Gilt jedoch. det A = 0, so besagt dies:

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1 3 eterminanten 3 efinition - Bedeutung - Anwendung urch eine spezielle Rechenvorschrift lassen sich jeder quadratischen Matrix A reelle Zahlenwerte zuordnen Man bezeichnet den Zahlenwert, der einer quadratischen Matrix gemäß dieser Rechenvorschrift zugeordnet wird, als eterminante von A, kurz det A er eterminantenwert einer Matrix hat eine qualitative und eine numerische Bedeutung Für ein lineares (n,n) - Gleichungssystem A x = b oder eine lineare Abbildung y = A x interessieren folgende qualitative Aussagen: a) Besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung? b) Ist die Abbildung eineindeutig (umkehrbar)? Eine Antwort auf diese beiden Fragen gibt uns der eterminantenwert: Für det A 0 gilt: ) ie Abbildung ist umkehrbar Es existiert eine inverse Matrix A - zu A Wenn allerdings A - existiert folgt daraus wieder unmittelbar die nächste Aussage ) as lineare Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung iese heißt: x = A - b 3) Rang von A = n Alle n Zeilenvektoren a (i), i n, und alle n Spaltenvektoren a k, k n, sind linear unabhängig aneben liefert uns die eterminante auch numerische Aussagen Wir können anhand der eterminanten nicht nur zeigen, ob eine inverse Matrix A - existiert, sondern können diese auch mittels der eterminantenrechnung bestimmen (Adjunktenregel) Außerdem gilt im Fall der eindeutigen Lösung x eines Gleichungssystems, daß wir x anhand von speziellen eterminanten (Cramersche Regel) berechnen können Gilt jedoch det A = 0, so besagt dies: ) Es gibt keine inverse Matrix A - von A und damit keine Umkehrabbildung ) as System A x = b ist nicht eindeutig lösbar 3) er Rang von A ist kleiner als n: Rg A < n

2 3 Berechnung von eterminanten 3 Berechnung einer (,) eterminante Um die Berechnungsvorschrift für eine eterminante mit beliebiger Zeilenelementezahl n herzuleiten, beginnen wir damit, diese Vorschrift am (,) - zu formulieren anach werden wir sehen, wie sich die Berechnung von (3,3 und (n,n) eterminanten zurückführen lassen auf die Eingangsbeispiele ie Zuordnungsvorschrift für eine (, ) - Matrix lautet: Zuordnung Matrix A eterminante A = det A a a a a e a a a a = 3 ( ) 3 = 5 3 RgA= = a a a a = ( ) ( 3 ) = RgA= < Eine Begründung für diese zunächst sehr willkürlich erscheinende Berechnungsvorschrift wird in 35 gegeben 3 Berechnung einer (3,3) eterminante mit der Regel von Sarrus Zunächst geben wir nur eine Berechnungsmöglichkeit von mehreren Nach den Ausführungen in 33 und 34 kommen dann weitere Berechnungsmöglichkeiten hinzu ie erste Rechenvorschrift heißt Regel von Sarrus und lautet: a a a3 a a a3 = a3 a3 a33 = aaa33 + aa3a3+ a3aa3 aa3a3 aaa3 a3aa3 aa3a3 aaa33 ie Berechnungsformel wurde mit folgender Systematik entwickelt Wir schreiben eine Zahlentabelle aus 3 Zeilen und 5 Spalten, wobei wir für die Spalten 4 und 5 die Spalten und übernehmen: a a a3 a a Nun multiplizieren wir längs den iagonalen, dreimal von a links oben nach rechts unten mit einem Pluszeichen vor a a3 a a a3 a3 a33 a3 a3 dem Produkt, zb +(a a a 33 ), und dreimal von links unten nach rechts oben, mit einem Minuszeichen, zb a a a a a -(a 3 a a 3 ) Schließlich addieren wir alle Produkte as 3 Endergebnis ist die obige Formel a a a3 a a a a a a a

