$Id: det.tex,v /12/19 17:07:55 hk Exp $ $Id: linabb.tex,v /01/15 07:43:52 hk Exp $ c 11 c 1n. c n1 c nn. b n1 b nn ...

Transkript

1 $Id: det.te,v /12/19 17:07:55 hk Ep $ $Id: linabb.te,v /01/15 07:43:52 hk Ep $ II. Lineare Algebra 8 Determinanten 8.1 Die Determinante Wir wollen in diesem Abschnitt jett noch eine lette wichtige Formel ansprechen, den sogenannten Determinanten-Multiplikationssat. Dieser besagt, dass die Determinante eines Produkts weier Matrien das Produkt der beiden Eineldeterminanten ist. Dies ist keine Selbstverständlichkeit, und mag unächst sogar etwas überraschend sein. Wir haben sowohl die Determinante als auch die Multiplikation von Matrien durch teilweise recht kompliiert aussehende Formeln eingeführt, dass diese nun so gut usammenpassen um den Multiplikationssat u liefern, ist überhaupt nicht klar. Im nächsten Kapitel werden wir eine andere Interpretation für Matrien und die Determinante kennenlernen, die den Multiplikationssat umindest im reellen Fall geometrisch begründet. Hier hingegen, wollen wir ihn einfach nachrechnen. Sat 8.7 (Multiplikationssat für Determinanten) Sind A, B wei n n Matrien so gilt det(a B) det(a) det(b). Beweis: Wir schreiben a 11 a 1n A..... a n1 a nn, B b 11 b 1n..... b n1 b nn und AB c 11 c 1n..... c n1 c nn. Nach Definition der Matrienmultiplikation gilt dann c ij i, j n. Hiermit rechnen wir nun n k1 a ikb kj für alle 1 det(ab) ( 1) π c 1,π(1)... c n,π(n) π S n ( n ) ( n ) ( 1) π a 1,j1 b j1,π(1)... a n,jn b jn,π(n) π S n j 1 1 π S n ( 1) π 1 j 1,...,j n n j n1 a 1,j1... a n,jn b j1,π(1)... b jn,π(n) [ ] a 1,j1... a n,jn ( 1) π b j1,π(1)... b jn,π(n). 1 j 1,...,j n n π S n 17-1

2 Nun kümmern wir uns um den Faktor in den eckigen Klammern. Die dort stehende Summe sieht fast wie eine Determinante aus, nur das dort überall j i statt i steht. Dies ist aber kein echtes Problem, schreiben wir B(j 1,..., j n ) für die n n Matri, deren i-te Zeile gerade die j i -te Zeile von B ist, so ist der Ausdruck in eckigen Klammern gerade die Determinante von B(j 1,..., j n ), also ist det(ab) a 1,j1... a n,jn det B(j 1,..., j n ). 1 j 1,...,j n n Wir betrachten nun einen einelnen Summanden in dieser Summe, seien also 1 j 1,..., j n n gegeben. Gibt es dann wei Indies 1 i, i n mit i i und j i j i, so hat die Matri B(j 1,..., j n ) wei identische Zeilen, und somit ist dann det B(j 1,..., j n ) 0 wie etwa aus Sat 5 folgt. Also müssen wir in der obigen Summe nur die Summanden (j 1,..., j n ) betrachten in denen j 1,..., j n paarweise verschieden sind. Aber Tupel aus n verschiedenen Zahlen aus {1,..., n} sind ja gerade die Ordnungen von {1,..., n}, also folgt mit Sat 3 det(ab) π S n a 1,π(1)... a n,π(n) det B(π(1),..., π(n)) ( π S n ( 1) π a 1,π(1)... a n,π(n) ) det(b) det(a) det(b). Insbesondere erhalten wir eine Formel für die Determinante der Inversen einer Matri. Sat 8.8: Sei A eine invertierbare n n Matri. Dann gilt det A 0 und es ist det(a 1 ) 1 det A. Beweis: Nach dem Multiplikationssat ist det(a) det(a 1 ) det(a A 1 ) det E n Laplace Entwicklung Die Laplace Entwicklung einer Determinante ist ein weiteres Rechenverfahren ur Bestimmung von Determinanten. Bei diesem Verfahren wird die Determinante einer n n 17-2

