = j, dann ist (A) = 0 Wir werden jetzt zeigen, da eine Funktion mit diesen Eigenschaften existiert (Tatsachlich werden wir die Existenz einer Funktion, die bezuglich der Zeilen linear ist, beweisen Spater werden wir allerdings sehen, da sie dann automatisch linear bzgl der Spalten ist) Genauer: Es gibt genau eine Funktion : M n! R mit den Eigenschaften (i) ist linear in jeder Zeile (ii) I n = (iii) vertauscht man zwei Zeilen einer Matrix A, so andert sich das Vorzeichen der Determinanten Bevor wir beweisen, da eine solche Abbildung existiert, werden wir einige ihrer Eigenschaften untersuchen(!!!) I Sind zwei Zeilen einer Matrix A gleich, so gilt A = 0 (Denn nach (iii) gilt A = A (vertausche die identischen Zeilen!)) II Ersetzt man die i-te Zeile A i von A mit der Summe A i + (i = j), so andert sich die Determinante nicht Dh A i = A i +

4 Denn A i + = A i + (Linearitat) = ( = 0 nach I): III A = 0 falls eine Zeile linear abhangig von den anderen ist Denn sei = + + j + j n, dann gilt: : : : : : : : = + + j + j n + = X i<j i A i A i + X i>j i A i A i = 0 IV A = 0 falls Rang A < n V Es gibt hochstens eine Abbildung mit Eigenschaften (i) { (iii) Denn seien, solche Abbildungen Dann gilt A = 0 = A falls rang A < n Betrachten

5 wir daher Matrizen A mit Rang n Wir wissen, da wir A durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix I tranformieren konnen Es gilt I n = I n und jede Umformung induziert dieselbe Anderung in bzw Daher gilt A = A Wir beweisen jetzt die Existenz einer Abbildung mit obigen Eigenschaften Wir fuhren einen Induktionsbeweis nach n durch: Fur n = ist die Aussage klar (setze [a] = a) Der Schritt n! n Wir denieren: A = a a + + ( ) n+ a n = nx i= ( ) +i a i A i wobei A i die (n ) (n ) Matrix ist, die man durch Weglassen der ersten Spalte und der i-ten Zeile bekommt (NB jedes A i ist eine (n ) (n ) Matrix { daher ist A i deniert (Induktionshypothese)) Wir zeigen, da diese Abbildung die Eigenschaften (i) { (iii) besitzt: ) Linearitat in der k-ten Zeile; die Determinanten von ; ; : : : ; A k ; ; A k+; ; : : : ; sind linear, nach der Induktionsvoraussetzung Der Ausdruck a k A k ist linear in a k und A k ist unabhangig von A k ) I n = { einfacher Induktionsbeweis: ) Sei A = A i ; A 0 = A = a + + ( ) +i a i A i + a n A 0 = a A 0 a A ( ) +i a 0 i A 0 i + a 0 n A 0 n : Fur k = i oder j ist A 0 k einfach A k mit zwei Zeilen vertauscht Daher gilt A 0 k = A k (Induktionsannahme) A i

6 An der i-ten Stelle der Entwicklung von A bzw der j-ten Spalte der Entwicklung von A 0 stehen die Ausdrucke ( ) +i a i d A i A i+ bzw ( ) +j a i d A i A i+ + wobei das Dach bedeutet, da die erste Spalte gestrichen ist Man kann die zweite Matrix in die erste uberfuhren, indem man j i Zeilenvertauschungen durchfuhrt Daher gilt: also d A i A i+ = ( ) j i d A i A i+ ( ) +i a i A i = ( ) +j a 0 i A 0 i Ahnlicherweise gilt Damit gilt A 0 = A Der Ausdruck ( ) +j a j = ( ) +i a 0 i A 0 i A = a a + : : : heit die Entwicklung von ach der ersten Spalte Ahnlicherweise kann man A nach der j-ten Spalte entwickeln: A = nx i= ( ) i+j a ij A ij