3 3 3 5 = = +( (-) (-)) (0 3 + (-) 5 + (-) ) = 8 (-3) = 33 Entwicklungsverfahren zur Berechnung von eterminanten vom Typ (n,n) eterminanten vom Typ (n,n) mit n 3 werden berechnet, indem man eine Rechenregel erklärt, mit der sich die Berechnung einer eterminanten vom Typ (n,n) zurückführen lässt auf die Berechnung von n eterminanten vom Typ (n-,n-) urch die sukzessive Anwendung dieser Rechenregel zur Reduktion der Elementezahl in der eterminante, erhält man nach mehrfachen Schritten ein Rechenproblem zur Berechnung von insgesamt n (n - ) (n - ) 3 eterminanten vom Typ (,) Für dieses Reduktionsverfahren definieren wir zwei neue Begriffe efinition Unterdeterminante Zu jedem Element a i,k des Zahlenschemas der eterminante (bzw der Matrix) vom Typ (n,n) existiert eine Unterdeterminante U i k vom Typ (n-,n-) ie Unterdeterminante wird gebildet, in dem man die i-te Zeile und k-te Spalte der ursprünglichen eterminante herausstreicht efinition Adjunkte Versieht man die Unterdeterminante U ik mit einem Vorzeichen sgn U ik, wobei man die Vorzeichenregel sgn U ik = (-) i+k (Schachbrettregel) verwendet, so entsteht die Adjunkte: A ik = (-) i+k U ik Gegeben sei die (n,n) - eterminante : = a a a k an a a a k an 0 3 7, etwa die (4,4) eterminante = ai a i a ik ain an an ank ann ie Unterdeterminante U ik ist die (n-,n-) - eterminante, die durch das Streichen der i - ten Zeile und der k - ten Spalte entsteht: U ik a a a a k n a a a k an 0 7 =, etwa U3 = 3 0 ai a i a ik ain 3 9 a a a a n n nk nn

4 Um die Adjunkte A i k zu ermitteln, multiplizieren wir U ik mit (-) i+k : a a a k an a a a k an i k Aik = ( ) + = ( ) + 3, etwa A3 3 0 = 3 0 ai a i a ik ain an an ank ann Mit der Kenntnis des Adjunktenbegriffes sind wir in der Lage, die Reduktion zur Berechnung einer (n,n) - eterminante auf die Berechnung einer (n-,n-) eterminante zu erklären Rechenregel zur Reduktion der Berechnung einer (n,n)-eterminante auf die berechnung einer (n-,n-) -eterminante Summiert man nun für eine beliebige Zeile bzw eine beliebige Spalte die Produkte aus den einzelnen Zeilen- bzw Spaltenelementen mit ihren Adjunkten, so erhält man den Zahlenwert der eterminanten: det A = aiai + aiai + + ainain Zeilenberechnung, det A = akak + akak + + ankank Spaltenberechnung unabhängig davon, welche Zeile i bzw welche Spalte k für die Rechnung verwendet wird ie Berechnung der Adjunkten vom Typ (n, n ) verläuft nach dem gleichen Verfahren; dh man muss die Zeilen- oder Spaltenentwicklungen solange wiederholen, bis die verbleibenden Adjunkten vom Typ (,) sind Am einfachsten gestaltet sich das Verfahren also für eine eterminante vom Typ (3,3), weil hier die Adjunkten schon nach der ersten Entwicklung vom Typ (,) sind zur Berechnung einer eterminante vom Typ (3, 3) Zu berechnen sei die eterminante = 0 3 ie Entwicklung nach der zweiten Spalte ergibt folgende Summation: det A= a A + a A + a3 A3 = ( ) a U + ( ) a U + ( ) a 3 U 3 = 0 ( ) 33 + ( ) ( ) = = - 3 Addiert man in diesem Schema die Produkte in Richtung der Hauptdiagonalen und subtrahiert hiervon die Produkte der Nebendiagonalen, so erhält man den Wert der eterminanten

