1. Klausur zu Vektor- und Matrizenrechnung I und II WS 2009/10 und SS 2010 am Dienstag, dem 27. Juli 2010

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1 Dr. M. Scheer Fakultät für Mathematik Technische Universität Dortmund 1. Klausur zu Vektor- und Matrizenrechnung I und II WS 2009/10 und SS 2010 am Dienstag, dem 27. Juli 2010 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Geburtsdatum: Semesterzahl: Unterschrift: Füllen Sie zuerst dieses Deckblatt vollständig aus. Die Klausur enthält 6 Aufgaben. Prüfen Sie, ob in Ihrem Exemplar auch alle Aufgaben vorhanden sind. Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 66 Punkte. Für die Bearbeitung der Aufgaben sind nur die beigefügten Blätter zu benutzen. Falls der Raum zur Bearbeitung einer Aufgabe nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseiten der Blätter bzw. weichen Sie auf die eingehefteten Zusatzblätter aus. Es dürfen keinerlei Hilfsmittel, insbesondere auch kein Taschenrechner, benutzt werden. Legen Sie bitte für die Anwesenheitskontrolle Ihren Studentenausweis und einen Lichtbildausweis bereit Note

2 Aufgabe 1: a) Sei U = span {u 1, u 2, u 3, u 4 } R 4. (i) Erklären Sie mir bitte - anhand von obigem U - mit Ihren eigenen Worten (!) kurz die Begriffe Erzeugendensystem, Basis und Dimension. (ii) Was bedeuten in diesem Zusammenhang die Begriffe maximal linear unabhängig und minimales Erzeugendensystem und wie hängen die beiden Begriffe zusammen? (iii) Nehmen wir mal an, {u 1,..., u 4 } wären eine Basis von U. Nun wollen wir aber z.b. u 3 durch einen anderen Vektor u 5 R 4 ersetzen. Warum dürfen wir das überhaupt und was muss man dabei bei der Wahl von u 5 beachten? b) Sei A K (n,n) eine Matrix. (i) Vervollständigen Sie die folgende Definition: Ein Skalar λ K heißt ein Eigenwert von A, wenn... (ii) Sei nun λ K ein Eigenwert von A. Zeigen Sie folgende Mengengleichheit: E(A; λ) = ker(a λi). (iii) Können Sie mit Hilfe von (ii) kurz begründen, warum ein Eigenraum stets ein Untervektorraum ist? (iv) Zeigen Sie mit Hilfe der Axiome, dass E(A; λ) ein Untervektorraum ist (ohne Nutzung von (ii)). c) Sei nun B R (n,n) idempotent. Zeigen Sie: λ Eigenwert von B λ = 1 oder λ = 0. d) Sei nun C (n, n) nnd-matrix. Zeigen Sie: C pd und C = C C regulär und C 1 pd = 16 Punkte

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4 Aufgabe 2: a) Bestimmen Sie die symmetrische Matrix A, so dass gilt: x Ax = 2 3 x x x x 1x x 1x x 2x 3 für x = b) Sei nun die folgende Matrix aus R (3,3) gegeben: B = x 1 x 2 x 3 R 3. Bestimmen Sie eine orthonormale Basis von R 3, die aus Eigenvektoren der Matrix B besteht. Geben Sie die Spektralzerlegung von B an. c) Ist B orthogonal? d) Ist B orthonormal? e) Geben Sie eine Basis von Im(B) und eine Basis von ker(b) an. f) Weisen Sie nach, dass B ein orthogonaler Projektor auf W längs U ist und geben Sie die Untervektorräume U und W durch Basen an. g) Ist B eine nnd-matrix? h) Zeigen Sie, dass B keine pd-matrix ist, indem Sie einen Vektor u R 3 angeben, für den gilt: u 0, aber u Bu = = 16 Punkte

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6 Aufgabe 3: Gegeben ist die Matrix A = (a) Bestimmen Sie die Singulärwertzerlegung von A. (zur Kontrolle: Die zur Berechnung der Singulärwerte notwendigen Eigenwerte sind 36, 16, 0) (b) Bestimmen Sie die Moore-Penrose-Inverse der folgenden Matrix B B = Punkte

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8 Aufgabe 4: a) Sei A R (n,n) eine Matrix. (i) Wann heißt A diagonalisierbar? (ii) Wie prüft man nach, ob eine Matrix diagonalisierbar ist? (iii) Geben Sie Äquivalenzen zu diagonalisierbar an. (iv) Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist... bekommt man dann auch immer die Jordansche Normalform? (Begründung!) (v) Gilt die Rückrichtung dieser Aussage auch: Also: Wenn eine Matrix in Jordanform überführbar ist... ist sie dann auch diagonalisierbar? (Begründung!) b) (i) Erklären Sie mit Ihren eigenen Worten: Was ist eine Darstellungsmatrix M A B (f)? (Gehen Sie also darauf ein, was A, B und f damit zu tun haben). (ii) Was unterscheidet M A B (f) von M A C (f)? (ich möchte hier nicht einfach als Antwort hören: C! ;-), aber C sollte in der Antwort vorkommen ) = 9 Punkte

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10 Aufgabe 5: a) Sei mit Ax = b ein lineares Gleichungssystem gegeben Dabei sei A = R(4,4 ) und b = Weiter sei die Moore-Penrose-Inverse von A gegeben: A + = R(4,4 ) R4. Untersuchen Sie, ob das lineare Gleichungssystem Ax = b lösbar ist und berechnen Sie die Lösung mit kürzester euklidischer Norm bzw. die beste Lösungsnäherung. b) Zeigen Sie, dass allgemein für B (n, n) gilt: B invertierbar B + = B 1. c) Nehmen wir nun mal an, wir haben ein NICHT lösbares Gleichungssystem Ax = b mit A invertierbar. Nach b) müsste man hier doch auch schnell mit der Moore- Penrose-Inversen die beste Lösungsnäherung bestimmen können. Warum klappt das in diesem Fall aber nicht? = 5 Punkte

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12 Aufgabe 6: a) Sei A (m, n) eine Matrix. Zeigen Sie, dass gilt: (i) α R (αa) + = α + A + (ii) (A ) + = (A + ) b) Sei B (n, m) eine g-inverse der Matrix A (m, n). Beweisen Sie: (a) (A ) ist eine g-inverse von A. ( (b) Ist A symmetrisch, so ist G = 1 2 A + (A ) ) eine symmetrische g-inverse von A = 6 Punkte

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