Übungsklausur Lineare Algebra

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1 Übungsklausur Lineare Algebra Sommersemester 2010 Johannes Gutenberg-Universität Mainz Diese Übungsklausur ist sehr lang (gut zum Üben). In der richtigen Klausur finden Sie eine Multiple Choice aufgabe (16P) 5 weitere Aufgaben. Zwei davon zum Rechnen 3 kleine Beweisaufgaben. In die Gesamtnote geht dieser Klausurteil zu 40% ein. Hilfsmittel: ein handbeschriebenes A4 Blatt, Schreibgerät, Kopf zum Nachdenken. Wenn Sie ein Resultat aus der Vorlesung verwenden wollen, geben sie dessen Namen (falls es einen hat) oder dessen genaue Aussage an! Aufgabe 1 (0 20 Punkte) Beantworten Sie die folgenden Fragen. Für jede richtige Antwort erhalten Sie zwei Punkte, für jede falsche, zwei Minuspunkt, insgesamt werden allerdings keine Minuspunkte vergeben. In jeder Frage ist genau eine Antwort richtig. (1) Ist die Summe zweier Vektorraum-Isomorphismen stets wieder ein Vektorraum-Isomorphismus? Ja Nein (2) Es seien L, M, N Mengen f : L M g : M N Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Wenn g f surjektiv ist, so ist auch g surjektiv. Wenn g surjektiv ist, so ist auch g f surjektiv. Wenn g f bijektiv ist, ist g surjektiv. (3) Wie viele Untervektorräume hat der R-Vektorraum R 2? unendliche viele (4) Es seien V, W endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper K ϕ : V W eine lineare Abbildung. Ferner sei U V ein Untervektorraum, so dass ϕ(u) = 0 gilt. Was lässt sich in dieser Situation über den Rang von ϕ allgemein sagen? rang(ϕ) dim U rang(ϕ) = dim U rang(ϕ) dim V dim U rang(ϕ) dim U rang(ϕ) dim V dim U Es lässt sich keine allgemeine Aussage treffen. rang(ϕ) = dim V dim U (5) Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K U ein Untervektorraum von V. Ferner seien v 1, v 2 V so gewählt, dass v 1 + v 2 U gilt. Was lässt sich in dieser Situation über v 1 v 2 sagen? Es gilt stets v 1, v 2 U. 1

2 Es ist sowohl möglich, dass v 1, v 2 U gilt, als auch, dass dies nicht der Fall ist. Es gilt niemals v 1, v 2 U. (6) Berechnen Sie das Matrixprodukt ( ) 0 1 = 2 Ergebnis bitte eintragen (7) Welcher der folgenden Matrizen sind zueinander äquivalent? (Zur Erinnerung: Zwei Matrizen A B gleicher Zeilen Spaltenzahl heissen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen S T gibt, so dass B = SAT gilt.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 ) 1 1 ( (8) Welche der folgenden Mengen ist ein Untervektorraum? Die Lösungsmenge L R 4 des Gleichungssystem ) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 x 3 + x 4 = 0 {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 2 x 3 } R 3. {f (x) R[x] 3 f (0) = 0, f (1) = 0} R[x] 3. (9) Welche der folgenden Aussagen über die Determinante ist richtig? Die Determinante det : M(n n, K) K ist eine lineare Abbildung. Es sei A M(n n, K). Ist det(a) = 0 so gilt rang(a) < n. Es seien A, B M(n n, K). Dann ist det(a + B) = det(a) + det(b). (10) Welche der folgenden Abbildungen ist keine lineare Abbildung? f : R 2 R 3 mit f (x 1, x 2 ) = (2x 1, 17x 2 + 4x 1, 0). f : R R mit f (x) = x + 1. ev 2 : R[x] 4 R[x] 4 mit ev 2 ( 4 i=0 a ix i ) = 4 i=0 a i( 2) i. 2

3 Aufgabe 2 (1+2+2 Punkte) Es sei die Matrix mit einträgen in K gegeben. A = 1 a b (1) Bestimmen Sie die Determinante von A. (2) Berechnen Sie den Rang von A in Abhängigkeit von a b. (3) Bestimmen Sie im Fall a = b die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = d 0 mit d = 1. c Aufgabe 3 (2+2 Punkte) Es sei ϕ : R 4 R 4 die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis des R 4 durch die Matrix A = gegeben ist. (1) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von ϕ. (2) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes von ϕ. Aufgabe 4 (3 Punkte) Beweisen Sie die folgende Aussage: Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum U ein Untervektorraum. Falls dim U = dim V ist, dann gilt U = V. Beachten Sie, das zitieren des entsprechenden Resultats aus der Vorlesung gilt nicht als Beweis. 3

4 Aufgabe 5 (2+2 Punkte) Sei V der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad 4 mit der Basis {1, x, x 2, x 3, x 4 } (1) Erstellen Sie für die Ableitungsabbildung x : V V, welche ein Polynom auf seine Ableitung sendet, die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis. (2) Bestimme den Kern das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen. Aufgabe 6 (2+2+2 Punkte) Wir betrachten die lineare Abbildung ϕ : R 3 R 3 ; (x 1, x 2, x 3 ) (2x 1 + x 2 + x 3, x 1 + x 2 x 3, x 1 2x 2 x 3 ) bezeichnen mit A die Standardbasis von R 3 setzen B := { 1, 1, 2 } (1) Zeigen Sie, dass B eine Basis von R 3 ist, berechnen Sie die Basiswechselmatrizen S T, so dass M A A (ϕ) = SMB B (ϕ)t (2) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der Basis A, d.h. bestimmen Sie M A A (ϕ) (3) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der Basis B, d.h. bestimmen Sie M B B (ϕ) Aufgabe 7 (2+2+3 Punkte) Es sei K ein Körper es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Es sei ϕ : V V eine nilpotente lineare Abbildung, d.h. ϕ n = 0 für ein n N. (1) Bestimmen sie die Determinante von ϕ. (2) Zeigen Sie die Inklusion ker ϕ i ker ϕ i+1 für alle i 0. (3) Beweisen Sie, ϕ i = 0 für alle i dim V. 4

5 Aufgabe 8 (2+2 Punkte Punkte) Es sei M eine n n Matrix bei der in jeder Zeile in jeder Spalte eine genau eine 1 sonst nur Nullen stehen. (1) Geben Sie eine Liste der möglichen Matritzen M an im Fall n = 3. Berechnen Sie jeweils die Determinante. (2) Für allgemeines n zeigen Sie, dass (det M) = 1. 5