5 Anmerkungen Offensichtlich ist es in dem Berechnungsverfahren günstig, wenn in einer Zeile viele Nullen vorkommen, weil dann das Produkt aus Element und Adjunkte Null wird a wir über die Wahl von Zeilen oder Spalten im Entwicklungsverfahren frei verfügen dürfen, suchen wir solche aus, in denen viele Nullen vorkommen In 34 werden wir zeigen, wie sich solche Nullen in einer Matrix erzeugen lassen, ohne dass sich der eterminantenwert der Matrix verändert Wir verändern also das Gesicht der Matrix, aber nicht ihren eterminantenwert Für Matrizen vom Typ (,) oder auch (3,3) besteht kein zwingender Anlass, zusätzliche Rechenmethoden neben den bislang präsentierten, einzuführen Für Matrizen vom Typ (n,n) mit n 4 wird der Rechenaufwand im Entwicklungsverfahren erheblich und die Regel von Sarrus darf nur für (3,3) angewendet werden In diesem Fall sollten wir stets zunächst die Vereinfachungsregeln in 34 anwenden 34 Rechenregeln zur Vereinfachung der Berechnung von eterminanten Es ist offensichtlich, daß die Berechnung der eterminanten vom Typ (n,n) mit n 4 eine große Anzahl von Einzelrechnungen erfordert Aus diesem Grund ist es zweckmäßig zu versuchen, durch geeignete Umformungen der Matrix bzw ihrer eterminante den Rechenaufwand zu verringern iese Umformungen müssen so geschehen, dass sie zwar das Gesicht der Matrix, aber nicht den Wert der eterminanten verändern Weil in diesen Rechengesetzen die einzelnen Zeilen der eterminanten eine besondere Bedeutung besitzen, beschreiben wir die quadratische Matrix A bzw ihre eterminante det A durch ihre Zeilenvektoren a (i), i n ie gleichen Gesetze lassen sich auch formulieren, wenn wir anstelle des Begriffes Zeile den Begriff Spalte verwenden Umformungen, die den Wert der eterminante nicht verändern, aber den Rechenaufwand im Regelfall verringern, können wir nun so formulieren: det (a (),a (),,λa (k),,a (n) ) = λ det (a (),a (),,a (k),,a (n) ) Gemeinsame Faktoren einer Zeile dürfen vor die eterminante gezogen werden det A = = 3 3 9= 3 ( 8 ( 7) 4 ( 5) + ( 36 5) ) = det (a (),a (),, a (k),,a (n) ) = 0, wenn n ( k) () i a = aa i eine beliebige Linearform aller Zeilen (außer der k - ten) ist i= i k Wenn zwei Zeilen gleich sind oder wenn eine Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile ist oder eine Linearkombination anderer Zeilen ist oder wenn ein Zeilenvektor der Nullvektor ist, so ist der Wert der eterminanten Null

6 e = 4 4 = 0, weil zb die zweite Zeile Linearform der ersten ist: a() =4 a () = = 0, weil a (3) = a () + a () ist Sehr wichtig ist nun das folgende Gesetz, mit dessen Hilfe wir die eterminanten mittels des modifizierten Gauß-Algorithmus vereinfachen: 3 det (a (),a (),,a (k),,a (n) ) = det (a (),a (),,a (k) + x (k),,a (n) ) n ( k) () i wenn x = aa i eine beliebige Linearform aller Zeilen (außer der k - ten) ist i= i k ie Regel 3) ergibt sich direkt aus den Regeln ) und ) Man darf also zu einer Zeile beliebige Vielfache anderer Zeilen oder Linearkombinationen anderer Zeilen addieren, ohne den Wert der eterminanten zu verändern det A = = = = 3 = Anmerkung n Ist A eine iagonalmatrix, so gilt det A = a ii i= Im Besonderen gilt: det E =, worin E die Einheitsmatrix bedeutet 4 det (a (),,a (i),,a (k),,a (n) ) = - det (a (),,a (),,a (i),,a (n) ) Vertauscht man zwei Zeilen, so ändert sich das Vorzeichen = 3 5 7= 3 5= () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) det( a, a,, a k + k,, a n ) = det( a, a,, a k,, a n ) + det( a, a,, a k,, a n )

7 Steht in einer Zeile einer quadratischen Matrix eine Summe zweier Vektoren, so spaltet sich die eterminante der Matrix in die Summe zweier eterminanten auf, bei denen die entsprechenden Zeilen der Summanden stehen det A = = = = 0 ( 7-3 5) = - 78 Anmerkung: ie erste eterminante ist Null, die zweite lässt sich direkt rechnen: (Entwicklung nach der 3-ten Zeile) 6 Es gilt stets: det A= det A T Vertauscht man die Zeilen einer quadratischen Matrix mit den Spalten, so verändert sich der Wert der Matrix nicht 7) det (A B) = det A det B Anmerkung Aus dem Rechengesetz 6 und aus det E = folgt: = det E = det (A A - ) = det A det A -, also det A = det A Mit diesen Umformungen, vor allem mit der für das praktische Rechnen wichtigen Regel 3, werden wir das Gesicht der eterminanten so verändern, dass unterhalb der Hauptdiagonalen möglichst viele Nullen stehen Für lineare Gleichungssysteme ist dieses Rechenverfahren unter dem Namen Gauss - Algorithmus bekannt Stehen unter der Hauptdiagonalen nur Nullen, so ergibt sich der Wert der eterminanten als Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen e z z z z z3 z 3 z4 z