7 wobei A ij die (n ) (n ) Matrix, die man durch Weglassen von der i-ten Zeilen und der j-ten Spalte bekommt, ist Der gleiche Beweis wie oben zeigt, da dieser Ausdruck auch Eigenschaften (i) { (iii) besitzt Die Formel folgt dann aus der Eindeutigkeit Als Beispiel zeigen wir, da die Determinante A einer Dreiecksmatrix a a : : : a n 0 a : : : a n 0 0 : : : a nn gleich das Produkt a a : : : a nn der diagonalen Elemente ist Denn wenn wir ach der ersten Spalte entwickeln, sehen wir, da A = a a : : : : : : : : : a n 0 : : : : : : : : : a n 0 : : : : : : : : : a nn Das gesuchte Ergebnis folgt mit Hilfe der mathematischen Induktion Nach diesem Beispiel kann man folgenden Algorithmus zur Rechnung von Determinanten verwenden Mit Hilfe der Gau'schen Elimination reduziert man A auf eine Dreiecksmatrix, deren Determinante man leicht ausrechnen kann Am bequemsten macht man das wie folgt: Beispiel: Berechne 0 0 0

8 A = = = 0 = 0 = 0 0 = = 0 0 = (Eigentlich wurde man bei Schritt (x) aufhoren und die Determinante wie im Kap II ausrechnen) Wir haben gesehen, da A = 0 falls die Zeilen von A linear abhangig sind, dh falls Rg A < n Jetzt zeigen wir, da die Umkehrung gilt, dh Rg A = n oder A ist invertierbar genau dann, wenn A = 0 Aber falls Rg A = n, dann konnen wir A durch Anwendung von elementaren Zeilenformungen aus I n gewinnen Da I n = = 0 und die Zeilenformungen die folgende Wirkung auf die Determinante haben, gilt A = 0 ) Austausch von A i und : Multiplikation mit ) A i! A i + : Determinante unverandert ) A i! A i ( = 0): Multiplikation mit Mit diesen Eigenschaften ist es jetzt fast trivial, die Multiplikativitat der Determinante zu beweisen Es gilt namlich: AB = A B Denn die Abbildung A! AB erfullt die Bedingungen (i) und (iii) Wir betrachten jetzt zwei Falle: a) B = 0 Dann erfullt AB A! B

9 AB Bedingungen (i) { (iii) { also gilt = A (Eindeutigkeit!) B b) B = 0 Dann gilt Rang B < n und daher Rang AB < n dh AB = 0 Inverse und Determinanten: Sei A eine n n Matrix Wir fuhren die Matrix ein Sei (adj A)A = [b ik ] Dann gilt: adj A = [( ) i+j i ] b ik = ( ) i+ i a k + ( ) i+ A i a k + + ( ) i+n i a nk Daraus folgt: b ii = A Denn rechts steht die Entwicklung von A bzgl der i-ten Spalte Anderseits gilt b ik = 0 falls i = k: Denn in diesem Fall haben wir die Entwicklung von ~ A bzgl der k-ten Spalte, wobei ~A die Matrix ist, die man erhalt, wenn man die i-te Spalte von A durch die k-te Spalte ersetzt Es gilt ~ A = 0, weil Rg ~ A < n Damit haben wir folgende Formel bewiesen adj A:A = ( A):I n Satz: Sei A eine n n Matrix mit A = 0 Dann ist A invertierbar und A = A adj A = A [( )i+j i ]: Bis jetzt sind wir bei der Behandlung von Determinanten von der Linearitat bzgl der Zeilen ausgegangen Genauso logisch ware es gewesen, eine Funktion zu nden, die linear bzgl den Spalten ware Analoge Uberlegungen wie oben fuhren zu einer Funktion Det mit der Eigenschaft: Wir werden jetzt sehen, da Det A: = nx j= ( ) i+j a ij Det A ij : A = Det A soda auch automatisch linear bzgl der Spalten ist Zunachst folgende Bemerkung Es gilt: Det A = 0 genau dann, wenn A = 0

