Aufgaben zur Vorlesung: Lineare Algebra und analytische Geometrie I

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1 Institut für Mathematik Blatt Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: 0.4. Aufgaben zur Vorlesung: Lineare Algebra und analytische Geometrie I Aufgabe : 2 Punkte Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, in der die drei Punkte (6,, 4), (5, 4, 0) und (3,, 5) liegen. Aufgabe 2: Gegeben sind zwei Ebenen E : 2x y + 3z + 4 = 0 und E 2 : x + y 2z 3 = 0 und der Punkt P = (2, 0, ). Gesucht ist die Gerade, die zu beiden Ebenen parallel verläuft und durch P geht. Aufgabe 3: Man zeige: Die Seitenmittelpunkte eines Vierecks bilden ein Parallelogramm. Aufgabe 4: Man berechne den Abstand zwischen der Ebene und dem Punkt P = (9, 4, 2). E : r s 0. Zusatzaufgabe 5: Man betrachte die Pyramide mit der Spitze S = (6,, 6) und einer dreieckigen Grundfäche mit den Ecken (4, 4, 3), (5, 4, 6) und (7, 0, 2). Man bestimme die Höhe der Pyramide.

2 Institut für Mathematik Blatt 2 Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: 7.4. Aufgaben zur Vorlesung: Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 3: Prüfen Sie, ob die folgenden linearen Gleichungssysteme lösbar sind, und bestimmen Sie ggf. sämtliche Lösungen: a) x + 6y + 2z = 4 b) x + y + z u = 4 2x 2y z = 2 x y + z + u = 8 3x 4y 2z = 3x + y + 3z u = 6 c) Aufgabe 4: 6 Punkte Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Stromstärken I,...,I 7 bei gegebenen Widerständen R,...R 7 und Spannungen U,...,U 4 in folgendem Gleichstromkreis auf. U R 2 R I R U 2 3 I3 U 3 R 7 I 7 R 6 I 6 R 4 I 4 I 5 R 5 I 2. U 4 Lösen Sie dieses Gleichungssystem für U = 30 V U 2 = U 3 = 0 V und U 4 = 80 V, sowie R = R 3 = R 4 = R 6 = Ω, R 2 = R 5 = 2 Ω und R 7 = 3 Ω. Hinweise: Es gilt das Ohmsche Gesetz für den Spannungsabfall an einem Widerstand: U = R I. Ferner gelten die Kirschhoffschen Regeln: Knotenregel: In einem Knotenpunkt ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der, der abfließenden Ströme. Maschenregel: In einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe der angelegten Spannungen gleich der, der Spannungabfälle.

3 Institut für Mathematik Blatt 3 Prof. Dr. B. Martin, J. Kunath Abgabe: 24. April 202 Geben Sie Name, Matr.-Nr., Übungsgruppe auf Ihrer Lösung an und heften Sie alle Blätter zusammen! Aufgaben zur Vorlesung: Mathematik IT 2 (Lineare Algebra) Aufgabe 5: Ein Planzenschutzmittelhersteller bezieht von einem Zulieferbetrieb drei chemische Grundsubstanzen M, M 2 und M 3, die wiederum aus drei Rohstoffen R, R 2 und R 3 gemischt werden, und zwar in folgenden Prozentsätzen: R R 2 R 3 M M M Für die Herstellung eines neuen Produkts benötigt man aber eine Grundsubstanz, die 40% des Rohstoffs R, 50% des Rohstoffs R 2 und 0% des Rohstoffs R 3 enthält? Kann eine solche Grundsubstanz durch Mischung der vorhandenen Grundsubstanzen M, M 2 und M 3 erhalten werden? Falls ja, dann geben Sie an, wie die Mischung herzustellen ist. Aufgabe 6: Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix A := Ist das Gleichungssystem Ax = b mit b := (, 2, 0, 4, 3 ) t lösbar? Wenn ja, dann geben Sie alle Lösungen an. Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems t t t x x 2 x 3 = t in Abhängigkeit von t R. Geben Sie außerdem alle Werte für t R an, für die das Gleichungssystem ggf. keine Lösung besitzt. Aufgabe 8: Gegeben seien die folgenden Matrizen: A := 0 0 0, B := 0 0 0, C := 2 0 und D := ( ) Berechnen Sie die Produkte AB, BA, C t C, CC t und D(A + B 2 ).

