Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

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1 Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya

2 Inverse Matrix: Beispiel Um die inverse der Matrix A mit Gauß-Jordan-Algorithmus zu bestimmen, wird eine Folge von elementaren Zeilenoperationen durchgeführt. Aus der Matrix A und der Einheitsmatrix E wird eine sog. Blockmatrix A E gebildet Z 2 Z 3 Z Die linke Seite der Blockmatrix, die Matrix A, wird durch eine Folge von elementaren Zeilenoperationen in die Einheitsmatrix umgeformt. 0 0 * * * 0 0 * * * 0 0 * * * 6- Ma Lubov Vassilevskaya

3 Inverse Matrix: Beispiel Erzeugung der Nullen der. Spalte: für die Null der 2. Zeile addieren wir die. und die 2. Zeile, die Null der 3. Zeile erhalten wir durch Abziehen der. von der 3. Zeile und 3. Zeilen werden vertauscht für die beim Element 2, Von der 3. Zeile wird das 3-fache der 2. Zeile abgezogen: Die 3. Zeile wird durch 5 geteilt: /5 /5 3 /5 6-2 Ma Lubov Vassilevskaya

4 Inverse Matrix: Beispiel 5 Zur 2. Zeile wird die 3. Zeile addiert, und von der. Zeile wird das 2-fache der 3. Zeile abgezogen /5 2/5 6 /5 0 0 /5 /5 2/ /5 /5 3/ , A = Ma Lubov Vassilevskaya

5 Inverse Matrix: Allgemeine Formel Zu jeder regulären n, n-matrix gibt es genau eine inverse Matrix A = det A A A2... An A 2 A A n 2 A n A 2 n... A n n A i k ist das Algebraische Komplement von a i k in A: Dabei ist U i k A i k = i +k U i k die Unterdeterminante n -ter Ordnung. Die Verwendung von Determinanten eröffnet eine weitere Möglichkeit, für eine gebene Matrix die zugehörige inverse Matrix zu berechnen. 7- Ma Lubov Vassilevskaya

6 Inverse Matrix: Allgemeine Formel a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33, det A A A 2 A 3 A 2 A 22 A 32 A 3 A 23 A 33 = A = + U a a a 32 a 33, A 2 = 2+ U 2 = a a 2 3 a 32 a 33, = A 3 = 3+ U a a a 22 a 23, A 2 = +2 U 2 = a a 2 23 a 3 a 33, A 22 = 2+2 U 22 = a a 3 a 3 a 33, A 32 = 3+2 U 3 2 = a a 3 a 2 a 23, A 3 = +3 U 3 = a 2 a 22 a 3 a 32, A 23 = 2+3 U 23 = a a 2 a 3 a 32, A 33 = 3+3 U 33 = a a 2 a 2 a Ma Lubov Vassilevskaya

7 Inverse Matrix: Beispiel 2 In diesem Beispiel wird die Inverse der Matrix A bestimmt: , A = det A A A 2 A 3 A 2 A 22 A 32 A 3 A 23 A 33 = A = + U a a a 32 a 33 = = 5 A 2 = 2+ U 2 = a 2 a 3 a 32 a 33 = 4 5 = 9 A 3 = 3+ U 3 = a 2 a 3 a 22 a 23 = = 37 A 2 = +2 U 2 = a 2 a 23 a 3 a 3 = 3 3 = 0 A 22 = 2+2 U 2 2 = a a 3 a 3 a 33 = 2 4 = Ma Lubov Vassilevskaya

8 Inverse Matrix: Beispiel A 32 = 3+2 U 3 2 = a a 3 a 2 a 23 = = 6 A 3 = +3 U 3= a a 2 22 a 3 a 32 = = 5 A 23 = 2+3 U 23 = a a 2 a 3 a 32 = 2 5 = 9 A 33 = 3+3 U 33 = a a 2 a 2 a 22 = = 7 det 0, A = Ma Lubov Vassilevskaya

9 Inverse Matrix: Aufgaben 5, 6 Bestimmen Sie die inverse Matrix folgender Matrizen: Aufgabe 5: a 0 0, B = 0 0, C = 0 2 0, D = 0 b c Aufgabe 6: , B = 2 0 2, C = , D = 0 0, F = 0 3 0, G = Ma Lubov Vassilevskaya

10 Inverse Matrix: Lösung , det, 0 0 A = B = , det B =, 0 0 B = C = , det C = 6, C = D = a b c, det D = a b c, D = = 0 0 a 0 0 b 0 0 c Ma Lubov Vassilevskaya

11 Inverse einer diagonalen Matrix a a a 33, det a a 22 a 33, a a 22 0 a 33 Hier kann man die Form der inversen Matrix gut verstehen. Bestimmt man, z.b., die inverse Matrix mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus, so wird jede Zeile der Matrix A E durch das entsprechende Diagonalelement dividiert. Noch direkter sieht man natürlich, dass das Matrixprodukt der beiden obigen Matrizen die Einheitsmatrix ergibt. 9-3 Ma Lubov Vassilevskaya

12 Inverse Matrix: Lösung , det 6, A = B = , det B = 3, B = C = 0 2 0, det C = 2, C = = D = 0, det D = 0 Z = 2Z 3 Die Inverse der Matrix D existiert nicht, die Zeilen sind nicht linear unabhängig, det D = Ma Lubov Vassilevskaya

13 Inverse Matrix: Lösung 6 F = 0 3 0, det F = 2, F = G = , det G = 32, G = Ma Lubov Vassilevskaya

14 Inverse Matrix: Aufgaben 7, 8 Aufgabe 7: Für welche reelle a ist Matrix M singulär? a M = , b M = 2 6 a 0 0 2a a 2, c M = 2 4 a 0 2 a 0 a a Aufgabe 8: Bestimmen Sie die inverse Matrix folgender Matrizen: , B = Ma Lubov Vassilevskaya

15 Inverse Matrix: Lösung 7 a M = a, det M = 2 a + 22, det M a = = 0 det M = 0 : 2 a + = 0, a = Die Matrix M singulär für a = -. b M = a a 2, det M = 4 a a 2, det M = 0 : 2 4 det M = 0 : a a 2 = 0, a = 0, a 2 = 2 Die Matrix M singulär für a = 0 und a = 2. c M = a 0 2a 0 a a, det M = a a2 + 2 a = aa 2 det M = 0 : a a 2 = 0, a = 0, a 2 = Die Matrix M singulär für a = 0 und a =. 0-2 Ma Lubov Vassilevskaya

16 Inverse Matrix: Lösung , det 8, A = B = , det B = 4, B = Ma Lubov Vassilevskaya