Drehungen und Spiegelungen in R 2

Transkript

1 Drehungen und Spiegelungen in R 2 Ist A eine orthogonale 2 2-Matrix, so ist A von der Form ( ) cos α sin α A = Drehung um den Winkel α sin α cos α oder ( ) cos α sin α A = Spiegelung an Achse mit Steigung α sin α cos α 2 Ae (2) e (2) e (2) Ae (1) Ae (1) e (1) /2 e (1) Ae (2)

2 Givens-Rotation cos α 0 sin α U(α) := sin α 0 cos α beschreibt eine Drehung im R 3 um den Winkel α um die Achse x 2.

3 Frage: Wie löst man effizient Ax = b für viele verschiedene b? Idee: (zunächst für n n ) Zerlege A = LR mittels Gauss-Algorithmus in ein Produkt einer Linksdreiecksmatrix L und einer Rechtsdreiecksmatrix R. Dann ist Ax = b wie folgt lösbar: 1. Löse Ly = b durch Vorwärtseinsetzen 2. Löse Rx = y durch Rückwärtseinsetzen Denn dann gilt Ax = LRx

4 Frage: Wie löst man effizient Ax = b für viele verschiedene b? Idee: (zunächst für n n ) Zerlege A = LR mittels Gauss-Algorithmus in ein Produkt einer Linksdreiecksmatrix L und einer Rechtsdreiecksmatrix R. Dann ist Ax = b wie folgt lösbar: 1. Löse Ly = b durch Vorwärtseinsetzen 2. Löse Rx = y durch Rückwärtseinsetzen Denn dann gilt Ax = LRx = Ly.

5 Frage: Wie löst man effizient Ax = b für viele verschiedene b? Idee: (zunächst für n n ) Zerlege A = LR mittels Gauss-Algorithmus in ein Produkt einer Linksdreiecksmatrix L und einer Rechtsdreiecksmatrix R. Dann ist Ax = b wie folgt lösbar: 1. Löse Ly = b durch Vorwärtseinsetzen 2. Löse Rx = y durch Rückwärtseinsetzen Denn dann gilt Ax = LRx = Ly = b.

6 Beispiel Erster Eliminationsschritt: A = A 0 A (-3). (+1) (+3). (-1) Wegen des Zeilenstruktursatzes gilt A 1 = A 0 und A 0 = }{{ 1 } =:L 1 A 1

7 Zweiter Eliminationsschritt: A 1 A (+2) (-2) Wiederum A 2 = A 1 und A 1 = } 2 {{ 1 } =:L 2 Zusammen also A = A 0 = L 1 A 1 = L 1 L 2 A 2 so dass mit L := L 1 L 2 und R := A 2 die gewünschte Zerlegung A = LR gefunden ist: = A 2

8 Bemerkung: Eine Matrix mit lauter 1 auf der Diagonalen und nur unterhalb einer solchen 1 in einer Spalte von 0 verschiedenen Koeffizienten, heisst Frobenius-Matrix. Diese haben ein besonders einfaches Inverses. Z.B A = 0 a = A 1 = 0 a a n a n Die Faktoren L i beim Herstellen der sind gerade Frobenius-. Mit ihnen lassen sich die einzelnen Eliminationsschritte (Nullen unter einem Pivot erzeugen mit Zeilenoperationen II) darstellen: A i 1 = L i A i.

9 Ihr Produkt ist L = L 1 L 2... L k = Spalte von L Spalte von L 2 1. Spalte von L 1 (Dies ergibt sich aus dem Spaltenstruktursatz.)

10 Satz 2.10 Sei A eine m n-matrix. Die Durchführung des Gaussalgorithmuses sei möglich ohne Vertauschen von Zeilen. Dann liefert das Gaussverfahren, angewandt auf A: eine invertierbare m m-linksdreiecksmatrix L = (l kj ) mit Einsen auf der Diagonale und eine m n-matrix R in Zeilenstufenform (Endschema) so dass gilt LR = A Beim Gaussverfahren wird das l kj -fache der Zeile j von Zeile k subtrahiert, um in Zeile k unter dem j-ten Pivot eine Null zu erzeugen.

11 Kompakte Schreibweise Um Speicherplatz/Schreibarbeit zu sparen, werden bei der beide, also die Linksdreiecksmatrix L und die Zeilenstufenformmatrix R in einer einzigen Matrix abgespeichert: Statt r 11 r 12 r r 1m l r 22 r r 2m L = l 31 l , R = 0 0 r r 3m l n1 l n2 l n r nm speichert/schreibt man lediglich r 11 r 12 r r 1m l 21 r 22 r r 2m l 31 l 32 r r 3m... l n1 l n2... r nm

12 Ersparnis: Die Nullen in L und R und die Einsen auf der Diagonale von L werden nicht mitgespeichert. Bemerkung Falls m = n, so ist R eine Rechtsdreiecksmatrix. A = LR ist invertierbar R ist invertierbar. Anwendung Sei A eine m n-matrix. Der Gaussalgorithmus für A sei ohne Zeilenvertauschung möglich. Dann kann man Ax = b wie folgt lösen: 1. Bestimme die A = LR. 2. Löse Ly = b durch Vorwärtseinsetzen. 3. Bestimme die Lösungsmenge von Rx = y durch Rückwärtseinsetzen.

13 Definition Eine n n-matrix P heisst Permutationsmatrix, falls sie aus I n durch Vertauschung von Zeilen hervorgegangen ist. Beispiel e [3] P = = e [1] e [2] Bemerkung Jede Permutationsmatrix ist orthogonal. In jeder Zeile und in jeder Spalte steht genau eine 1. In PA erscheinen die Zeilen von A so vertauscht, wie es die Zeilen von P sind.