$Id: det.tex,v /01/13 14:27:14 hk Exp $ 8.2 Definition und Grundeigenschaften der Determinante D 2. oder A = D r

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1 $Id: dettex,v /01/13 14:27:14 hk Exp $ 8 Determinanten 82 Definition und Grundeigenschaften der Determinante In der letzten Sitzung haben wir die Determinante einer allgemeinen n n-matrix definiert und gesehen wie sich diese mit Hilfe elementarer Zeilen- und Spaltenumformungen berechnen läßt Bevor wir fortfahren wollen wir noch ein oft nützliches Korollar aus unserem Lemma über Dreiecksmatrizen festhalten Korollar 85 (Determinanten von Blockdreiecksmatrizen Seien n N mit n 1, K {R, C} und A eine n n-matrix über K der Form D 1 D 1 D A 2 oder A D 2 mit quadratischen Untermatrizen D 1,, D r Dann gilt D r det A det(d 1 det(d r D r Beweis: Zunächst sei A eine obere Blockdreiecksmatrix habe also die links stehende Form Für jedes 1 i r überführe D i durch Vertauschen von Zeilen und Addition von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile in eine obere Dreiecksmatrix D i und bezeichne s i die Anzahl der dabei verwendeten Zeilenvertauschungen Lassen wir die dabei verwendeten elementaren Zeilenumformungen dann auch auf ganz A wirken, so wird A in eine Matrix A der Form D 1 A D 2 überführt, und s : r i1 s i ist die Anzahl der dabei verwendeten Zeilenvertauschungen Mit Lemma 3(d,e folgen D r det A ( 1 s det A und det D i ( 1 s i det D i 19-1

2 für alle 1 i r Die Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, und damit gilt nach Lemma 4 r det A det D i Insgesamt ist damit i1 det A ( 1 s det A r ( 1 s i det D i i1 r det D i, i1 und die Aussage ist für obere Blockdreiecksmatrizen bewiesen Mit Lemma 3(a folgt dann auch die Aussage über untere Blockdreiecksmatrizen Beispielsweise ist damit ( 3 30, da es sich hier um eine untere Blockdreiecksmatrix mit den beiden 2 2-Kästchen D 1 ( und D 2 ( handelt Nachdem die zuletzt bewiesenen Aussagen über Determinanten hauptsächlich rechnerische Aspekte behandelt haben, wollen wir nun zu einem wichtigen und eher theoretischen Satz kommen der den Zusammenhang von Determinanten und der Matrixmultiplikation herstellt Satz 86 (Multiplikationssatz für Determinanten Sind n N mit n 1 und A, B zwei n n Matrizen über K {R, C} so gilt det(a B det(a det(b Beweis: Wir schreiben a 11 a 1n A a n1 a nn, B b 11 b 1n b n1 b nn 19-2 und AB c 11 c 1n c n1 c nn

3 Nach Definition der Matrizenmultiplikation gilt dann c ij i, j n Hiermit rechnen wir n k1 a ikb kj für alle 1 det(ab π S n ( 1 π c 1,π(1 c n,π(n ( ( ( 1 π a 1,j1 b j1,π(1 a n,jn b jn,π(n π S n j 1 1 π S n ( 1 π 1 j 1,,j n n 1 j 1,,j n n j n1 a 1,j1 a n,jn b j1,π(1 b jn,π(n a 1,j1 a n,jn [ π S n ( 1 π b j1,π(1 b jn,π(n Nun kümmern wir uns um den Faktor in den eckigen Klammern Die dort stehende Summe sieht fast wie eine Determinante aus, nur das dort überall j i statt i steht Dies ist aber kein echtes Problem, schreiben wir B(j 1,, j n für die n n Matrix, deren i-te Zeile gerade die j i -te Zeile von B ist, so ist der Ausdruck in eckigen Klammern gerade die Determinante von B(j 1,, j n, also ist det(ab a 1,j1 a n,jn det B(j 1,, j n 1 j 1,,j n n Wir betrachten nun einen einzelnen Summanden in dieser Summe, seien also 1 j 1,, j n n gegeben Gibt es dann zwei Indizes 1 i, i n mit i i und j i j i, so hat die Matrix B(j 1,, j n zwei identische Zeilen, und somit ist dann det B(j 1,, j n 0 nach Lemma 3(g Also müssen wir in der obigen Summe nur die Summanden (j 1,, j n betrachten in denen j 1,, j n paarweise verschieden sind Aber Tupel aus n verschiedenen Zahlen aus {1,, n} sind ja gerade die Ordnungen von {1,, n}, also folgt mit Lemma 3(c det(ab π S n a 1,π(1 a n,π(n det B(π(1,, π(n ( π S n ( 1 π a 1,π(1 a n,π(n ] det(b det(a det(b Wir wollen uns als Beispiele zwei kleine Anwendungen des Determinantenmultiplikationssatz es anschauen und beginnen mit einer erstaunlichen auf Sylvester zurückgehenden Formel Angenommen wir haben n, m 1, eine m n-matrix A und eine n m-matrix B Dann können wir die beiden Produkte AB und BA bilden, dabei ist AB eine m m- und BA eine n n-matrix, diese beiden können also von sehr unterschiedlicher Größe sein Trotzdem gilt nun: 19-3

