14 Determinanten. 70 II. Lineare Gleichungssysteme. a b c d

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1 70 II. Lineare Gleichungssysteme 14 Determinanten Aufgabe: Zeigen Sie, daß die Regularität einer quadratischen Matrix stabil gegen kleine Störungen ist: Es sei A K n n regulär. Finden Sie δ > 0, so daß für alle C K n n mit c ij a ij < δ auch C regulär ist. max i,j 14.1 (2 2)-Determinanten. a) Nach 10.9 ist eine Matrix A genau dann regulär, wenn für ihre Determinante ( a b c d ) K 2 2 deta ad bc 0 gilt. (1) b) Nun sei v 1 : A S 1 (a,c) und v 2 : A S 2 (b,d). Im Fall K R kann deta als Flächeninhalt des Parallelogramms P {λv 1 +µv 2 0 λ,µ 1} (2) veranschaulicht werden. Dies ist klar für c 0, und der allgemeine Fall ergibt sich daraus, daß Determinante und Flächeninhalt unter Drehungen invariant sind. In der Tat gilt für eine Drehmatrix D ϕ ( cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ detd ϕ 1, und man verwendet Satz 14.9b) unten. ) 14.2 Orientierte Volumina. Für eine Matrix A (v 1...v n ) K n n mit Spalten v j A S j sollte entsprechend deta det(v 1...v n ) ein orientiertes Volumen des Parallelotops P { n λ j v j 0 λ j 1} (4) sein. Daher sollte det : R n n R homogen, scherungsinvariant und normiert sein: det(v 1...λv j...v n ) λ det(v 1...v j...v n ), (5) det(v 1...v j +v i...v i...v n ) det(v 1...v j...v i...v n ), (6) det(e 1...e n ) 1. (7) In (6) stehen v j +v i bzw. v j in der j-ten Spalte Satz. Für K Q, R, C gibt es genau eine Abbildung det : K n n K mit den Eigenschaften (5) - (7). Der Beweis benötigt einige Vorbereitungen: 14.4 Folgerungen aus den Eigenschaften (5) und (6). a) Nach (5) ist det(v v n ) 0 det(v v n ) 0. (3)

2 14 Determinanten 71 b) Für λ 0 hat man det(v 1...v j +λv i...v i...v n ) λ det(v λ v j +v i...v i...v n ) λ det(v λ v j...v i...v n ) det(v 1...v j...v i...v n ). c) Für linear abhängige v 1,...,v n ist det(v 1...v n ) 0. In der Tat ist etwa v 1 n λ j v j, und mit b) folgt det(v 1...v n ) det(0...v n ) 0. j2 d) det ist additiv in jeder Spalte, d.h. es gilt z.b. det(u+w,v 2,...,v n ) det(u,v 2,...,v n )+det(w,v 2,...,v n ). Für linear abhängige v 2,...,v n sind beide Seiten 0. Andernfalls wählt man v 1 K n, so daß {v 1,...,v n } eine Basis von K n ist. Mit u n λ j v j und w n µ j v j folgt wegen b) und (5) det(u+w,v 2,...,v n ) det(λ 1 v 1 +µ 1 v 1,v 2,...,v n ) (λ 1 +µ 1 ) det(v 1,v 2,...,v n ) λ 1 det(v 1,v 2,...,v n )+µ 1 det(v 1,v 2,...,v n ) det(λ 1 v 1,v 2,...,v n )+det(µ 1 v 1,v 2,...,v n ) det(u,v 2,...,v n )+det(w,v 2,...,v n ) Satz. Es gibt genau eine multilineare, alternierende und normierte Abbildung det : K n n K, die also folgende Eigenschaften hat: det(v 1...λv j +µw j...v n ) λ det(v 1...v j...v n )+µ det(v 1...w j...v n ), (8) det(v 1...v j...v i...v n ) det(v 1...v i...v j...v n ), (9) det(e 1...e n ) 1. (10) 14.6 Bemerkung. Nach 14.4 folgt (8) aus (5) und (6). Dies gilt auch für (9) wegen det(v 1...v i +v j...v i +v j...v n ) 0. Umgekehrt folgt aus (8) sofort (5); aus (9) folgt det(v 1...v...v...v n ) 0 und mittels (8) dann auch (6). Somit ist Satz 14.3 eine Konsequenz aus Satz Permutationen. a) Unter einer Permutation versteht man eine bijektive Abbildung σ : {1,...,n} {1,...,n}, die man in der Form ( ) 1... n σ oder σ ( σ(1)... σ(n) ) (11) σ(1)... σ(n) notieren kann. Die Menge S n aller Permutationen von n Ziffern ist eine Gruppe bezüglich der Komposition. b) Für linear unabhängige v 1,...,v n K n gilt nach (9) det(v σ(1)...v σ(n) ) ± det(v 1...v n ) : sign(σ) det(v 1...v n ). (12)