4 Institut für Mathematik Blatt 4 Prof. Dr. B. Martin, J. Kunath Abgabe: 02. Mai 202 Geben Sie Name, Matr.-Nr., Übungsgruppe auf Ihrer Lösung an und heften Sie alle Blätter zusammen! Aufgaben zur Vorlesung: Mathematik IT 2 (Lineare Algebra) Aufgabe 9 : Mit e i R 3 sei der i-te Einheitsvektor bezeichnet und die Matrix B Mat(3, 3; R) sei durch 2 2 B := definiert. Weiter seien s := e + e 2 + e 3 und F := ( ) e, e 3. Berechnen Sie die folgenden Produkte B ei, B t e i, jeweils für i =, 2, 3, und ferner B s, s t B, B t s sowie B F, F t B und B t F. e it B, Aufgabe 0: Bestimmen Sie die inversen Matrizen von A, B und A B, falls diese existieren, wobei A := und B := Aufgabe : Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix B := p q r für p, q, r R. (Hinweis: Betrachten Sie verschiedene Fälle!) Aufgabe 2: Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen: (a) Falls A, B Mat(n, n; R) symmetrisch sind, dann ist A B genau dann symmetrisch, wenn A B = B A gilt. (b) Seien A, B Mat(n, n; R). Ist A regulär, dann sind auch A B und B A regulär.

5 Institut für Mathematik Blatt 5 Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: 8.5. vor der Vorlesung Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 3: Gegeben sei die Matrix 0 A = Man bestimme Matrizen C und D, so dass das Produkt CAD die Form ( ) Ik 0 CAD = 0 0 hat. Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Inverse der folgenden Matrix und ihre Zerlegung in Elementarmatrizen, wenn das möglich ist. 0 0 t t t 0 Aufgabe 5: Gegeben seien die beiden Mengen G = {(a, b) R 2 a 0} und G 2 = {(a, b) R 2 b 0}. Untersuchen Sie, ob diese Mengen jeweils zusammen mit der Operation eine Gruppe bilden. (a, b) (a, b ) := (aa, ab + ba ) Aufgabe 6: Wir betrachten die folgende Menge von 2 2-Matrizen 5 Punkte C := { ( a b b a ) a, b R} Zeigen Sie:. Produkte aus C sind vertauschbar. 2. C ist abgeschlossen bezüglich der Matrixaddition + und Matrixmultiplikation 3. C ist abgeschlossen bezüglich Inversenbildung Bemerkung: C wird damit zu einem Körper.

6 Institut für Mathematik Blatt 6 Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: 5.5. Aufgaben zur Vorlesung: Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 7: Berechnen Sie (243) in Z/352Z. Aufgabe 8:. Entscheiden Sie für die folgenden Teilmengen des Vektorraums V = R 3, ob sie ein Unterraum sind: () {(x, y, z) R 3 x y + 2z = 0 oder x = y} (2) {(x, y, z) R 3 x y + 2z = 0 und x = y} (3) {(x, y, z) R 3 x = n, y = 2n, z = 3n mit n Q} (4) {(x, y, z) R 3 x = n, y = 2n, z = 3n mit n R} 2. Wir betrachten den Vektorraum aller Polynome R[X], welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume? (a) {f R[X] f() = 0} (b) {f R[X] f() = } (c) {f R[X] f() 0} {0} Aufgabe 9: 5 Punkte Der Chinesische Restsatz findet sich erstmals im Standardwerk Sun Zi Suan Jing des chinesischen Mathematikers Sun Zi aus dem vierten Jahrhundert. Der Überlieferung nach benutzten Chinesische Generäle den Restsatz, um Soldaten zu zählen. Vor einer Schlacht lässt der General seine Soldaten nacheinander in Reihen von je 5, 6, 7 und aufstellen. Dabei bleiben jeweils drei Soldaten übrig als sich sie sich in Fünfer-, Siebener- und Elferreihen aufstellen und keiner als sie sich in Sechserreihen aufstellen. Es waren 200 Bauern zwangsrekrutiert worden. Wieviele waren schlau genug sich vor der Schlacht heimlich zu verabschieden?

