Hinweise vor 11:50 Uhr

Transkript

1 Hinweise Liste alle zur Klausur Zugelassenen ab Di., unter schleissinger/lina2011/ Letzte Vorlesung Fr., Übungen Mo./Di., 6. & : Fragestunde zur Klausur Klausur Sa., , Beginn: 12:00 Uhr, Dauer: 90 Minuten Aufteilung nach dem Anfangsbuchstaben Ihres Nachnamens: A G: HS 1 Phil. H N: HS 1 Physik O Z: ZHSG. Warten Sie bitte vor den genannten Hörsäalen auf Einlaß ab 11:50 Uhr. Bitte pünktlich erscheinen! Bringen Sie selbst genügend Papier für Ihre Bearbeitung der Klausur mit (oben rechts mit Ihrem Namen, Vornamen und Ihrer Matrikelnummer beschriftet). Bearbeiten Sie pro Blatt jeweils nur eine Aufgabe. Nicht erlaubt: Mehr als ein Buch, Mobiltelefone, Notebooks, Taschenrechner, etc. Erlaubt: Mitschriften aus Vorlesungen und Übungen, Übungsblätter inkl. Lösungshinweise, Vorlesungsskript und ein Buch. Das komplette Vorlesungsskript ist ab Sa unter roth/la/ abrufbar (Login: lina Passwort: G@u33)

2 Satz 5.38 (Struktur der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme) Es sei A K m n und b K n. Ist x 0 K n eine Lösung von Ax = b, so ist die Menge aller Lösungen gegeben durch x 0 + N(A) := {x 0 + x : x N(A)}.

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5 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen:

6 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen: (1) Vertauschung der Zeilen von B.

7 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen: (1) Vertauschung der Zeilen von B. (2) Vertauschung der Spalten von A. (entspricht einer Umnummerierung der Unbekannten x 1,..., x n)

8 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen: (1) Vertauschung der Zeilen von B. (2) Vertauschung der Spalten von A. (entspricht einer Umnummerierung der Unbekannten x 1,..., x n) (3) Ersetzen einer Zeile z j von B durch z j + αz k für ein α K und eine Zeile z k mit k j.

9 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen: (1) Vertauschung der Zeilen von B. (2) Vertauschung der Spalten von A. (entspricht einer Umnummerierung der Unbekannten x 1,..., x n) (3) Ersetzen einer Zeile z j von B durch z j + αz k für ein α K und eine Zeile z k mit k j. Bei diesen Umformungen bleibt die Lösungsmenge von Ax = b erhalten, bis auf einer eventuellen Umnummerierung der x j wegen Operation (2).

10 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen: (1) Vertauschung der Zeilen von B. (2) Vertauschung der Spalten von A. (entspricht einer Umnummerierung der Unbekannten x 1,..., x n) (3) Ersetzen einer Zeile z j von B durch z j + αz k für ein α K und eine Zeile z k mit k j. Bei diesen Umformungen bleibt die Lösungsmenge von Ax = b erhalten, bis auf einer eventuellen Umnummerierung der x j wegen Operation (2). 0. Die Matrix A enthalte keine Nullspalte. (Ansonsten kommt ein x k im Gleichungssystem gar nicht vor!)

11 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen: (1) Vertauschung der Zeilen von B. (2) Vertauschung der Spalten von A. (entspricht einer Umnummerierung der Unbekannten x 1,..., x n) (3) Ersetzen einer Zeile z j von B durch z j + αz k für ein α K und eine Zeile z k mit k j. Bei diesen Umformungen bleibt die Lösungsmenge von Ax = b erhalten, bis auf einer eventuellen Umnummerierung der x j wegen Operation (2). 0. Die Matrix A enthalte keine Nullspalte. (Ansonsten kommt ein x k im Gleichungssystem gar nicht vor!) 1. Schritt: Durch Anwendung von (1) erhält man a 1,1 0.

12 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen: (1) Vertauschung der Zeilen von B. (2) Vertauschung der Spalten von A. (entspricht einer Umnummerierung der Unbekannten x 1,..., x n) (3) Ersetzen einer Zeile z j von B durch z j + αz k für ein α K und eine Zeile z k mit k j. Bei diesen Umformungen bleibt die Lösungsmenge von Ax = b erhalten, bis auf einer eventuellen Umnummerierung der x j wegen Operation (2). 0. Die Matrix A enthalte keine Nullspalte. (Ansonsten kommt ein x k im Gleichungssystem gar nicht vor!) 1. Schritt: Durch Anwendung von (1) erhält man a 1, Schritt: Durch Anwenden von (3) erhält man ein System der Form und das reduzierte System a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a j,2x a j,nx n = b j, j = 2,..., m.

13 Wir setzen B := (A, b) K m (n+1) und benutzen folgende Umformungen: (1) Vertauschung der Zeilen von B. (2) Vertauschung der Spalten von A. (entspricht einer Umnummerierung der Unbekannten x 1,..., x n) (3) Ersetzen einer Zeile z j von B durch z j + αz k für ein α K und eine Zeile z k mit k j. Bei diesen Umformungen bleibt die Lösungsmenge von Ax = b erhalten, bis auf einer eventuellen Umnummerierung der x j wegen Operation (2). 0. Die Matrix A enthalte keine Nullspalte. (Ansonsten kommt ein x k im Gleichungssystem gar nicht vor!) 1. Schritt: Durch Anwendung von (1) erhält man a 1, Schritt: Durch Anwenden von (3) erhält man ein System der Form und das reduzierte System a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a j,2x a j,nx n = b j, j = 2,..., m. 3. Schritt: Falls (a j,k) = 0, so beenden wir den Algorithmus. Ansonsten vefahren wir mit dem reduzierten System analog, wobei zur Sicherung von a 2,2 0 evtl. Operation (2) durchzuführen ist.

14 So fortfahrend erhalten wir das finale System in der Form

15 So fortfahrend erhalten wir das finale System in der Form b 1,1 x 1 + b 1,2 x b 1,k x k b 1,n x n = b 1 b 2,2 x b 2,k x k b 2,n x n = b 2 b k,k x k b k,n x n = b k 0 = b k = b m

16 So fortfahrend erhalten wir das finale System in der Form b 1,1 x 1 + b 1,2 x b 1,k x k b 1,n x n = b 1 b 2,2 x b 2,k x k b 2,n x n = b 2 mit b j,j 0 für alle j = 1,..., k. b k,k x k b k,n x n = b k 0 = b k = b m

17 So fortfahrend erhalten wir das finale System in der Form b 1,1 x 1 + b 1,2 x b 1,k x k b 1,n x n = b 1 b 2,2 x b 2,k x k b 2,n x n = b 2 mit b j,j 0 für alle j = 1,..., k. b k,k x k b k,n x n = b k 0 = b k+1 Das finale System ist genau dann lösbar, wenn gilt. b k+1 =... = b m = = b m

18 So fortfahrend erhalten wir das finale System in der Form b 1,1 x 1 + b 1,2 x b 1,k x k b 1,n x n = b 1 b 2,2 x b 2,k x k b 2,n x n = b 2 mit b j,j 0 für alle j = 1,..., k. b k,k x k b k,n x n = b k 0 = b k+1 Das finale System ist genau dann lösbar, wenn gilt. b k+1 =... = b m = = b m In diesem Fall können wir x k+1,..., x n beliebig wählen und dann die x k, x k 1,..., x 1 in dieser Reihenfolge aus dem finalen System eindeutig ermitteln.