D-INFK Lineare Algebra HS 2018 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Musterlösung 5

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1 D-INFK Lineare Algebra HS 2018 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Musterlösung 5 1. a) LR = = = , P = also L = R = P = Hinweis: Die LR-Zerlegung ist nicht eindeutig und es gibt gültige Variationen davon. Es muss aber immer gelten PA = LR, wobei L und R jeweils eine untere und obere Dreiecksmatrix sind, und P eine gültige Permuationsmatrix. b) Wir lösen zuerst Lc = Pb und danach Rx = c. PAx = (LR)x = Lc = Pb. Lc = Pb: c = = somit c = ( ). Rx = c: x = somit x = ( ). Bitte wenden!

2 2. a) Die einzelnen Schritte der LR Zerlegung ergeben A = = = = }{{}}{{} L R b) Es gilt b(α) = Ax(α) = L R x(α). }{{} y(α) Wir führen die Variable y(α) := R x(α) ein unter erhalten b(α) = L y(α). Mit Vorwärtseinsetzen für b(α) = L y(α) bestimmen wir zuerst y(α) = ( 3 α 5 α 4 2α ) und erhalten dann mit Rückwärtseinsetzen für y(α) = R x(α) x(α) = ( α α). Das System hat also für alle α R eine eindeutige Lösung x(α). 3. Wir verwenden die Definition des Matrixproduktes und die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β und erhalten ( ) ( ) cos ϕ1 sin ϕ Q(ϕ 1 ) Q(ϕ 2 ) = 1 cos ϕ2 sin ϕ 2 sin ϕ 1 cos ϕ 1 sin ϕ 2 cos ϕ 2 ( ) cos ϕ1 cos ϕ = 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 cos ϕ 1 sin ϕ 2 sin ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ( ) cos(ϕ1 + ϕ = 2 ) sin(ϕ 1 + ϕ 2 ). sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) Siehe nächstes Blatt!

3 Das Matrixprodukt Q(ϕ 1 )Q(ϕ 2 ) ist also eine Rotationsmatrix Q(ϕ 1 + ϕ 2 ) mit dem Rotationswinkel ϕ 1 + ϕ 2 gegen den Uhrzeigersinn. 4. Bonusaufgabe Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V heisst Unterraum, falls sie bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. falls gezeigt werden kann, dass für alle x, y U und α E folgendes gilt: 1. U, oder äquivalent, dass der Nullvektor von V auch in U ist. 2. x + y U. 3. αx U. a) 1. Der Nullvektor von V ist die konstante Funktion θ(x) = 0. Weil auch gilt, dass θ(x) = 0 = θ(x 1) für x [0, 1], ist θ U. 2. Für beliebige e, g U wollen zeigen, dass auch h := e + g U: h(x) = e(x) + g(x) = e(1 x) + g(1 x) = h(1 x) x [0, 1] 3. Sei α E und f U. Dann gilt dass, f(x) = f(1 x) und somit auch αf(x) = αf(1 x). b) 1. Der Nullvektor ( ) aus R 4 erfüllt die Gleichung 2x + 4y + 3z + 7w = Wir zeigen, dass die Summe zweier beliebiger Lösungsvektoren v 1 = ( x 1 y 1 z 1 w 1 ), v2 = ( x 2 y 2 z 2 w 2 ) auch wieder die Gleichung erfüllt: A) 2x 1 + 4y 1 + 3z 1 + 7w 1 = 0 B) 2x 2 + 4y 2 + 3z 2 + 7w 2 = 0 A + B) 2x 1 + 2x 2 + 4y 1 + 4y 2 + 3z 1 + 3z 2 + 7w 1 + 7w 2 = (x 1 + x 2 ) + 4(y 1 + y 2 ) + 3(z 1 + z 2 ) + 7(w 1 + w 2 ) = 0 3. Wir zeigen, dass auch das Multiplizieren eines Lösungsvektors mit einem Skalar α immer noch die Gleichung erfüllt: 2x + 4y + 3z + 7w = 0 α(2x + 4y + 3z + 7w) = α0 2(αx) + 4(αy) + 3(αz) + 7(αw) = 0 Bitte wenden!

4 5. a) >> A = [ ; ; ; ]; >> [L,R] = mylr(a) L = R = >> A-L*R ans = b) Wenn wir die Hilfe des MATLAB-Befehls aufrufen (help lu), sehen wir, dass optional auch eine Permutationsmatrix P mit [L,U,P] = lu(a) zurückgeben werden kann. Die LR-Zerlegung wendet also eine Pivotstrategie an, wodurch Zeilen getauscht werden können. Dies macht die Zerlegung numerisch stabiler, resultiert aber in einer anderen LR-Zerlegung. 6. Multiple-Choice-Aufgaben Siehe nächstes Blatt!

5 1. In welchen der folgenden Fällen ist der Rechenaufwand für das Lösen mit der LR-Zerlegung kleiner als mit direkter Gauss-Elimination? (a) (b) Ein System mit mehreren linearen Gleichungen. Mehrere unterschiedliche lineare Gleichungssysteme mit der gleichen rechten Seite. (c) Mehrere unterschiedliche lineare Gleichungssysteme mit den gleichen Koeffizientenmatrizen. (d) Ein System mit weniger als 10 linearen Gleichungen. Der Rechenaufwand für die LR Zerlegung und das Vor- und Rück-wärtseinsetzen ist genau gleich wie für die Gauss-Elimination für ein gegebenes fixes System. Für eine variierende rechte Seite jedoch, muss die LR-Zerlegung nicht mehr gemacht werden und ist somit schneller als die Gauss-Elimination. 2. Das Lösen eines linearen Gleichungssystems der Form AX = B, mit A R n n und X, B R n n 2 und n = 2000, dauert auf einem bestimmten System 15 Sekunden. Wie lange dauert es etwa für die Berechnung mit n = 4000, wobei wir annehmen, dass alle Rechengrundoperation gleich lange brauchen? (a) (b) 15s 30s (c) 120s (d) 225s Der Rechenaufwand für die LR-Zerlegung einer n n Matrix wird mit ( 1 3 n3 1 2 n2 )+( 1 3 n3 )+n (Additionen + Multiplikationen + Divisionen) = 2 3 n3 1 2 n2 +n abgeschätzt. Für das Vor- und Rück-wärtseinsetzen rechnen wir mit einem Aufwand von ((n 2 n) + (n 2 )) n 2 Rechenoperationen. Daraus ergibt sich ein Total von 5 3 n3 n 2 + n Rechenoperationen. Teilen wir nun die benötigte Zeit von 15 Sekunden durch die Anzahl der Rechenoperationen erhalten wir die Zeit für eine einzelne Grundoperation und können damit die geschätzte Zeit für n = 4000 berechnen. Bitte wenden!

6 3. Die Inverse einer symmetrischen Matrix, falls sie existiert, ist symmetrisch. (a) Richtig (b) Falsch Wir wissen dass, AA 1 = A 1 A = I and I = I T. Damit ist AA 1 = (A 1 A) T = A T (A 1 ) T. Daraus folgt A 1 AA 1 = A 1 A T (A 1 ) T IA 1 = I(A 1 ) T A 1 = (A 1 ) T 4. Eine n m Matrix A ist nicht invertierbar genau dann, wenn das Gleichungssystem Ax = b nicht für jedes b lösbar ist. (a) Richtig (b) Falsch Ein Gleichungssystem mit einer nicht quadratischen Koeffizientenmatrix A kann eindeutig lösbar sein für beliebige rechte Seiten, wenn es keine Verträglichkeitsbedingungen hat.