Technische Universität München Fakultät für Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Probeklausur Prof. Dr. Anusch Taraz 24.

Transkript

1 Note: Name Vorname Lerngruppen-Nummer Tutorübung-Nr. Hiermit bestätige ich, dass ich vor Prüfungsbeginn darüber in Kenntnis gesetzt wurde, dass ich im Falle einer plötzlich während der Prüfung auftretenden Erkrankung das Aufsichtspersonal umgehend informieren muss. Dies wird im Prüfungsprotokoll vermerkt. Danach muss unverzüglich ein Rücktritt von der Prüfung beim zuständigen Prüfungsausschuss beantragt werden. Ein vertrauensärztliches Attest ausgestellt am Prüfungstag kann gegebenenfalls innerhalb der nächsten Tage nachgereicht werden. Wird die Prüfung hingegen in Kenntnis der gesundheitlichen Beeinträchtigung dennoch regulär beendet, kann im Nachhinein kein Prüfungsrücktritt aufgrund von Erkrankung beantragt werden. ch bestätige weiterhin, dass die erhaltene Klausurangabe vollständig ist. ch habe die Angabe überprüft und keine offensichtlichen Druckfehler oder fehlende Seiten festgestellt Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 5 Technische Universität München Fakultät für Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Probeklausur Prof. Dr. Anusch Taraz 24. Dezember Hinweise: Überprüfen Sie die Angabe: Es sind 0 Aufgaben auf den Seiten bis 7, vergleichen Sie die Angaben mit dem Übersichtsblatt. Die Arbeitszeit beträgt 90 Minuten. Jede Aufgabe ist in dem unmittelbar anschließenden eingerahmten Platz zu bearbeiten. Alle Antworten sind sorgfältig zu begründen. Zum Bestehen sind voraussichtlich mindestens 7 Punkte nötig! Das letzte Blatt mit der Aufgabenübersicht kann zur Bearbeitung abgetrennt werden. Bei vorzeitiger Abgabe sind alle Blätter einschließlich des Übersichtsblattes abzugeben! Erlaubte Hilfsmittel: Sämtliche Bücher, Skripten, Aufzeichnungen, aber keine elektronischen Hilfsmittel wie Taschenrechner, Mobiltelefon, Notebooks etc. 0 Erstkorrektur () Nur von der Aufsicht auszufüllen: Hörsaal verlassen von: bis: Vorzeitig abgegeben um: Besondere Bemerkungen: Zweitkorrektur ()

2 Aufgabe (ca. 5 Punkte) Seite 2 Gegeben sei das vom Parameter α R abhängige lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = 3 8 2α + 2 und b = α a) Für welche Werte von α besitzt das Gleichungssystem keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen? Tragen Sie die Lösungen in die Kästchen ein: keine Lösung für... genau eine Lösung für... unendlich viele Lösungen für...

3 Fortsetzung von Aufgabe Seite 3 b) Bestimmen Sie für den Fall α = 2 die Lösungsmenge.

4 Fortsetzung von Aufgabe Seite 4 c) Bestimmen Sie für den Fall α = 0 eine Basis des Kerns von A.

5 Aufgabe 2 (ca. 4 Punkte) Seite 5 Zeigen Sie: Für alle n N gilt n k(k + ) = k= n(n + )(n + 2). 3

6 Aufgabe 3 (ca. 3 Punkte) Seite 6 Unter dem Weihnachtsbaum liegen 9 Geschenke, davon sind 4 in blaues Papier eingepackt, 3 in rotes und 2 in grünes. Sie wollen die Geschenke in Form einer 3 3-Matrix, also in einem Quadrat zu drei Zeilen mit je drei Geschenken anordnen, und zwar so, dass in jeder Zeile höchstens ein grünes Geschenk liegt. Wie viele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten gibt es, wenn Sie nur nach den Farben unterscheiden?

7 Aufgabe 4 (ca. 2 Punkte) Seite 7 Seien A, B R n n schiefsymmetrische Matrizen. Zeigen Sie, dass dann auch AB BA schiefsymmetrisch ist.

8 Aufgabe 5 (ca. 4 Punkte) Seite 8 Entscheiden Sie für die folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind. Geben Sie dazu entweder eine kurze(!) Begründung oder ein Gegenbeispiel an. a) Für eine Matrix A R n n mit A 0 gilt: det(a) = 0 rang(a) = n. wahr falsch Begründung bzw. Gegenbeispiel: b) Für jede Matrix A R m n mit vollem Rang und m < n gilt: Die Spalten von A sind eine Basis des R m. wahr falsch Begründung bzw. Gegenbeispiel:

9 Fortsetzung von Aufgabe 5 Seite 9 c) Drei Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sie paarweise linear unabhängig sind. wahr falsch Begründung bzw. Gegenbeispiel: d) Für jede Basis {b,..., b n } des R n gilt: det(b... b n ) 0. wahr falsch Begründung bzw. Gegenbeispiel:

10 Aufgabe 6 (ca. 4 Punkte) Seite 0 Sei β + x U := x : x, y R R3. 2x + y a) Für welche Werte von β R ist U ein Untervektorraum des R 3? Begründen Sie hre Antwort! b) Sei nun β = 0. Bestimmen Sie die Dimension von U und geben Sie eine Basis für U an.