7 Institut für Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: Aufgaben zur Vorlesung: Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 20: Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems zu der folgenden erweiterten Koeffizientenmartix Interpretieren Sie die Einträge der Matrix dabei als Elemente aus. R 2. Z/5Z 3. Z/3Z Aufgabe 2: Man ergänze die Vektoren (0,,,, ), ( 2,,, 0, ) und (3, 3, 2, 0, 3) zu einer Basis des R 5. Aufgabe 22:. V R 4 sei der durch die Gleichung x x 2 + x 4 = 0 definierte Unterraum. Geben Sie ein Erzeugendensystem für V an. 2. Bestimmen Sie ein Erzeugendensystem für V V 2, V 2 := R (, 2,, 0) + R (,,, 2) 3. Welche Dimensionen haben die Vektorräume V, V 2, V V 2 und V + V 2? Aufgabe 23: Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, mit U = span((,, 0, 0), (, 0, 3 2)) als Lösungsmenge.

8 Institut für Mathematik Blatt 8 Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: 5.6. Aufgaben zur Vorlesung: Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 24: Seien v,..., v n Elemente eines Vektorraumes V. Man zeige, dass die Elemente v v n,... v n v n genau dann linear unabhängig sind, wenn die Elemente v 2 v,..., v n v linear unabhängig sind. Aufgabe 25: Gibt es eine Lineare Abbildung L : R 3 R 2 mit L((, 2, 0) t ) = (3, ) t, L((2, 0, 2) t ) = (, ) t, L(( 2, 4, 2) t = ( 7, 5) t. Falls ja geben Sie deren Matrix bezüglich der Standardbasen an. Aufgabe 26: Welche der folgenden Abbildungen f : V W sind linear? 5 Punkte. V = R 3, W = R 2, f((x, x 2, x 3 )) = (2x + 3x 2 + 5x 3, x x 2 2x 3 ) 2. V = W = R 4, f((x, x 2, x 3, x 4 )) = (x 4,, 0, x ) 3. V = R 2, W = R, f((x, x 2 )) = x x 2 4. Es sei a R und V = W = R[x], f(g) = g(a) R R[x] 5. V = W = { beliebig oft differenzierbare Funktionen g : R R }, f(g) = g Aufgabe 27: Bestimmen Sie eine Basis von Kern und Bild folgender linearer Abbildungen: 6 Punkte. f : R 4 R 3, f((x, x 2, x 3, x 4 )) = (x + x 2 x 3, x + 3x 2 + x 3 + 2x 4, x 2 + x 3 + x 4 ) 2. f : R[x] 3 R[x] 3, f(g) = g g(0) Dabei ist R[x] 3 der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich drei.

