D-INFK Lineare Algebra HS 2018 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Serie 11

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1 D-INFK Lineare Algebra HS 2018 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Serie In dieser Aufgabe wollen wir die Parameter einer gewissen Modellfunktion aus ein paar gemessenen Werten bestimmen. Das Modell f(x) sei gegeben als eine lineare Kombination von den zwei Funktionen: g 1 (x) = 2 x und g 2 (x) = 2 x. Wir kennen folgende fünf Messpunkte: x i y i Da das Modell die Realität niemals perfekt abbildet und auch die Messwerte immer nur innerhalb gewisser Toleranzen stimmen, gibt es keine eindeutige Funktion f(x), so dass diese für alle Messpunkte passt. Finden Sie deshalb plausible Modellparameter, so dass die Summe der Fehlerquadrate 5 f(x i ) y i 2 i=1 minimal wird, mittels der Normalengleichung. Stellen Sie dazu das entsprechende Gleichungssystem auf. Hinweis: Matrixoperationen können Sie mit Matlab durchführen und müssen nicht von Hand berechnet werden. Sehen Sie sich dazu auch den Backslash Operator \ von Matlab an. 2. Wir definieren das Skalarprodukt x, y A = x Ay und zwei Vektoren, die den Unterraum W erzeugen: 1/5 1/5 W = span 0, 1. Berechnen Sie nun eine othogonale Basis von W mit A = 0 1 0, bezüglich des Skalarproduktes x, y A. 3/5 3/5 Bitte wenden!

2 3. Bonusaufgabe Wir haben das Gram-Schmidt Verfahren kennen gelernt, das aus einer linear unabhängigen Menge von Vektoren {a 1,..., a n } in E n, eine paarweise orthogonale, normierte Menge von Vektoren {b 1,..., b n } erzeugen kann: für k = 2,..., n. b 1 := a 1 a 1, k 1 b k := a k b j, a k b j, b k := b k b k j=1 a) Schreiben Sie den k-ten Schritt des Gram-Schmidt Verfahrens als eine Matrix-Vektor Multiplikation, wobei Sie a k als lineare Kombination von b 1, b 2,..., b k und den Skalarfaktoren b j, a k und b k ausdrücken. b) Finden Sie nun zwei Matrizen Q und R, so dass A = QR mit A = ( a 1 a 2... ) a n und A E n n. c) Was können Sie über Q und R aussagen in Bezug auf ihre Form und Eigenschaften? d) Es sei nun A E m n mit m > n und linear unabhängigen Vektoren {a 1,..., a n }. Wie sieht nun Q und R aus, damit immer noch gilt A = QR? e) Setzten Sie nun diese Zerlegung für die Systemmatrix eines überbestimmten Gleichungssystems Ax = b ein und drücken Sie die Lösung mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate (min x Ax b 2 2 ) durch Q und R aus. 4. MATLAB-Aufgabe: In dieser Aufgabe wollen wir das Problem der Kurven Glättung anschauen. In vielen grafischen Anwendungen werden Kurven verwendet um geometrische Formen darzustellen. Dabei besteht eine Kurve aus mehreren miteinander durch Geraden verbundenen Punkten: Je mehr Punkte man verwendet, desto detailliertere wird die Kurve. Oft können diese dadurch aber auch wackelig aussehen, gerade wenn sie von Hand am Computer gezeichnet werden. In diesen Fällen möchte man die Kurven glätten, so dass kleine Unebenheiten verschwinden, die Gesamtheit der Form aber erhalten bleibt. Dazu berechnen wir mit Hilfe des 1D Laplace-Operators die Krümmung der stückweise linearen Kurve f für alle n Punkte p i, jeweils separat in X und Y -Richtung. Dx(f(p 2 i )) = p i+1,x + p i 1,x 2 Dy(f(p 2 i )) = p i+1,y + p i 1,y 2 p i,x p i,y Siehe nächstes Blatt!

3 p i ist der aktuelle Punkt, p i 1 der vorherige und p i+1 der nächste der Kurve. Je spitzer die Kurve ist, desto grösser ist auch der Betrag der Laplace Werte. Damit können wir nun zwei separate lineare Gleichungssysteme aufstellen in dem wir die neuen X und Y -Koordinaten für die Punkte einer gegeben geschlossenen Kurve suchen, so dass: D 2 x(f(p i ))! = 0 p i,x! = p i,x D 2 y(f(p i ))! = 0 wobei p die Punkte der ungeglätteten Kurve sind. p i,y! = p i,y a) Was drücken diese Gleichungen genau aus? Was will damit erreicht werden? b) Welche Dimension hat die Koeffizienten Matrix A dieser linearen Gleichungssysteme? Beschreiben Sie A für eine geschlossene Kurve mit 5 Punkten. Eine geschlossene Kurve hat den gleichen Start und Endpunkt. c) Offensichtlich können nicht alle Gleichungen für beliebige Kurven erfüllt werden. Formulieren Sie deshalb das Problem im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate und implementieren Sie diese in der MATLAB-Funtion ls_smoothing. Auf der Webpage finden sie eine Vorlage für die Funktion und verschiedene vordefinierte Kurven. Testen Sie Ihre Implementation für die Kurve curve/bird.txt. (Nützliche MATLAB-Befehle: \-Operator oder linsolve, diag, zeros, ones) d) Damit wir die Stärke der Glättung der Kurve besser kontrollieren können wollen wir eine Bitte wenden!

4 Gewichtung für die Fehler der kleinsten Quadrate einführen: arg min W(Ap p) 2 2 p W ist dabei eine Diagonalmatrix welche die verschiedenen Zeilen von Ap p mit dem jeweiligen Diagonalelement multipliziert. Wie muss W aussehen, so dass wir mit einem einzigen Parameter w die Wichtigkeit (Gewichtung) der Distanz der Referenzpunkte p zu den neuen Punkten p erhöhen können, relative zur Glättung der Kurve? Integrieren Sie das in der Funktion ls_smoothing und testen Sie diese mit verschiedenen Werte für w im Bereich bis 100. Siehe nächstes Blatt!

5 5. Lösen Sie die Multiple-Choice-Aufgaben. 1. Sei A R m n eine Matrix mit linear unabhängigen Kolonnen. Seien Q, Q 1 R m n Matrizen mit orthonormalen Kolonnen und R, R 1 R n n obere (rechte) Dreiecksmatrizen, wobei die Diagonalelemente der Matrix R positiv sind. Hinweis: Die QR-Zerlegung, wie wir Sie in Aufgabe 3 kennengelernt haben ist für m n und Rang A = n eindeutig, wenn man die Vorzeichen der Diagonalelemente von der Dreiecksmatrix vorgibt. Welche der folgenden Aussagen sind unbedingt richtig wenn A = QR = Q 1 R 1 gilt? (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) Rang R = m Rang R = n Rang R 1 = m Rang R 1 = n Q Q 1 ist eine reguläre Matrix Q Q 1 ist eine orthogonale Matrix Q Q 1 ist eine obere Dreiecksmatrix Q Q 1 ist eine untere Dreiecksmatrix Q Q 1 ist eine Diagonalmatrix Q Q 1 = I 2. Was sind mögliche Werte von det A = α, wenn A eine orthogonale Matrix über R ist? (a) α = 0 (b) α = 1 (c) α R \ {0} (d) α = 1 Bitte wenden!

6 3. Gegeben ist die Matrix A R n n mit den Einträgen a ij = ij und n > 1. Welche Aussage ist richtig? (a) det A = 0 (b) det A = 1 (c) (d) det A = 1 n det A = 2 n Abgabe: Bis 15:00 Uhr, Freitag 14. Dezember