3 Matri als eine Summe von n Termen berechnet die ihrerseits im wesentlichen aus einer (n 1) (n 1) Determinante bestehen. Wir wollen dies unächst an einigen Beispielen vorführen, bevor wir es als abstrakten Sat formulieren. Wir beginnen dabei mit der Berechnung einer 3 3 Determinante Als Entwicklung dieser Determinante nach der ersten Zeile beeichnet man die folgende Rechnung ( 1) Diese Summe beginnt mit dem Eintrag 1 in der ersten Zeile und der Spalte multipliiert mit der Determinante, die aus der ursprünglichen Determinante durch Streichen der ersten Zeile und der ersten Spalte entsteht. Hiervon wird dann der Eintrag 1 in der weiten Spalte der ersten Zeile mal die durch Streichen der ersten Zeile und der weiten Spalte gebildete Determinante abgeogen. Schließlich wird der Eintrag 3 in der dritten Spalte der ersten Zeile mit der durch Streichen der ersten Zeile und dritten Spalte erhaltenen Determinante multipliiert und ur Gesamtsumme addiert: 1 ( 1). + 3 Diese Rechenverfahren ist etwas effiienter als die Rechnung über die Regel von Sarrus. Bei der Sarrusschen Regel hat man die Summe von sechs Dreierprodukten u bilden, benötigt also 12 Multiplikationen und 5 Additionen, wobei wir Subtraktion und Addition nicht unterscheiden. Bei der Entwicklung nach der ersten Zeile bilden wir dagegen drei 2 2 Determinanten, und jede von diesen erfordert wei Multiplikationen und eine Addition, also insgesamt 6 Multiplikationen und drei Additionen. Dann werden diese 2 2 Determinanten jeweils mit einer Zahl multipliiert und dann addiert, dies sind 3 weiter Multiplikationen und wei Additionen. Insgesamt erfordert die Entwicklung nach der ersten Zeile also 9 Multiplikationen und 5 Additionen, wir haben also 3 Multiplikationen eingespart, dies sind immerhin 25% des Aufwands der Regel nach Sarrus. Ebenso kann die Determinante auch nach der ersten Spalte entwickelt werden, hier gehen wir entsprechend die Einträge in der ersten Spalte der Matri durch

4 Noch allgemeiner kann die Determinante auch nach einer beliebigen Zeile oder einer beliebigen Spalte entwickelt werden. Das einige kleine Detail auf das man dabei achten muss ist die Verteilung der Voreichen. Entwickeln wir nach der ersten Zeile oder Spalte, so beginnt die Entwicklung mit + und dann wechseln die Voreichen sich ab. Entwickeln wir dagegen nach der weiten Zeile oder Spalte, so beginnen die Voreichen mit und wechseln sich dann ab. In der dritten Zeile oder Spalte starten wir dann wieder mit + und so weiter. Allgemein gehört um Eintrag (i, j) der Determinante, also dem Eintrag in der i-ten Zeile und in der j-ten Spalte, die Determinante die durch Entfernen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht und mit dem Voreichen ( 1) i+j versehen ist. Diese Voreichen beginnen links oben mit ( 1) 2 1 und breiten sich dann schachbrettartig aus Die Entwicklung nach Zeilen oder Spalten ist auch nicht auf 3 3 Determinanten beschränkt, sondern ist für jede natürlich Zahl n N möglich. Wir wollen als ein Beispiel einmal eine 4 4 Determinante nach der weiten Zeile entwickeln: ( 1) ( 3) ( 26) + 1 ( 8) , wobei wir die mit Null u multipliierende vierte Determinante gleich weggelassen haben und die Werte der verbleibenden drei 3 3 Determinanten , ,