4 Korollar 87 (Sylvestersche Determinantenformel Seien n, m N mit n, m 1, K {R, C} und A K m n eine m n- sowie B K n m eine n m-matrix über K Dann gilt det(1 + AB det(1 + BA Beweis: Wir betrachten die (m + n (m + n-matrix ( Em A C : K (m+n (m+n B E n Dann gelten ( Em 0 B E n ( Em A BA C und ( Em A 0 E n ( 1 + AB 0 B E n C und da es sich hier jeweils um Produkte von (m+n (m+n-matrizen handelt ergibt der Multiplikationssatz Satz 6 zusammen mit Korollar 5 det(1 + BA det C det(1 + AB Als eine zweite Konsequenz des Multiplikationssatzes erhalten wir unmittelbar eine Formel für die Determinante der Inversen einer regulären Matrix Korollar 88 (Determinante der inversen Matrix Sei n N mit n 1 und sei A eine invertierbare n n Matrix über K {R, C} Dann gilt det A 0 und es ist det(a 1 1 det A Beweis: Nach dem Multiplikationssatz ist det(a det(a 1 det(a A 1 det E n 1 Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden gilt auch die Umkehrung dieses Korollars, ist det A 0 so ist die Matrix A invertierbar Damit ist dann auch die zu Beginn dieses Kapitels erwähnte Eigenschaft der Determinante das Lösungsverhalten quadratischer linearer Gleichungssysteme zu bestimmen bewiesen In der Tat, ist det A 0 so ist A invertierbar und jedes lineare Gleichungssystem Ax b ist regulär, also nach 7Satz 19-4

5 5 auch eindeutig lösbar, und ist det A 0 so ist A nicht invertierbar also führt das Gaußsche Eliminationsverfahren auf eine lange Stufe und damit auf eine nur aus Nullen bestehende Zeile, dh lineare Gleichungssysteme Ax b sind niemals eindeutig lösbar und es gibt sowohl rechte Seiten b für die Ax b nicht lösbar ist als auch rechte Seiten b bei denen Ax b lösbar ist 83 Laplace Entwicklung Die Laplace Entwicklung einer Determinante ist ein weiteres Rechenverfahren zur Bestimmung von Determinanten Bei diesem Verfahren wird die Determinante einer n n Matrix als eine Summe von n Termen berechnet die ihrerseits im wesentlichen aus einer (n 1 (n 1 Determinante bestehen Wir wollen dies zunächst an einigen Beispielen vorführen, bevor wir es als abstrakten Satz formulieren Wir beginnen dabei mit der Berechnung einer 3 3 Determinante Als Entwicklung dieser Determinante nach der ersten Zeile bezeichnet man die folgende Rechnung ( Diese Summe beginnt mit dem Eintrag 1 in der ersten Zeile und Spalte multipliziert mit der Determinante, die aus der ursprünglichen Determinante durch Streichen der ersten Zeile und der ersten Spalte entsteht Hiervon wird dann der Eintrag 1 in der zweiten Spalte der ersten Zeile mal die durch Streichen der ersten Zeile und der zweiten Spalte gebildete Determinante abgezogen Schließlich wird der Eintrag 3 in der dritten Spalte der ersten Zeile mit der durch Streichen der ersten Zeile und dritten Spalte erhaltenen Determinante multipliziert und zur Gesamtsumme addiert: 1 ( Diese Rechenverfahren ist etwas effizienter als die Rechnung über die Regel von Sarrus Bei der Sarrusschen Regel hat man die Summe von sechs Dreierprodukten zu bilden, benötigt also 12 Multiplikationen und 5 Additionen, wobei wir Subtraktion und Addition nicht unterscheiden Bei der Entwicklung nach der ersten Zeile bilden wir dagegen drei 2 2 Determinanten, und jede von diesen erfordert zwei Multiplikationen und eine Addition, also insgesamt 6 Multiplikationen und drei Additionen Dann werden diese 2 2 Determinanten jeweils mit einer Zahl multipliziert und dann addiert, dies 19-5