3 72 II. Lineare Gleichungssysteme Dieses Vorzeichen heißt Signum der Permutation; es ist +1, wenn σ das Produkt einer geraden Zahl von Transpositionen oder Vertauschungen ist, 1 bei einer ungeraden Anzahl. Permutationen mit signσ 1 heißen gerade, solche mit signσ 1 ungerade. c) Die Permutation σ (3 2 1) ist ungerade; man kann sie als eine Vertauschung (von 1 und 3) oder auch als Produkt von 3 Transpositionen schreiben. d) Die Permutation σ ( ) wird mittels 3 Transpositionen in die Identität oder natürliche Reihenfolge überführt: ( ) ( ) ( ) ( ); sie ist also ungerade. e) Für die Gültigkeit der Definition des Signums benötigt man, daß eine Permutation nicht gleichzeitig Produkt einer geraden Zahl von Transpositionen und Produkt einer ungeraden Zahl von Transpositionen sein kann. Dies folgt aus (12), sobald die Existenz der Determinante gesichert ist. Da dies noch nicht der Fall ist, verwenden wir statt dessen die Formel (x σ(i) x σ(j) ) signσ (x i x j ) (13) i<j i<j über die Wirkung von σ S n auf das Polynom (x i x j ) K[x 1,...,x n ]. f) Für σ 1,σ 2 S n gilt stets sign(σ 1 σ 2 ) sign(σ 1 )sign(σ 2 ). (14) 14.8 Beweis von Satz a) Eine Abbildung δ : K n n K besitze die Eigenschaften (8) und (9). Für v j n a ij e i folgt mit (8) δ(v 1...v n ) δ( n a i1 e i... n a in e i ) n a i1 1δ(e i1... n a in e i )... n i 1,...,i n1 i<j i 1 1 a i1 1 a innδ(e i1...e in ). Nach 14.4c) sind nur die Terme mit verschiedenen Indizes 0, und aus (12) ergibt sich δ(v 1...v n ) a σ(1)1 a σ(n)n δ(e σ(1)...e σ(n) ) a σ(1)1 a σ(n)n signσδ(e 1...e n ). (15) b) Für δ det folgt mit der Normierungsbedingung (10) weiter det(v 1...v n ) signσa σ(1)1 a σ(n)n. (16) c) Umgekehrt wird durch (16) wirklich eine Abbildung det : K n n K mit den Eigenschaften (8) - (10) definiert. Hierbei sind (8) und (10) klar. Mit der Transposition

4 14 Determinanten 73 τ S n der Ziffern i und j und σ στ hat man weiter det(v 1...v j...v i...v n ) signσa σ(1)1 a σ(j)i a σ(i)j a σ(n)n signσa σ(1)1 a στ(i)i a στ(j)j a σ(n)n signσa στ(1)1 a στ(i)i a στ(j)j a στ(n)n σ S n signσa σ (1)1 a σ (i)i a σ (j)j a σ (n)n det(v 1...v i...v j...v n ) Satz. a) Für eine Matrix A K n n gilt deta deta. b) Für Matrizen A,B K n n gilt detba detb deta. Beweis. a) Aus (16) ergibt sich deta signσa 1σ(1) a nσ(n) signσa σ 1 (1)1 a σ 1 (n)n deta, σ 1 S n da mit σ auch σ 1 die Gruppe S n durchläuft und signσ 1 signσ gilt. b) Durch δ : (v 1...v n ) det(bv 1...Bv n ) wird eine Abbildung δ : K n n K mit den Eigenschaften (8) und (9) definiert. Aus 14.8a) folgt mit v j A S j Ae j detba δ(v 1...v n ) det(v 1...v n )δ(e 1...e n ) deta detb Transformationsformel. Im Fall K R ist mit v j A S j Ae j nach 14.2 deta m(p) das Volumen des Parallelotops P aus (4). Satz 14.9b) liefert dann die Transformationsformel m(b(p)) detb m(p), B R n n. (17) Diese gilt sogar für alle meßbaren Mengen P R n Satz. Eine Matrix A K n n ist genau dann regulär, wenn deta 0 gilt. Beweis. Ist A singulär, so folgt deta 0 aus 14.4c). Für reguläre A dagegen ist A 1 A E, nach Satz 14.9b) also deta 1 deta Beispiele. a) Für n 2 besteht S 2 aus der Identität und einer Transposition, und für A 12 ( ) a11 a liefert (16) a 21 a 22 deta a 11 a 12 a 21 a 22 in Übereinstimmung mit (1). a 11 a 22 a 21 a 12 (18)