10 Denn A = 0 (bzw Det A = 0) genau dann, wenn der Zeilenrang (bzw Spaltenrang) von A kleiner als n ist Dh Det(A) = A fur nicht invertierbare Matrizen Sei daher A invertierbar Wir wissen, da A = A = A:I n Wir fuhren jetzt einen Induktionsbeweis nach n durch n = : [a] = a = Det[a] n! n: Aus der Formel A(adj A) = A:I n sehen wir, da A = = nx j= nx j= ( ) i+j a ij A ij ( ) i+j a ij Det A ij (Induktionsannahme) = Det A (Entwicklung von Det ach der i-ten Zeile) Eine nutzliche Formel zum Ausrechnen von Determinanten ist die folgende: Sei A eine n n Matrix mit Blockdarstellung B C A = 0 D wobei B eine n n Matrix ist Dann gilt: A = B D Beweis: Wir konnen annehmen, da A und daher auch B; D invertierbar sind (denn sonst waren sowohl A als auch B D gleich null) Zunachst gilt: I B C 0 I = Daher gilt: Die Funktion B A = C 0 D I B C 0 I B 0 B! 0 D erfullt die Bedingungen (i), (iii) auf SV Daher gilt B 0 0 D = c B B 0 = 0 D

11 wobei Es ist aber klar, da I 0 c = 0 D I 0 = D 0 D Die CRAMER'sche Regel: Jetzt kehren wir zu unserer ersten Uberlegung uber die Anwendung von Determinanten auf Gleichungen zuruck Satz: Betrachte die Gleichung AX = Y, wobei A = 0 Losung x = x Dann ist die (eindeutige) gegeben durch: x i = x n a : : : a ;i y a ;i+ : : : a n a n : : : a n;i y n a n;i+ : : : a nn [a ij ] Beweis: Man kann die Gleichungen wie folgt hinschreiben: x a a n dh die Spalten der Matrix + + x i a i y i x i a ni y n + + x n a n = 0 a nn a : : : a ;i (x i a i y ) : : : a n a n a n;i (x i a ni y n ) : : : a nn sind linear abhangig { daher ist die entsprechende Determinante null Wegen der Linearitat der i-ten Spalte gilt: x i [a ij ] a : : : a ;i y a ;i+ : : : a n a n : : : y n : : : a nn = 0

12 Wir haben gerade gesehen, wie wir jeder n n Matrix A eine Zahl ( A) zuordnen kann, mit der Eigenschaft (unter anderen), da sie aussagt, ob die Matrix invertierbar ist Da wir jedem Operator eine Matrix zuordnen konnen, ist es naheliegend, die Determinante eines Operators als die Determinante dieser Matrix zu denieren Da aber die Matrizendarstellung eines Operators abhangig von der Basiswahl ist, konnte diese Determinante a priori auch von der Basiswahl abhangig sein Wir werden aber jetzt zeigen, da dies nicht der Fall ist Denn sei (x ; : : : ; x n ) bzw (x 0 ; : : : ; x0 n) eine Basis fur einen Vektorraum V, A und B die Matrizendarstellung von f L(V ) bzgl (x ; : : : ; x n ) bzw (x 0 ; : : : ; x0 n) Wir behaupten, da A = B Denn wir wissen, da A = S B S wobei S die Ubergangsmatrix von (x ; : : : ; x n ) nach (x 0 ; : : : ; x0 n) ist Dann gilt: A = (S B S) = (S ) B S = (S ) S B = (S S) B = (I n ) B = B: Daher konnen wir jetzt die folgende Denition aufstellen: Denition: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, f L(V ) Dann denieren wir: f: = A wobei A die Matrizendarstellung von f bzgl einer Basis fur V ist Diese Abbildung hat folgende Eigenschaften, die sofort aus den entsprechenden Eigenschaften von Matrizenerminanten folgen: I f = 0, f ist ein Isomorphismus II fg = f g III (Id) = Zum Schlu dieses Kapitels bringen wir eine Zusammenfassung einiger Anwendungen von Determinanten: I Losbarkeit von Gleichungssystemen: Das System a x + + a in x n = y a n x + + a nn x n = y n

