D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Serie 11

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1 D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Serie Wir betrachten das überbestimmte Gleichungssystem Ax = y mit A := , y := Berechnen Sie die QR-Faktorisierung von A mit dem klassischen Gram Schmidt Verfahren (Algorithmus 7.1) und lösen Sie damit das Gleichungssystem Ax = y im Sinne der kleinsten Quadrate. 2. Wir definieren das Skalarprodukt x, y A = x Ay und zwei Vektoren die den Unterraum W erzeugen: 1/5 1/5 W = span 0, 1. Berechnen Sie nun eine othogonale Basis von W mit A = 0 1 0, bezüglich des Skalarproduktes x, y A. 3/5 3/5 3. (Korrektur durch Assistenten) In einem Vektorraum W über R mit dim W 2 sei ein Skalarprodukt gegeben, und für zwei Vektoren u, v W die Gram sche Matrix G definiert: ( ) u, u u, v G = v, u v, v Zeigen Sie, dass die Determinante von G nur genau dann gleich 0 ist, wenn die zwei Vektoren u und v linear abhängig sind. Bitte wenden!

2 4. a) Für welche Werte von a, b, c R ist die folgende Matrix singulär? c a A = 2 1 b b) Wir wissen, dass die Determinante einer Dreiecksmatrix einfach zu berechnen ist. Zudem ändert sich die Determinante nicht, wenn ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert wird. Dies erlaubt die effiziente Bestimmung der Determinante einer beliebigen Matrix mittels Gauss-Elimination oder LR-Zerlegung. Bestimmen Sie die Determinante von B = indem Sie die Gauss-Elimination von Hand machen. 5. Ein Graph G mit den Knoten 1, 2,..., n wird vollständig durch seine Adjazenzmatrix A beschrieben: { 1 falls i mit j durch eine Kante verbunden ist (A) ij = 0 sonst Beispielsweise gehört zum Graph G: Abbildung 1: Graph G mit 5 Knoten. die Adjazenzmatrix A = Siehe nächstes Blatt!

3 Sei d i der Grad des Knotens i, d.h. die Anzahl seiner Nachbarn, und D = diag(d 1 d 2... d n ). Dann heisst L = D A Laplace-Operator auf G. a) Zeigen Sie für beliebige G, dass det L = 0 gilt. b) Der Satz von Kirchhoff besagt, dass die Anzahl der aufspannenden Teilbäume eines Graphen (siehe Beispiel in Abbildung 1) gleich dem Wert eines beliebigen Kofaktors von L ist. Ein Teilbaum nennt man aufspannenden wenn er alle Knoten des Hauptgraphen beinhaltet. Berechne Sie die Anzahl der möglichen aufspannenden Teilbäume für den Graphen G in Abbildung 1. Abbildung 2: Ein Beispiel eines Graphs mit 4 Knoten und all seine möglichen aufspannenden Teilbäume (Quelle: Wikipedia). 6. MATLAB-Aufgabe: Determinantenberechnung: a) Rekursive Determinantenberechnung: Die Berechnung der Determinanten einer n n Matrix mittels Entwicklung nach Zeile oder Spalte führt zu einer rekursiven Formel der Determinanten als Funktion von Determinanten von (n 1) (n 1) Matrizen, wobei die Rekursion bei der Matrixgrösse 1 1 abgebrochen wird, da eine solche Determinante trivial gegeben ist. Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion function d = mydet(a) um die Determinante rekursiv zu berechnen. b) Wie viele rekursive Funktionsaufrufe sind nötig, um die Determinante einer n n Matrix zu berechnen? Bitte wenden!

4 7. Lösen Sie die Multiple-Choice-Aufgaben. 1. Sei A R m n eine Matrix mit linear unabhängigen Kolonnen. Seien Q, Q 1 R m n Matrizen mit orthonormalen Kolonnen und R, R 1 R n n obere Dreiecksmatrizen, wobei die Diagonalelemente der Matrix R positiv sind. Hinweis: Die QR-Zerlegung ist für m n und Rang A = n eindeutig, wenn man die Vorzeichen der Diagonalelemente von der Dreiecksmatrix vorgibt. Welche der folgenden Aussagen sind unbedingt richtig wenn A = QR = Q 1 R 1 gilt? (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) Rang R = m Rang R = n Rang R 1 = m Rang R 1 = n Q Q 1 ist eine reguläre Matrix Q Q 1 ist eine orthogonale Matrix Q Q 1 ist eine obere Dreiecksmatrix Q Q 1 ist eine untere Dreiecksmatrix Q Q 1 ist eine Diagonalmatrix Q Q 1 = I 2. Was sind mögliche Werte von det A = α, wenn A eine orthogonale Matrix über R ist? (a) α = 0 (b) α = 1 (c) α R \ {0} (d) α = 1 Siehe nächstes Blatt!

5 3. Gegeben ist die Matrix A R n n mit den Einträgen a ij = ij und n > 1. Welche Aussage ist richtig? (a) det A = 0 (b) det A = 1 (c) (d) det A = 1 n det A = 2 n Abgabe: Do/Fr 14./15. Dezember