6 sind 3 weiter Multiplikationen und zwei Additionen Insgesamt erfordert die Entwicklung nach der ersten Zeile also 9 Multiplikationen und 5 Additionen, wir haben also 3 Multiplikationen eingespart, dies sind immerhin 25% des Aufwands der Regel nach Sarrus Ebenso kann die Determinante auch nach der ersten Spalte entwickelt werden, hier gehen wir entsprechend die Einträge in der ersten Spalte der Matrix durch Noch allgemeiner kann die Determinante auch nach einer beliebigen Zeile oder einer beliebigen Spalte entwickelt werden Das einzige kleine Detail auf das man dabei achten muss ist die Verteilung der Vorzeichen Entwickeln wir nach der ersten Zeile oder Spalte, so beginnt die Entwicklung mit + und dann wechseln die Vorzeichen sich ab Entwickeln wir dagegen nach der zweiten Zeile oder Spalte, so beginnen die Vorzeichen mit und wechseln sich dann ab In der dritten Zeile oder Spalte starten wir dann wieder mit + und so weiter Allgemein gehört zum Eintrag (i, j der Determinante, also dem Eintrag in der i-ten Zeile und in der j-ten Spalte, die Determinante die durch Entfernen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht und mit dem Vorzeichen ( 1 i+j versehen ist Diese Vorzeichen beginnen links oben mit ( und breiten sich dann schachbrettartig aus Wir haben das Vorzeichenschema hier gleich allgemein für quadratische Matrizen beliebiger Größe angegeben und nicht nur für 3 3 Matrizen Es bietet sich an nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln die möglichst viele Nullen enthält, denn bei jeder Null können wir den entsprechenden Summanden in der Entwicklung ignorieren In unserem obigen Beispiel ist es daher naheliegend etwa nach der dritten Zeile zu entwickeln ( 2 ( 7 3 erneut mit demselben Ergebnis Die Entwicklung einer Determinante nach Zeilen oder Spalten ist aber nicht auf 3 3 Determinanten beschränkt, sondern ist für jede natürlich Zahl n 1 möglich Wir wollen als ein Beispiel einmal eine 4 4 Determinante nach 19-6

7 der zweiten Zeile entwickeln: ( ( 3 ( ( , wobei wir die mit Null zu multiplizierende vierte Determinante gleich weggelassen haben und die Werte der verbleibenden drei 3 3 Determinanten , , gleich eingesetzt haben Man kann dieses Rechenverfahren durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte natürlich auch mit den elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kombinieren In unserem eben gerechneten Beispiel einer 4 4 Determinante können wir auch zunächst die erste Spalte zur zweiten Spalte addieren Dann haben wir auf einmal zwei Nullen in der ersten Zeile, und bei der Entwicklung nach der ersten Zeile treten nur noch zwei Summanden auf ( ( Wir wollen im folgenden die theoretische Begründung für dieses Rechenverfahren angeben Die Grundlage für all diese Dinge ist die sogenannte Linearität der Determinante in Zeilen und Spalten 19-7

8 Satz 89 (Zeilen- und spaltenweise Linearität der Determinante Seien K {R, C}, n N mit n 1 und 1 k n Dann gilt für alle Zahlen t, s K und alle a ij, a i, b i K (1 i, j n die Gleichung a 11 a 1n a 11 a 1n a 11 a 1n ta 1 + sb 1 ta n + sb n t a 1 a n + s b 1 b n, a n1 a nn a n1 a nn a n1 a nn wobei die Summen in der k-ten Zeile dieser Determinante stehen Die entsprechende Aussage gilt auch für Summen von Spalten Beweis: Nach Lemma 3(a reicht es wieder die Aussage über Zeilen zu beweisen Die linke Determinante ist dann ( 1 π a 1,π(1 (ta π(k + sb π(k a n,π(n π S n t ( 1 π a 1,π(1 a π(k a n,π(n + s ( 1 π a 1,π(1 b π(k a n,π(n π S n π S n und dies ist gerade die rechts stehende Summe von Determinanten Ein direktes Beispiel für die obige Formel ist etwa Die erste und die dritte Zeile dieser Matrizen stimmen jeweils überein, Addition und Multiplikation werden nur in einer Zeile, in diesem Beispiel in der zweiten Zeile, durchgeführt Nach dieser Vorbemerkung kommen wir zur Entwicklung von Determinanten zurück Die Entwicklung einer Determinante nach einer Zeile oder Spalte nennt man auch den Laplaceschen Entwicklungssatz, und um diesen, und später auch die Cramersche Regel für die Matrixinversion, bequem formulieren zu können, führen wir noch eine kleine Definition ein Definition 83: Seien K {R, C}, n N mit n 1 und sei A eine n n Matrix über K Sind 1 i, j n, so bezeichnet A ij die (n 1 (n 1 Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht Die Zahl â ij : ( 1 i+j det A ji 19-8

