D-INFK Lineare Algebra HS 2014 Roman Glebov Marc Pollefeys. Serie 13

Transkript

1 D-INFK Lineare Algebra HS 2014 Roman Glebov Marc Pollefeys Serie Um einen Tisch sitzen 7 Zwerge. Vor jedem steht ein Becher mit Milch. Einer der Zwerge verteilt seine Milch gleichmässig auf alle Becher. Danach tut sein rechter Nachbar dasselbe. Genauso verfährt der nächste rechts herum. Nachdem der 7. Zwerg seine Milch verteilt hat, ist in jedem Becher soviel Milch wie anfangs. Wie viel Milch war anfangs in jedem Becher? Seien x (0) 1,..., x(0) 7 die Menge Milch pro Becher am Anfang und x (1) 1,..., x(1) 7 die Menge nachdem der erste Zwerg seine Milch verteilt hat. Es gilt: x (1) = T (1) x (0), wobei 1/ / T (1) =. 1/ / ist. Allgemein wird der i-te Ausschank durch die Transformation x (i) = T (i) x (i 1) beschrieben, wobei T (i) ähnlich wie T (1) aussieht. Die Kolonne mit 1/7 ist nun die i-te statt die erste. Für den Endzustand haben wir: x (7) = T } (7) {{ T (1) } A x (0) und da x (7) = x (0) ist, erhält man das Eigenwertproblem: Ax = x. a) Zeigen Sie, dass die Matrix A wirklich einen Eigenwert λ = 1 hat. Hinweis: Betrachten Sie A und erraten Sie einen Eigenvektor für die einzelnen Matrizen T (i) b) Berechnen Sie die Matrix A mittels Matlab und berechnen Sie den Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1. Skalieren Sie dann den berechneten Eigenvektor, damit die gesamte Menge Milch (x (i) 1 + x(i) 2 + x(i) 3 + x(i) 4 + x(i) 5 + x(i) 6 + x(i) 7 ) 3 Litern entspricht. Bitte wenden!

2 2. Sei A eine diagonalisierbare Matrix und dessen Eigenwertzerlegung gegeben durch A = V ΛV 1. a) Zeichnen Sie ein kommutatives Diagramm (analog zur Abbildung 5.48 im Skript) für die Abbildungsmatrix A k = A } A {{ A} = k k A welches insbesondere diese Abbildung in der Eigenbasis darstellt. Drücken Sie A k als Funktion der Transformationsmatrix V und der Diagonalmatrix Λ aus, wobei Λ aus den Eigenwerten λ i der Matrix A besteht. b) Nehmen wir an, dass es einen dominierenden Eigenwert λ 1 gibt (d.h. i 1 : λ 1 > λ i ). Gegeben sei ein zufälliger Vektor a 0 und die Iterationsvorschrift a k = Aa k 1 Aa k 1. Iteriert man diese Vorschrift genügend lange, so entspricht a k einem zum dominanten Eigenwert zugehörigen Eigenvektor v 1. Zeigen Sie, warum dies der Fall ist. Gehen Sie dazu folgendermassen vor: 1. Formulieren Sie zuerst den unnormierten Vektor der k-ten Iteration ã k = Aã k 1 in Abhängigkeit von ã 0 = a 0 und A. 2. Drücken Sie danach den Startvektor a 0 in der Eigenbasis aus, d.h. wir setzen a 0 = V b = v 1 b 1 + v 2 b v n b n. 3. Leiten Sie eine Formel für ã k in Abhängigeit der Eigenwerte her. Tipp: Starten Sie zuerst mit ã 1 = Aa 0 und ã 2 = Aã 1 und schliessen Sie dann auf beliebige k. 4. Klammern Sie den dominanten Eigenwert aus und untersuchen Sie, was für k passiert. Die verbleibenden Schritte sollten dann direkt aus dem gegebenen Ansatz folgen. (Anmerkung: Das hier beschriebene Verfahren funktioniert nicht, wenn der Startvektor a 0 orthogonal zum Eigenvektor v 1 ist. Da a 0 zufällig gewählt wird, sind diese Vektoren mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht-orthogonal. Sie können annehmen, dass das der Fall ist.) i=1 3. MATLAB-Aufgabe Konditionszahl In dieser Aufgabe wollen wir untersuchen, wie die Konditionszahl sich auf die Stabilität der Lösung eines linearen Gleichungssystems auswirkt. Wir definieren ( ) ( ) ( ) A(α) =, x = und b = Ax =. 1 α 0 1 Siehe nächstes Blatt!