13 ist genau dann immer losbar, wenn [a ij ] = 0 II Das Erkennen von Basen: Sei (x ; : : : ; x n ) eine Basis fur V Eine Menge (x 0 ; : : : ; x0 n) ist genau dann eine Basis, wenn P [t ij ] = 0, wobei x 0 = n j t ij x i i= (ZB: (; ; ; ), (0; ; ; ), (0; 0; ; ), (0; 0; 0; ) ist eine Basis fur R, weil = ): 0 III Strecken, Flacheninhalt, Rauminhalt: Seien ; Punkte in R Dann ist = die Lange der Strecke von nach (mit Vorzeichen) (NB Das Vorzeichen ist wichtig { etwa damit die Lange additiv ist) Seien jetzt A = ( ; ), = ( ; ), C = ( ; ) Punkte in R ist der Inhalt des Dreiecks ABC (Das Vorzeichen hat folgende geometrische Bedeutung: Der Inhalt ist positiv, wenn der Umlauf A! B! C gegen den Uhrzeigersinn ist Es gilt dann immer ABC = OAB + OBC + OCA) Falls A = ( ; ; ), B = ( ; ; ), C = ( ; ; ), D = ( ; ; ) in R sind, dann ist! der Rauminhalt des Tetraeders ABCD IV Wirkung von linearen Abbildungen auf Inhalt Sei f eine lineare Abbildung von R in R mit Matrix A = a a a a a a : a a a

14 f bil den Tetraeder BCDE in den Tetraeder B 0 C 0 D 0 E 0 wobei B 0 = f(b) usw Der Inhalt von BCDE ist: und von B 0 C 0 D 0 E 0 wobei = A t 0 0 Es gilt daher: Inhalt B 0 C 0 D 0 E 0 = ( A) (Inhalt BCDE) Dh f multipliziert alle tetraederinhalte (und daher alle Inhalte) mit dem Faktor A V Kurvengleichungen: Seien P = ( ; ), Q = ( ; ) verschiedene Punkte in R Gesucht ist die Gerade L a;b;c durch P und Q Es gilt: a + b + c = 0 () a + b + c = 0 () ( ; ) liegt auf der Geraden, wenn a + b + c = 0 (): Wir haben drei Gleichungen (); (); () in a; b; c Eine nicht triviale Losung existiert genau dann, wenn = 0 Dies ist die gesuchte Gleichung: (Beispiel: Die Gerade durch (; ), (; ) hat die Gleichung: dh + 8 = 0) = 0

15 Ahnliche Uberlegungen fuhren zu folgenden Ergebnissen: Die Ebene durch ( ; ; ), ( ; ), ( ; ; ) hat die Gleichung: = 0 (Beispiel: Die Gleichung der Ebene durch (; 0; ); (; ; ), (; 0; ) ist 0 = 0: 0 Der Kreis durch ( ; ), ( ; ), ( ; ) hat die Gleichung (NB Der Koezient von + ist ( ) + ( ) () + () () + () = 0): () + () und dies ist genau dann nicht null, wenn ( ; ), ( ; ), ( ; ) nicht kollinear sind) (Beispiel: Der Kreis durch (; ); (; 0); (0; 0) hat die Gleichung: ( ) + ( ) 0 0 = 0:) Der Kegelschnitt durch ( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; ) hat die Gleichung: ( ) ( ) () () () () () () () () = 0 () () VI Orientierung: Ein linearer Isomorphismus f auf V ist orientierungserhaltend falls f > 0 Sonst

16 ist f orientierungsumkehrend ZB eine lineare Isomentrie f auf R ist ) orientierungserhaltend, falls f eine Drehung ist; ) orientierungsumkehrend, falls f eine Spiegelung ist Eine orientierungserhaltende Isometrie auf R bil Rechtsschrauben in Rechtschrauben ab Zwei Basen (x ; : : : ; x n ) bzw (x 0 ; : : : ; x0 n) heien gleichorientiert (geschrieben (x ; : : : ; x n ) go (x 0 ; : : : ; x n)); falls die lineare Abbildung f, die x i in x 0 i abbil, orientierungserhaltend ist (dh die Determinante der Ubergangsmatrix von (x i ) nach (x 0 i ) ist positiv) Beispiel: (e ; e ; e ), (e ; e ; e ) und (e ; e ; e ) sind gleichorientiert in R, (e ; e ; e ) und (e ; e ; e ) dagegen nicht Die obige Beziehung \ go " ist eine Aquivalenzrelation dh sie ist a) reexiv (dh (x i ) go (x i )); b) transitiv (dh aus (x i ) go (x 0) und i (x0) go i (x 00) folgt i (x i) go (x 00)); i c) symmetrisch (dh aus (x i ) go (x 0 i) folgt (x 0 i) go (x i ))