9 wird dann als (i, j-ter Komplementärwert bezeichnet (das i und j hier vertauscht werden ist kein Schreibfehler, sondern tatsächlich so gemeint, und die n n Matrix â 11 â 1n  : â n1 â nn heißt die Komplementärmatrix oder Adjunkte zu A Für n 2, 3 können wir die Komplementärmatrix noch direkt hinschreiben ( ( a b d b, c d c a a 11 a 12 a 13 a 22 a 33 a 23 a 32 a 13 a 32 a 12 a 33 a 12 a 23 a 13 a 22 a 21 a 22 a 23 a 23 a 31 a 21 a 33 a 11 a 33 a 13 a 31 a 13 a 21 a 11 a 23 a 31 a 32 a 33 a 21 a 32 a 22 a 31 a 12 a 31 a 11 a 32 a 11 a 22 a 12 a 21 aber schon für n 4 sind die entstehenden Formeln zu gross Ganz konkret ist beispielsweise die Komplementärmatrix zu gleich Wir wollen jetzt den Laplaceschen Entwicklungssatz explizit formulieren Die Grundidee zur Herleitung des Entwicklungssatzes ist einfach zu beschreiben Wir wollen die Determinante einer Matrix A nach der i-ten Zeile entwickeln In der Leibniz-Summe det(a π S n ( 1 π a 1,π(1 a n,π(n fasse für 1 j n alle Terme π S n mit π(i j zusammen Dann wird det A a ij ( 1 π a 1,π(1 a i 1,π(i 1 a i+1,π(i+1 a n,π(n π S n π(ij und die Summe in eckigen Klammern stellt sich als ( 1 i+j det A ij heraus, sie ist ja beinahe bereits eine Leibniz-Summe Für die exakte Durchführung des Beweises ist es technisch etwas bequemer zunächst den Sonderfall i n zu behandeln, und den allgemeinen Fall darauf zurückzuführen In der Vorlesung wurde der folgende Beweis nur skizziert, hier soll er aber vollständig wiedergegeben werden Satz 810 (Entwicklung nach Zeilen und Spalten Seien K {R, C}, n N mit n 1 und sei A (a ij 1 i,j n eine n n Matrix über K Dann gelten für jedes 1 i n die Gleichungen det A ( 1 i+1 a ij det A ij 19-9 (Entwicklung nach einer Zeile,

10 und det A ( 1 i+j a ji det A ji (Entwicklung nach einer Spalte Beweis: Wir beginnen mit der Entwicklung der Determinante nach der letzten Zeile Schreiben wir die letzte Zeile als (a n1,, a nn a 11 (1, 0,, a nn (0,, 0, 1, so ergibt sich mit der Linearität der Determinante in der letzten Zeile Satz 9 die Formel a 11 a 1,j 1 a 1j a 1,j+1 a 1n det A a nj a nj det B j, a n 1,1 a n 1,j 1 a n 1j a n 1,j+1 a n 1,n wenn wir B j für die Matrix im j-ten Summanden schreiben Wir müssen also die Determinante der Matrix B j berechnen Im Fall j n liegt dabei eine obere Blockdreiecksmatrix ( A nn B n 0 1 vor und Korollar 5 ergibt det B n det A nn Wir wollen jetzt zeigen, dass für alle 1 j < n stets det B j ( 1 n+j det A nj gilt, für j n wissen wir dies wegen ( 1 2n 1 bereits Sei also ein 1 j < n gegeben Bezeichne τ S n die Transposition die n und j vertauscht und sei B die Matrix die aus B j durch Permutation der Spalten gemäß τ, also durch Vertauschen der j-ten mit der n-ten Spalte entsteht Sei weiter α S n 1 die Permutation, die die Ziffern j,, n 1 zyklisch nach rechts verschiebt und sei A die (n 1 (n 1 Matrix, die aus A nj durch Permutation der Spalten gemäß α entsteht Dann ist B a 1j A a n 1,j 0 0 1, und mit Lemma 3(c und der schon bewiesenen Aussage folgt det B j det B det A ( 1 n j 1 det A nj ( 1 n+j det A nj Insgesamt ist damit det A a nj det B j ( 1 n+j a nj det A nj, 19-10