8 z z 3 0 z z 4z z3 z3 z z4 z z z 3 0 z z z3 z3 z z4 z z z 3 0 z z z3 z z4 z4 3z = (+ ) ( 780) = Anwendungen und Anmerkungen 34 Cramersche Regel Wir haben die eterminantenrechenregel für (,) eterminanten zur Kenntnis genommen und uns möglicherweise über die vermeintliche Willkür dieser Regel gewundert Wir können sie uns aber mit einem Rechenverfahren plausibler machen, das Cramersche Regel heißt Es dient dazu, die Lösungen für eindeutig lösbare quadratische lineare Gleichungssysteme zu ermitteln Wir beginnen mit der Cramerschen Regel für (,) Systeme Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: ax + ax = b Ax b ax + ax = b = Wenn wir dieses Gleichungssystem nach x und x auflösen, erhalten wir: ba b a x ba = und x ba = aa aa aa aa Wir erkennen im Nenner den Wert der eterminante det A, dessen efinition in 3 uns zunächst willkürlich erschien Offensichtlich können die Lösungen x und x nur für det A 0 existieren amit haben wir Kraft des eterminantenwertes zunächst eine qualitative Aussage Entsprechend dem Nenner kann der Zähler der Lösung x kann gemäß der eterminantenrechenvorschrift durch folgende eterminante dargestellt werden: = b a b a

9 Entsprechend lässt sich der Zähler von x so ausdrücken: a b = a b er Nenner entspricht in beiden Fällen der eterminante: = a a Insgesamt ließe sich die Lösung demnach auch so schreiben: a a x = und x = Wir erkennen, das man aus herleitet, indem man die -te Spalte der Koeffizientenmatrix durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt, während man für die zweite Spalte der Koeffizientenmatrix durch die rechte Seite zu ersetzen hat Man nennt dieses Lösungsverfahren, das man auch auf umfangreichere Systeme erweitern kann, die Cramersche Regel Insgesamt demonstriert uns dieses lineare (,) Gleichungssystem die zwei wesentlichen Aussagen, die sich aus dem eterminantenwert ergibt: det A 0 Bedingung für eine eindeutige Lösung qualitativ x =, x = Lösungen aus den eterminantenwerten quantitativ x 3x = 8 x + x = 5 Zu berechnen sind die eterminanten: = 3 = ( ) ( 3) =, = =, = 5 5 = - Gemäß der Cramerschen Regel erhalten wir die Lösungen x = = = und x = = = - Für lineare (3,3) Gleichungssysteme wenden wir die Cramersche Regel analog an Wir zeigen dies anhand von zwei en Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x + 3 x 4 x3 = 4 3 x 5 x + 0 x3 = 7 0 x + x 3 x3 = 5 A x = b, mit

10 3 4 4 A = und b = 7 ann ist = det A = 3 5 0= 33, = det A = 7 5 0= 33, = det A = = 66, 3 = = 99 amit ist: 0 5 x = = ; x = = und x 3 = 3 = 3 ) Gegeben sei das lineare (3, 3) - System x + x x3 = 0 3x + x + x3 = 5x + 4x + 3x3 = 4 Zu berechnen sind die eterminanten: 0 0 = 3, =, = 3, 3 = Aus = -7, = -7, = -4 und 3 = erhält man die Lösungen x =, x = und x 3 = -3 Wir wenden wir die Cramersche Regel nun analog auf lineare, eindeutig lösbare (n,n) Gleichungssysteme an Wir fügen aber hinzu, dass die Vorteile dieser Rechenregel bei (,) und (3,3) System liegen Gegeben sei das quadratische, lineare Gleichungssystem: b = ax + ax + a3x3 + + anxn b = ax + ax + a3x3 + + anxn b3 = a3x + a3x + a33x3 + + a3nxn = + = + bn = an x + anx + an3x3 + + annxn, worin

11 x b a a a x b n A = a a a n, x = und b = bedeuten x q bp an an a nn x n b n ie eindeutige Lösung x finden wir wie folgt a a an a a a i Wir berechnen det A = n an an ann ii Wir ersetzen den ersten Spaltenvektor a von A durch den Spaltenvektor b und erhalten somit die Matrix b a a n b a an b a a n b A = und dazu die det A = = a an bn an a b a a nn n n nn iii Nun ersetzen wir den zweiten Spaltenvektor a von A durch b und erhalten entsprechend die Matrix a b a n a b an a b a n a A = und dazu die det A = = b an an bn a a b a nn n n nn iv In diesem Sinne berechnen wir bis n x x v ie gesuchte Lösung x heißt nun:x = = = x n n n

