6. Groÿübung. 1 QR-Zerlegung. 2 Givens-Rotationen. Grundaufgabe

7. Großübung. Ax =QRx = b Rx =Q 1 b = Q T b. Wir behandeln im Folgenden zwei Verfahren zur Erzeugung der QR-Zerlegung:

7. Großüung 1 QR-Zerlegung Als QR-Zerlegung wird die Zerlegung A QR der Matrix A R m n in die rechte oere Dreiecksmatrix R R m n und die orthogonale Matrix Q R m m ezeichnet. Die Lösung des Gleichungssystems

Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme

Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 205 HM: Numerik (SS 205), Kapitel

2 Lineare Gleichungssysteme

Vorlesungsskript HM-Numerik (SS 4): Kapitel Version: 9 Mai 4 Lineare Gleichungssysteme Gegeben: A R n n mit det(a) b R n Gesucht: x R n mit Ax = b Zeilenäquilibrierung Möchten zunächst die Kondition des

Gaußsche Ausgleichsrechnung

Kapitel 6 Gaußsche Ausgleichsrechnung 6. Gaußsche Methode der kleinsten Fehlerquadrate Die Gaußsche Methode der kleinsten Fehlerquadrate wurde 89 von C.F. Gauß in dem Aufsatz Theorie der Bewegung der Himmelkörper

Numerisches Programmieren, Übungen

Technische Universität München SoSe 3 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3. Übungsblatt:

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 4. Aufgabe 4.1. Dr. V. Gradinaru D. Devaud A. Hiltebrand.

Dr V Gradinaru D Devaud A Hiltebrand Herbstsemester 4 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 4 Aufgabe 4 Multiple Choice: Online abzugeben 4a) Wir betrachten

Numerik SS Musterlösung zu Hausaufgabenblatt 1

PROF DR BERND SIMEON CHRISTIAN GOBERT THOMAS MÄRZ Numerik SS 2009 Musterlösung zu Hausaufgabenblatt Aufgabe Links- und Rechtseigenpaare (20 P) Definition: Sei A C n n Ein Vektor 0 = x C n heißt (Rechts-)eigenvektor

Rechenaufwand der LR- und LDL T - Zerlegung

6. Großübung Rechenaufwand der LR- und LDL T - Zerlegung Rückwärtseinsetzen Der Algorithmus kann der Folie 3.0 entnommen werden. Dieser kann in die folgenden Rechenoperationen aufgesplittet werden: Für

Lineare Ausgleichsprobleme. Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte

Lineare Ausgleichsprobleme Bisher: Lösung linearer GS Ax = b, A R n,n, A regulär, b R n Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte Ax = b mit A R m,n, b R m, m n, rg(a)

Diplom VP Numerik 28. August 2006

Diplom VP Numerik 8. August 6 Multiple-Choice-Test Punkte) Bei jeder MC-Aufgabe ist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoch bei einer MC-Aufgabe keine einzige Aussage angekreuzt, gilt diese Aufgabe

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen

2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1

Drehungen und Spiegelungen in R 2

Drehungen und Spiegelungen in R 2 Ist A eine orthogonale 2 2-Matrix, so ist A von der Form ( ) cos α sin α A = Drehung um den Winkel α sin α cos α oder ( ) cos α sin α A = Spiegelung an Achse mit Steigung

QR-Algorithmus. Proseminar - Numerische Mathematik Sommersemester Universität Hamburg Fachbereich Mathematik geleitet von Prof.

QR-Algorithmus Proseminar - Numerische Mathematik Sommersemester 2005 - Universität Hamburg Fachbereich Mathematik geleitet von Prof. Wolf Hofmann 1 Im Laufe der Jahre wurde immer wieder versucht, die

Drehung. Die orthogonale n n-matrix 1 0. c s. Zeile j. s c

Drehung Die orthogonale n n-matrix Q i,j... Zeile i c s... Zeile j s c... mit c = cos ϕ und s = sin ϕ beschreibt eine Drehung um den Winkel ϕ in der x i x j -Ebene des R n. Drehung - Drehung Die orthogonale

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten

QR Zerlegung mit Householder Transformationen. Numerische Mathematik1 WS 2011/12

QR Zerlegung mit Householder Transformationen Numerische Mathematik1 WS 0/1 Orthogonales Eliminieren /33 Sei x R n ein Vektor x = 0. Ziel: Ein orthogonales H R n;n bestimmen, sodass Hx = kxke 1 ; ein Vielfaches

Drehungen und Spiegelungen in R 2

Drehungen und Spiegelungen in R 2 Ist A eine orthogonale 2 2-Matrix, so ist A von der Form ( ) cos α sin α A = Drehung um den Winkel α sin α cos α oder ( ) cos α sin α A = Spiegelung an Achse mit Steigung

1 Matrizenrechnung zweiter Teil

MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten

Matrix- Algorithmen Householder- und Givens- Matrizen

Fast und 20. Mai 2011 und Inhaltsverzeichnis Fast 1 2 Fast und Fast ist eine eines Vektors an der Hyperebene durch die Null im euklidischen Raum Ein zur Spiegelebene orthogonaler Vektor v R n \ {0} wird