3 Man bemerke, dass A(0) nicht invertierbar ist (das sieht man beispielsweise an den linear abhängigen Zeilen). Für α 0 ist A(α) zwar invertierbar, aber wir werden sehen, dass für kleine α es trotzdem zu Schwierigkeiten kommen kann. Im Folgenden werden wir die Maschinengenauigkeit eps benutzen. a) Schreiben sie eine MATLAB-Funktion function e = comperr(alpha). Diese Funktion soll zuerst A und x wie oben definiert generieren und dann b berechnen. Danach soll mit b_err = b + eps eine fehlerbehaftete rechte Seite generiert werde. Der Fehler, den wir so künstlich einführen, ist ungefähr so gross wie man es realistischerweise erwarten kann. Schliesslich soll die Funktion das fehlerbehaftete Gleichungssystem Ax err = b err lösen und den Fehler e = x err x zurückgeben. b) Berechnen Sie den Fehler e für α = Dieser Fehler mag unwesentlich scheinen, deshalb berechnen Sie e/eps. Diese Zahl gibt an, um wieviel der ursprüngliche Fehler eps verstärkt wurde. c) Erweitern Sie die Funktion jetzt so, dass auch die 2-Norm-Konditionszahl κ 2 (A) berechnet wird: function [e, k] = comperr_c(alpha). Hinweis: Funktion cond. d) Werten Sie die Funktion für α {10 0, 10 1,..., 10 6 } aus und stellen Sie die Verstärkung des Fehlers e eps und die Konditionszahl κ in einem gemeinsamen Plot dar. Zur besseren Lesbarkeit verwenden Sie eine logarithmische Skala auf beiden Axen. Was ist der Zusammenhang zwischen den beiden Grössen? Hinweis: Funktion loglog. 4. Lösen Sie die Online-Multiple-Choice-Aufgaben. Bitte wenden!

4 1. Welche der folgenden Lösungen sind richtig? a b c d e det =? α β γ δ ε (a) 1 (b) b ε (d) 0 2. Sei A, B R n n. Welche der folgenden Lösungen sind richtig? det (A B) =? (a) det (A + B) (b) det (A) + det (B) det (A) det (B) Siehe nächstes Blatt!

5 3. Welche der folgenden Lösungen sind richtig? det =? (a) 0 (b) 2 2 (d) 3 4. Sei A R n n und k R \ {±1}. Welche der folgenden Lösungen sind richtig? det (k A) =? (a) (b) (d) k n det (A) k det (A) det (k) det (A) det (A) Bitte wenden!

6 5. Ein Computer rechnet mit Maschinenzahlen der Form x = ±m 0.m 1 m 2 m 3 2 ±e 1e 2 wobei m 0, m 1, m 2, m 3 und e 1, e 2 Binärziffern sind. Bestimmen Sie ob die folgenden Aussagen zutreffen oder nicht. (a) Die grösste, positive, normalisierte Zahl ist realmax = 8 (b) Die kleinste, positive, normalisierte Zahl ist realmin = 1 8 Die kleinste, positive, nicht normalisierte Zahl ist knpz = 1 64 (d) Die kleinste, positive, nicht normalisierte Zahl ist knpz = 1 8 (e) Die Maschinengenauigkeit ist eps = 1 8 (f) Es gilt eps realmin = knpz Für MATLAB-Aufgaben: Bitte stellen Sie sicher, dass Ihre Programme ausführbar sind und korrekt laufen. Reichen Sie Ihre Lösungen unter ein und geben Sie zusätzlich einen Ausdruck des generierten.pdf zusammen mit den Lösungen der anderen Aufgaben ab. Bitte geben Sie Ihre Lösungen bis Donnerstag, den , 12:00 h ab. linalg_infk