5 gleich eingesett haben. Man kann dieses Rechenverfahren durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte natürlich auch mit den elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kombinieren. In unserem eben gerechneten Beispiel einer 4 4 Determinante können wir auch unächst die erste Spalte ur weiten Spalte addieren. Dann haben wir auf einmal wei Nullen in der ersten Zeile, und bei der Entwicklung nach der ersten Zeile treten nur noch wei Summanden auf ( ) ( 4 25) Die Entwicklung einer Determinante nach einer Zeile oder Spalte nennt man auch den Laplaceschen Entwicklungssat, und um diesen, und später auch die Cramersche Regel für die Matriinversion bequem formulieren u können, führen wir noch eine kleine Definition ein. Definition 8.5: Sei A eine n n Matri. Sind 1 i, j n, so beeichne A ij die (n 1) (n 1) Matri, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht. Die Zahl â ij : ( 1) i+j det A ji wird dann als (i, j)-ter Komplementärwert beeichnet (das i und j hier vertauscht werden ist kein Schreibfehler, sondern tatsächlich so gemeint), und die n n Matri â 11 â 1n  :..... â n1 â nn heißt die Komplementärmatri oder Adjunkte u A. Für n 2, 3 können wir die Komplementärmatri noch direkt hinschreiben ( a b ) c d a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( d b c a ), a 22 a 33 a 23 a 32 a 13 a 32 a 12 a 33 a 12 a 23 a 13 a 22 a 23 a 31 a 21 a 33 a 11 a 33 a 13 a 31 a 13 a 21 a 11 a 23 a 21 a 32 a 22 a 31 a 12 a 31 a 11 a 32 a 11 a 22 a 12 a ,

6 aber schon für n 4 sind die entstehenden Formeln u gross. Gan konkret ist beispielsweise die Komplementärmatri u gleich Der Laplacesche Entwicklungssat nimmt mit diesen Beeichnungen die folgende Form an: Sat 8.9 (Entwicklung nach Zeilen und Spalten) Sei A eine n n Matri. Dann gelten für jedes 1 i n die Gleichungen det A n ( 1) i+1 a ij det A ij j1 (Entwicklung nach einer Zeile) und det A n ( 1) i+j a ji det A ji j1 (Entwicklung nach einer Spalte). Da wir in dieser Situng schon genug bewiesen haben, wollen wir hier auf einen formalen Beweis verichten. Die Grundidee ist aber einfach beschrieben. In der Leipnit- Summe det(a) π S n ( 1) π a 1,π(1)... a n,π(n) fasse alle Terme u π S n mit π(i) j usammen. Dann wird det A n a ij ( 1) π a 1,π(1)... a i 1,π(i 1) a i+1,π(i+1)... a n,π(n) j1 π S n π(i)j und die Summe in eckigen Klammern stellt sich als ( 1) i+j det A ij heraus, sie ist ja beinahe bereits eine Leipnit-Summe. Eine der Folgerungen der Laplace-Entwicklung sind die sogenannten Cramerschen Regeln. Es gibt wei derartige Regeln, eine für die Berechnung der Inversen einer n n Matri und eine für das Lösen regulärer linearer Gleichungssysteme. Die Cramersche Regel für die inverse Matri wird sich dabei aus dem folgenden Sat über die komplementäre Matri ergeben: Sat 8.10: Sei A eine n n Matri. Dann gilt det A A Â Â A... det(a) E n. det A Dies ist eine direkte Folge aus dem Entwicklungssat Sat 9. Schreiben Sie sich einmal als eine Übung die Formel für die Matrimultiplikation hin, und überlegen sich 17-6