11 und wir haben die Entwicklung nach der letzten Zeile bewiesen Die Entwicklung nach anderen Zeilen können wir hierauf zurückführen Sei 1 i < n und bezeichne A die Matrix die aus A durch Vertauschen der i-ten und der n-ten Spalte entsteht Mit Lemma 3(c und der schon bewiesenen Teilaussage folgt det A det A ( 1 n+j a ij det A nj Ist α S n 1 die Permutation die die Ziffern i,, n 1 zyklisch um eine Stelle nach rechts verschiebt, so geht A nj für jedes 1 j n aus A ij durch Permutation der Zeilen gemäß α hervor, also det A nj ( 1 α det A ij ( 1 n i 1 det A ij Insgesamt ist damit det A ( 1 n+j+1+n i 1 a ij det A ij ( 1 i+j a ij det A ij Damit haben wir auch die Entwicklung nach einer beliebigen Zeile bewiesen Die Entwicklung nach Spalten folgt dann schließlich durch Übergang zur transponierten Matrix mit Lemma 3(a Eine der Folgerungen der Laplace-Entwicklung sind die sogenannten Cramerschen Regeln Es gibt zwei derartige Regeln, eine für die Berechnung der Inversen einer n n Matrix und eine für das Lösen regulärer linearer Gleichungssysteme Die Cramersche Regel für die inverse Matrix wird sich dabei aus dem folgenden Satz über die komplementäre Matrix ergeben Satz 811 (Satz über die Komplementärmatrix Seien K {R, C}, n N mit n 1 und A sei eine n n Matrix über K Dann gilt det A A   A det(a det A Beweis: Seien 1 i, j n gegeben Der Eintrag des Produkts A  in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist dann gleich A ik  kj k1 ( 1 j+k A ik det A jk k1 Im Fall eines Diagonaleintrags, dh wenn i j ist, so steht hier gerade die Entwicklung von det A nach der i-ten Zeile, und die Summe ist nach dem Entwicklungssatz Satz 10, 19-11

12 in seiner Version für Zeilen, gleich der Determinante det A von A Nun betrachten wir den Fall i j Dann ist die Summe ebenfalls nach dem Entwicklungssatz für Zeilen gleich einer Determinante det A, wobei A die n n Matrix über K ist die wir aus A erhalten indem die j-te Zeile von A durch eine Kopie der i-ten Zeile von A ersetzt wird Insbesondere hat A zwei identische Zeilen, und damit ist det A 0 nach Lemma 3(g Dies beweist die Formel A  det(a Die andere Gleichung  A det(a folgt ebenso mit dem Entwicklungssatz nach Spalten Damit können wir nun die beiden Cramerschen Regeln einsehen Korollar 812 (Cramersche Regel für die Matrixinversion Seien K {R, C}, n N mit n 1 und A sei eine n n Matrix über K Dann ist A genau dann invertierbar wenn det A 0 ist, und in diesem Fall gilt A 1 1 det A Beweis: Dies gilt nach Korollar 8 Dies ist klar nach Satz 11 Wegen ( haben wir in unserem obigen Beispiel damit Etwas trickreicher könnten wir auch den ersten Eintrag der ersten Zeile des Produkts A  ausrechnen, und wir wissen dann nach Satz 11 das die so erhaltene Zahl die Determinante von A ist Mit Hilfe der Cramerschen Regel für die Matrixinversion können wir jetzt auch die schon in 74 angesprochene Tatsache beweisen, dass ein Produkt zweier n n Matrizen genau dann invertierbar ist wenn beide Faktoren invertierbar sind Korollar 813: Seien K {R, C}, n N mit n 1 und A, B zwei n n Matrizen über K Dann ist das Produkt AB genau dann invertierbar wenn A und B beide invertierbar sind 19-12

13 Beweis: Nach dem Multiplikationssatz für Determinanten Satz 6 gilt det(ab det(a det(b Damit ist genau dann det(ab 0 wenn det A 0 und det B 0 gelten Nach Korollar 12 folgt daraus die Behauptung 19-13