12 34 Adjunktenregel zur Berechnung inverser Matrizen Wir können die eterminantenrechnung auch dazu benutzen, inverse Matrizen zu berechnen azu verwenden wir die so genannte Adjunktenregel iese besagt folgendes: Gegeben sei die reguläre (n,n) Matrix a a a n a a a n A = an an a nn Gesucht ist ihre inverse Matrix A - iese erhalten wir wie folgt: A = det A A A n A A A n, worin die A ik die Adjunkten der det A bedeuten A A n A n A nn Berechne die inverse Matrix A - zur Matrix A = A T = Wir berechnen zuerst die eterminante von A, zb mit der Regel von Sarrus: = (3 0 ) + (8 7) + (4 ) - (7 0 4) - ( 3) - ( 8) = ann verwenden wir die Adjunktenregel: A A A A = A A A 3 = det A = A A A Anmerkung Zur Bestimmung der Inversen können wir zuerst A T aus A bilden, dann die Adjunkten 343 bilden und Weitere schließlich Anwendungen aus dem Produkt mit det A die Inverse A- errechnen oder zuers Adjunkten zu A bilden, dann die Ergebnismatrix transponieren und aus dem Produk det A die Inverse A- bestimmen

13 Berechnung des Spatproduktes Jede (3,3) eterminante können wir als ein Spatprodukt interpretieren, das von den drei Zeilenvektoren () () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( 3) ( 3) ( 3) a = ( a, a, a 3 ), a = ( a, a, a 3 ) und a = ( a, a, a 3 ) gebildet wird: () () () a a a det A = a () ( a () a (3) ) det () ( ( ) ( ) efinition 3 3 ( ) ( ) ( ) A= a a a ) = a a a 3 ( 3) ( 3) ( 3) a a a 3 Bilden die drei Vektoren ein Rechtssystem, so ist die eterminante positiv und das Spatprodukt beschreibt das Volumen Andernfalls ist die eterminante negativ, und das Volumen V des Spates wird beschrieben durch : () ( ) ( 3) V = det A = a ( a a = - () a ( ) ( ), a, a 3 = a () a ( 3) a ( ),, Berechne das Volumen des von den drei Vektoren u, v und w aufgespannten Spatvolumens, wobei 0 u =, v = und w = sind Für das Volumen gilt dann: V = det A = = ( 3 3) + ( 6 0)= 6 Berechnung des Vektorproduktes Mit einem formalisierten Rechenverfahren verwenden wir die eterminantenrechnung, um aus zwei Vektoren a und b das Vektorprodukt zu bilden Seien u = (u,u,u 3 ) und v = (v,v,v 3 ) ann ist das Vektorprodukt u v: e e e3 u u u3 v v v3 ( ) = uv 3 uv 3, ( uv 3 uv 3 ), uv uv Seien u = (,,) und v = -3) ann ist u v = e e e3 3 ( ) = 3, ( 3 ( )), ( ) = (5,-4,3)

14 Äquivalente Aussagen zu det A 0 bzw det A = 0 Zuordnung Matrix A eterminante A = Reelle Zahl = det A det A 0 det A = 0 Rang von A = n Alle Zeilenvektoren a (i) linear unabhängig Ax = b eindeutig lösbar mit xi = i Inverse Matrix A - existiert: A A A = ( ki) = ( A A ik) T det det Rang A = r < n Zeilenvektoren a (i) linear abhängig Ax = b nicht eindeutig lösbar Rang A < Rang A erw : Keine Lösung Rang A = Rang A erw : - Lösungen Inverse Matrix existiert nicht Merkregeln Viele Aufgaben bestehen darin, ein Gleichungssystem, welches einen Parameter a enthält, daraufhin zu untersuchen, für welche Parameterwerte a das Gleichungssystem eindeutig lösbar, unendlich oft lösbar, nicht lösbar ist Solche Aufgaben werden immer damit begonnen, zu untersuchen, für welche Parameterwerte a die eterminante der Koeffizientenmatrix det A(a) = 0 ist eterminanten vom Typus (n,n) mit n 4 werden fast immer zuerst durch den modifizierten Gauß - Algorithmus vereinfacht