7 wie daraus der Sat folgt. Da wie gesagt schon genug bewiesen wurde, wollen wir dies hier nicht mehr direkt vorführen. Damit können wir nun die beiden Cramerschen Regeln einsehen. Sat 8.11 (Cramersche Regel für die Matriinversion) Sei A eine n n Matri. Dann ist A genau dann invertierbar wenn det A 0 ist, und in diesem Fall gilt A 1 1 det AÂ. Beweis: Dies gilt nach Sat 8. Dies ist klar nach Sat 10. Wegen ( 1) haben wir in unserem obigen Beispiel damit Etwas trickreicher könnten wir auch den ersten Eintrag der ersten Zeile des Produkts A Â ausrechnen, und wir wissen dann nach Sat 10 das die so erhaltene Zahl die Determinante von A ist. Kombinieren wir die Cramersche Regel für inverse Matrien mit dem Lösungssat 6.Sat 4 für reguläre lineare Gleichungssysteme, so ergibt sich die Cramersche Regel für lineare Gleichungssysteme: Sat 8.12 (Cramersche Regel für reguläre lineare Gleichungssysteme) Gegeben sei ein reguläres lineares Gleichungssystem. a a a 1n n b a n1 1 + a n a nn n b n, d.h. A b mit einer invertierbaren Koeffiientenmatri A. Für 1 i n sei A i die n n Matri, die aus A durch Erseten der i-ten Spalte von A durch die rechte Seite b entsteht. Dann ist die Lösung von A b durch i det Ai det A (1 i n) gegeben. 17-7

8 Hieru müssen wir uns nur daran erinnern, dass die Lösung von A b nach 6.Sat 4 durch A 1 b 1 det AÂb gegeben ist. Der i-te Eintrag von Âb ist gleich n â ij b j j1 n ( 1) i+j b j det A ji, j1 und lettere Summe ist nach dem Entwicklungssat Sat 9 gerade gleich der Determinante det A i. Als ein Beispiel ur Cramerschen Regel wollen wir einmal das lineare Gleichungssystem y y y + 1 lösen. Die Koeffiientenmatri A dieses linearen Gleichungssystem ist gerade die bereits oben als Beispiel verwendete Matri A von der wir bereits det A 7 nachgerechnet haben. Die rechte Seite ist 1 b 0, 1 und dies müssen wir der Reihe nach als erste, weite, dritte Spalte von A einseten, um die Lösung mit der Cramerschen Regel u erhalten. Es ergibt sich damit die Lösung ( ) (8 + 1) 9 7, y , Obwohl der Cramerschen Regeln sowohl für die inverse Matri als auch für reguläre lineare Gleichungssysteme unächst nach einer guten Rechenmethode aussehen, da sie eben so schön direkte und epliite Formeln sind, sind sie fürs praktische Rechnen meist 17-8

9 eher ungeeignet. Es ist eine relativ große Zahl von Determinanten u berechnen, und da ist es fast immer schneller unseren Gauß-Algorithmus sowohl um Lösen linearer Gleichungssysteme als auch ur Berechnung der inversen Matri heranuiehen. Der einige Fall in dem die Cramerschen Regeln manchmal brauchbar sind ist n 3, aber selbst hier fährt man mit der Gaußschen Elimination fast immer besser. 9 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind einer der, leider etwas abstrakten, Grundbegriffe der linearen Algebra und der Mathematik schlechthin. Die linearen Abbildungen sind eine Klasse besonders einfacher Abbildungen, die aber trotdem noch allgemein genug sind, sich in einer Vielahl von Situationen anwenden u lassen. 9.1 Lineare Abbildungen Definition 9.1: Seien V, W wei Vektorräume über K, wobei K bei uns wie immer für K R oder K C steht. Eine lineare Abbildung von V nach W ist dann eine Abbildung f : V W mit den folgenden beiden Eigenschaften: (a) Für alle, y V gilt f( + y) f() + f(y). (b) Für alle V und jede Zahl c K gilt f(c ) c f(). Beispielsweise ist die Abbildung f : R 3 R; y y + 2 linear. In der Tat, sind, y,,, y, R, so haben wir + f y + y + (y + y ) + 2( + ) y 2 + y f y + f und ist usätlich c R, so haben wir auch c f cy c cy + 2c c ( y + 2) c f c 17-9 y. y,