9 Institut für Mathematik Blatt 9 Prof. Dr. B. Martin, J. Kunath Abgabe: 2. Juni 202 Geben Sie Name, Matr.-Nr., Übungsgruppe auf Ihrer Lösung an und heften Sie alle Blätter zusammen! Aufgaben zur Vorlesung: Mathematik IT 2 (Lineare Algebra) Aufgabe 28 : Bestimmen Sie die Determinanten von A := , B := t t t, t R, C := Aufgabe 29: Berechnen Sie für beliebiges n N \ {0} die Determinante von A n := a b 0 a... b 0. 0 b... a 0 b a. Mat(2n, 2n; R) (Hinweis: vollständige Induktion.) Zusatzaufgabe 30: Berechnen Sie für beliebiges n N \ {0, } die Determinante von A n := Mat(n, n; R) Punkte

10 Institut für Mathematik Blatt 0 Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: 9.6. vor der Vorlesung Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 3: Man löse falls möglich das folgender Gleichungssystem mithilfe der Cramerschen Regel. αx + x 2 + x 3 = 2 x + αx 2 + x 3 = 4 x + x 2 + αx 3 = α Aufgabe 32: Man berechne das charakteristische Polynom der Matrix Aufgabe 33: Es sei folgende Matrix gegeben: Für welche a R. ist Eigenwert von A, 2. ist Eigenwert von A, 3. sind beide Eigenwerte. a + 0 a A = 0 a 0 a 0 a + 5 Punkte

11 Institut für Mathematik Blatt Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: vor der Vorlesung Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 34: Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix M = und geben Sie eine Basis des R 3 aus Eigenvektoren von M an. Aufgabe 35: 6 Punkte Man entscheide für die folgenden Matrizen, ob sie diagonalisierbar sind und finde gegebenenfalls eine Matrix P, so dass P AP Diagonalform hat ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 0 0 ) 2 3, 0 4 5, Aufgabe 36: 4+2 Punkte. ( ) Sei f(x) ein Polynome mit einer mehrfachen Nullstelle x 0, d.h. (x x 0 ) 2 ist ein Teiler von f(x). Man zeige, dass dann (x x 0 ) ein gemeinsamer Teiler von f und der Ableitung f ist. Hinweise: Man leite den Term f(x) = (x x 0 ) 2 g(x) ab Man bestimme mittels ) und dem Euklidischen Algorithmus für Polynome die mehrfachen Nullstellen von x 5 2x 4 2x 3 + 4x 2 + x 2.

12 Institut für Mathematik Blatt 2 Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: 3.7. vor der Vorlesung Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 37: Wenden Sie das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die R 3 -Basis an (bezüglich des Standardskalarprodukts). v = ( 3,, ), v 2 = (2,, ), v 3 = (, 2, 2) Aufgabe 38: Satz des Thales: Sei (V,, ) ein Euklidischer Vektorraum und die durch x = x, x definierte Norm. Zeigen Sie: x = y (x y) (x + y). Aufgabe 39: Betrachten Sie A = ( ) 2. 6 Punkte. Zeigen Sie, dass (x, y) A := x t Ay ein Skalarprodukt auf R 2 definiert. 2. Finden Sie eine Orthonomalbasis des R 2 bezüglich (, ) A. Aufgabe 40: Berechnen sie den Abstand zwischen dem Punkt P = (2, 2,, ) t der Hyperebene ) ( 0 ) H = Span(( 0, ) 2 und zwischen P und H.

13 Institut für Mathematik Blatt 3 Prof. Dr. B. Martin, H. Süß Abgabe: 0.7. vor der Vorlesung Lineare Algebra (IT-2) Aufgabe 37: Bestimmen Sie zu folgender Drehmatrix A = Punkte die zugehörige Drehachse und den Drehwinkel. Aufgabe 38: Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix in Abhängigkeit von den Parametern s, tinr s 2s (2s + t) s (3s 4t) (s + t) s ( s 4t) 2s Aufgabe 39: Man bestimme in Abhängigkeit von den Parametern a, b, c R, die inverse Matrix zu a 0 0 b 0 0 c Aufgabe 40: Man zeige, dass die Vektoren 2, 2 0 2, , 0 2 eine Basis des R 4 bilden und bestimme die Koordinaten von ( 5, 6, 9, 5) t bezüglich dieser Basis. Aufgabe 4: Man stelle fest, ob die folgende Matrix diagonalisierbar ist