11 Aufgabe 7 (ca. 3 Punkte) Seite Sei 2 B := 2, 2. a) Zeigen Sie, dass B linear unabhängig ist. b) Ergänzen Sie B zu einer Basis des R 3.

12 Aufgabe 8 (ca. 5 Punkte) Seite 2 Sei A := ( ). 5 a) Zeigen Sie, dass die Abbildung s : R 2 R 2 R, definiert durch s(x, y) := x T Ay, ein Skalarprodukt auf R 2 ist. b) Sei nun b = (, 2) T gegeben. Berechnen Sie den Vektor b := b b s, wobei s die von s induzierte Norm auf R 2 ist.

13 Aufgabe 9 (ca. 6 Punkte) Seite 3 0 Seien v :=, v 2 := 0 und E := lin {v, v 2 } die von v und v 2 aufgespannte Ebene. 0 2 a) Berechnen Sie die orthogonale Projektion u E des Vektors u := auf die Ebene E. 2

14 Fortsetzung von Aufgabe 9 Seite 4 b) Bestimmen Sie den Abstand d(u, E) := min { u v : v E} des Punktes u von der Ebene E.

15 Aufgabe 0 (ca. 4 Punkte) Seite 5 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b über dem Körper F 3 mit A := und b :=

16 Aufgabe Gegeben sei das vom Parameter α R abhängige lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = α α und b = 3 9. a) Für welche Werte von α besitzt das Gleichungssystem keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen? Tragen Sie die Lösungen in die Kästchen ein: b) Bestimmen Sie für den Fall α = 2 die Lösungsmenge. c) Bestimmen Sie für den Fall α = 0 eine Basis des Kerns von A. Aufgabe 2 Zeigen Sie: Für alle n N gilt n k= k(k + ) = n(n + )(n + 2) 3. Aufgabe 3 Unter dem Weihnachtsbaum liegen 9 Geschenke, davon sind 4 in blaues Papier eingepackt, 3 in rotes und 2 in grünes. Sie wollen die Geschenke in Form einer 3 3-Matrix, also in einem Quadrat zu drei Zeilen mit je drei Geschenken anordnen, und zwar so, dass in jeder Zeile höchstens ein grünes Geschenk liegt. Wie viele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten gibt es, wenn Sie nur nach den Farben unterscheiden? Aufgabe 4 Seien A, B R n n schiefsymmetrische Matrizen. Zeigen Sie, dass dann auch AB BA schiefsymmetrisch ist. Aufgabe 5 Entscheiden Sie für die folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind. Geben Sie dazu entweder eine kurze(!) Begründung oder ein Gegenbeispiel an. a) Für eine Matrix A R n n mit A 0 gilt: det(a) = 0 rang(a) = n. b) Für jede Matrix A R m n mit vollem Rang und m < n gilt: Die Spalten von A sind eine Basis des R m. c) Drei Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sie paarweise linear unabhängig sind. d) Für jede Basis {b,..., bn} des R n gilt: det(b... bn) 0. Aufgabe 6 Sei U := β + x x 2x + y : x, y R R3. a) Für welche Werte von β R ist U ein Untervektorraum des R 3? Begründen Sie hre Antwort! b) Sei nun β = 0. Bestimmen Sie die Dimension von U und geben Sie eine Basis für U an. Aufgabe 7 Sei B := 2, 2 2. a) Zeigen Sie, dass B linear unabhängig ist. b) Ergänzen Sie B zu einer Basis des R 3. Aufgabe 8 Sei A := ( 5 ). a) Zeigen Sie, dass die Abbildung s : R 2 R 2 R, definiert durch s(x, y) := x T Ay, ein Skalarprodukt auf R 2 ist. b) Sei nun b = (, 2) T gegeben. Berechnen Sie den Vektor b := b, wobei s b s die von s induzierte Norm auf R 2 ist.

17 Aufgabe 9 Seien v := Ebene. 0, v2 := 0 0 und E := lin {v, v2} die von v und v2 aufgespannte a) Berechnen Sie die orthogonale Projektion ue des Vektors u := 2 2 auf die Ebene E. b) Bestimmen Sie den Abstand d(u, E) := min { u v : v E} des Punktes u von der Ebene E. Aufgabe 0 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b über dem Körper F3 mit A := und b := 2 0.