5 74 II. Lineare Gleichungssysteme b) Für n 3 besteht S 3 aus 6 Permutationen, und (16) liefert a 11 a 12 a 13 deta a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 +a 11 a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 +a 31 a 12 a 23 (19) a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33 a 31 a 22 a 13. c) Diese Formel kann in eine übersichtlichere Form gebracht werden: deta a 11 (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 21 (a 12 a 33 a 32 a 13 )+a 31 (a 12 a 23 a 22 a 13 ) a a 22 a a 32 a 33 a a 12 a a 32 a 33 +a a 12 a a 22 a 23. (20) Formel (20) heißt Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte. Analog kann man nach den anderen Spalten oder auch Zeilen entwickeln. Allgemeiner: Entwicklung von Determinanten. a) Für A (a ij ) K n n sei a 11 a 1n A kl a kl K(n 1) (n 1) (21) a n1 a nn die Matrix, die durch Streichen der k-ten Zeile und l-ten Spalte entsteht. kl : ( 1) k+l deta kl (22) heißt Kofaktor von A zum Platz (k,l). b) Damit gelten dann die Entwicklungen deta n a ij ij n a ij ij für j N bzw. i N. (23) Dies zeigt man ähnlich wie den Spezialfall (20). Man kann auch zeigen, daß alle Ausdrücke in (23) die Eigenschaften (8) - (10) erfüllen Berechnung von Determinanten. a) Die Formeln (16) und (23) sind für große n zur Berechnung von Determinanten nicht geeignet. Statt dessen bringt man eine Matrix A K n n mittels elementarer Umformungen auf Stufenform. Wegen 14.4 b) und Satz 14.9 a) ändert sich die Determinante bei Spalten- oder Zeilenumformungen der Form nicht, bei Spalten- oder Zeilenvertauschungen ändert sich nur das Vorzeichen. b) Für eine Matrix in Stufenform gilt det d d nn d 11 d nn. (24) In der Tat gilt d ij 0 für i > j. Für jede Permutation σ S n mit σ I gibt es aber einen Index i mit σ(i) > i; daher verschwindet der entsprechende Summand in (16). Die Summe reduziert sich auf den Term σ I und dies liefert (24). Man

6 14 Determinanten 75 kann natürlich auch die Entwicklung nach der ersten Spalte verwenden. c) Für eine Matrix in Block-Stufenform gilt D 11 det... detd 11 detd nn. (25) 0 D nn Es genügt, dies für den Fall n 2 zu zeigen. Dazu bringt man D 11 auf Stufenform durch elementarer Umformungen, die nur die ersten Zeilen und Spalten betreffen. Dann verwendet man Entwicklung nach der ersten Spalte Beispiel ( ) Satz (Cramersche Regel). Es sei A (a 1...a n ) K n n regulär. Für b K n ist dann die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems Ax b gegeben durch x (x 1...x n ) mit x i 1 deta det(a 1,...a i 1,b,a i+1,...,a n ), i 1,...,n. (26) Beweis. Man hat x i deta det(a 1,...a i 1,x i a i,a i+1,...,a n ) n det(a 1,...a i 1, x j a j,a i+1,...,a n ) det(a 1,...a i 1,b,a i+1,...,a n ) Beispiel. Wir lösen das System Es ist 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 12 x 1 + 3x 2 + 7x x 1 + 3x 2 2x 3 9. deta Zur Berechnung von x 3 bilden wir ( 1)(46 48) 2. und erhalten x 3 3. Analog ergibt sich x 1 1 und x ( 9+10) 6

7 76 II. Lineare Gleichungssysteme Cramersche Regel für inverse Matrizen. a) Für eine reguläre Matrix A (a 1...a n ) K n n und A 1 (c ij ) (c 1...c n ) gilt c j A 1 e j Ae j c j. Formel (26) liefert c ij deta det(a 1,...a i 1,e j,a i+1,...,a n ) ( 1) i+j deta ji ji. Mit den Kofaktoren ij gilt also A 1 1 deta ( ji) 1 deta ( ij). (27) b) Die Cramerschen Regeln (26) und (27) sind für konkrete Rechnungen nicht gut geeignet, jedoch wichtig für theoretische Überlegungen. So hat z. B. eine Matrix A (a ij ) mit ganzzahligen Koeffizienten a ij Z genau dann eine Inverse mit ebenfalls ganzzahligen Koeffizienten, wenn det A ±1 gilt.