10 Eine solche Rechnung funktioniert natürlich immer wenn f : K n K eine Summe von Termen der Form Konstante Variable ist. Im Gegensat ur üblichen Sprechweise bei Polynomen sind auch keine konstanten Terme erlaubt. Beispielsweise ist die Abbildung g : R 3 R; y y nicht linear. In der obigen Rechnung haben wir nämlich + g y + y y 2 + y aber g y + g y y 2 + y Ebenso ist eine Abbildung K n K m linear, wenn in jeder ihrer Komponenten nur lineare Terme stehen, beispielsweise ist also die Abbildung ( ) ( ) + y f : R 2 R 2 ; y y linear. Für Abbildungen von Spaltenvektoren ist Linearität also ein sehr simples Konept. Tatsächlich sollen lineare Abbildungen ja, wie bereits bemerkt, besonders einfache Abbildungen sein. Wir wollen auch noch ein Beispiel einer linearen Abbildung auf Funktionenräumen angeben. In 7 hatten wir den Vektorraum R R aller Abbildungen f : R R eingeführt. Wir behaupten nun, daß die Teilmenge V : {f : R R f ist differenierbar} R R ein Teilraum dieses Vektorraums ist. Sind nämlich f, g V wei differenierbare Funktionen, so ist auch die Summe f + g differenierbar mit Ableitung (f + g) f + g. Ebenso ist für eine differenierbare Abbildung f V und eine Zahl c R auch c f differenierbar mit (cf) cf. Dabei haben wir den Differenierbarkeitsbegriff eigentlich noch gar nicht eingeführt, aber für dieses Beispiel reichen die Erinnerungen aus ihrer Schuleit völlig aus. Damit ist V ein Teilraum von R R, und somit selbst ein Vektorraum. Jett ist das Ableiten selbst d d : V RR ; f f eine lineare Abbildung, denn dies bedeutet ja gerade die Gültigkeit der beiden Formeln (f + g) f + g und (cf) cf. In diesem Semester werden wir es allerdings nur mit linearen Abbildungen wischen Teilräumen des K n u tun haben. Lineare Abbildungen wischen Funktionenräumen spielen dann später eine gewisse Rolle. Wir wollen 17-10

11 nun das Bild einer linearen Abbildung einführen. Eigentlich haben wir das Bild einer allgemeinen Abbildung bereits in 3 eingeführt, aber wir wollen die Definition hier der Deutlichkeit halber wiederholen. Definition 9.2: Seien V, W wei Vektorräume über K und f : V W eine lineare Abbildung. Dann heißt die Menge das Bild von f. Bild(f) : {f() V } Es wird sich herausstellen, dass das Bild einer linearen Abbildung immer ein Teilraum ist. Zunächst wollen wir das Bild einer linearen Abbildung aber in einem Beispiel berechnen. Hieru betrachten wir die lineare Abbildung f : R 3 R 3 ; y + y + 2y y + 2 Wann liegt ein Vektor v R 3 im Bild Bild(f) von f? Schreiben wir b 1 v b 2, b 3 so ist genau dann v Bild(f), wenn es, y, R mit b 1 + y + b 2 b 3 f y 2y y + 2 gibt, d.h. genau dann wenn das lineare Gleichungssystem + y + b 1 2y b 2 y + 2 b 3 eine Lösung hat. Um diese v R 3 u bestimmen, können wir wieder einmal das Gaußsche Eliminationsverfahren um Einsat bringen b b b b b b b b 3 b b 2 + b 3 b 1 Damit ist unser lineares Gleichungssystem genau dann lösbar wenn. b 2 + b 3 b 1 0 beiehungsweise b 1 b 2 + b 3 gilt. Als Bild von f erhalten wir somit b 1 Bild(f) b 2 b 3 b 1, b 2, b 3 R, b 1 b 2 + b 3 t + s t s t, s R