Lineare Ausgleichsprobleme

Kapitel Lineare Ausgleichsprobleme Einführung Bemerkung Aufgabenstellung, Motivation Bei linearen Ausgleichsproblemen handeltes sichebenfalls um Bestapproximations Probleme Allerdingsist hier keine Funktion

Lineares Gleichungssystem

Lineares Gleichungssystem Ein System von m linearen Gleichungen in n Unbekannten besteht aus einer Menge von algebraischen Relationen der Form n a ij x j = b i, i =,...,m, j= wobei a ij R, i m, j n, die

Kapitel 3. Transformationen

Oyun Namdag Am 08.11.2007 WS 07/08 Proseminar Numerik: Mathematics for 3D game programming & computer graphics Dozenten: Prof. Dr. V. Schulz, C. Schillings Universität Trier Kapitel 3 Transformationen

Drehachse und Drehwinkel

Drehachse und Drehwinkel Jede Drehung Q im R 3 besitzt eine Drehachse, d.h. lässt einen Einheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einen Winkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene.

Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching October 2, 207 Erinnerung Definition. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, : E n E n E, v, w v, w = n k= v

Was ist Robotik? Robotik heute:

Grundlagen Was ist Robotik? Das Wort Robot / Roboter entstand 92 in einer Geschichte von Karel Ċapek und geht auf das tschechische Wort robota (rbeit, Fronarbeit) zurück. Dessen Ursprung ist das altkirchenslawische

d) Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.

Die orthogonale Matrizen Definition: Eine Matrix Q R n n heißt orthogonal, falls QQ T = Q T Q = I gilt. Die Eigenschaften orthogonaler Matrizen: a) det(q) = ±1; b) Qx 2 = x 2 für alle x R n, also Q 2 =

09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen

09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen Definition. Seien V und W Vektorräume. Unter einer linearen Abbildung versteht man eine Abbildung F : V W, v F v w mit folgender Eigenschaft: F λ

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +

Lösung der Diplom-Vorprüfung Höhere Mathematik III/IV Aufgabe N1 (LR-Zerlegung mit Pivotisierung) Gegeben seien R 3.

Lösung der Diplom-Vorprüfung Höhere Mathematik III/IV 7.7.6 Aufgabe N (LR-Zerlegung mit Pivotisierung) Gegeben seien 6 8 A = 8 6 R und b = 6 R. a) Berechnen Sie die LR-Zerlegung von A mit Spaltenpivotisierung.

2 Die Algebra der Matrizen

Die Algebra der Matrizen Ein Hauptziel der Vorlesung zur Linearen Algebra besteht darin, Aussagen über die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zu machen Etwa ob das Gleichungssystem x y + z 1 x + y

Transformation Allgemeines Die Lage eines Punktes kann durch einen Ortsvektor (ausgehend vom Ursprung des Koordinatensystems

Transformation - 1 1. Allgemeines 2. Zwei durch eine Translation verknüpfte gleichartige Basissysteme 3. Zwei durch eine Translation verknüpfte verschiedenartige Basissysteme (noch gleiche Orientierung)

4 Lineare Abbildungen

17. November 2008 34 4 Lineare Abbildungen 4.1 Lineare Abbildung: Eine Funktion f : R n R m heißt lineare Abbildung von R n nach R m, wenn für alle x 1, x 2 und alle α R gilt f(αx 1 ) = αf(x 1 ) f(x 1

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 12 Aufgabe 121 Matrixpotenzen und Eigenwerte Diese Aufgabe ist

Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen

Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen a) Es ist < x, y > α + + β β ( + α) und y α + + β α + + ( + α) (α + α + ) 6 α + α, also α, ± 5 + ± 9 4 ± 3 Es gibt also Lösungen: α, β

2 Lineare Gleichungssysteme

Höhere Ableitungen Interpolationsbedingungen d k Φ dx k (x j) = y (k) j, ( j =,,..., n; k =,,..., c j ) bestimmen das Hermite Interpolationspolynom Φ Π r mit r + = n ( + c j ). j= 2 Lineare Gleichungssysteme

Übungsblatt

Übungsblatt 3 3.5.27 ) Die folgenden vier Matrizen bilden eine Darstellung der Gruppe C 4 : E =, A =, B =, C = Zeigen Sie einige Gruppeneigenschaften: a) Abgeschlossenheit: Berechnen Sie alle möglichen

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

RWTH Aachen IGPM RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen

3 Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Wir wissen bereits, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die zugehörige Matrix regulär ist. In diesem Kapitel lernen wir unterschiedliche Verfahren

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Exercise 6: Find a matrix A R that describes the following linear transformation: a reflection with respect to the subspace E = {x R : x x + x = } followed by a rotation

3 Matrizenrechnung. 3. November

3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

4. Großübung. Lösung linearer Gleichungssysteme

4. Großübung Lösung linearer Gleichungssysteme Gesucht x, x, x 3, x 4 R, sodass gilt. mit A R 4 4, x R 4, b R 4 x x + 3x 3 + x 4 = 5 6x 3x 7x x 4 = 5 4x + 4x + 5x 3 5x 4 = 3 8x + x + x 3 + x 4 = 8 3 x

Nichtlineare Ausgleichsrechnung

10. Großübung Nichtlineare Ausgleichsrechnung Allgemeines Problem: Wir betrachten ein nichtlineares System F : R n R m mit (m > n, d.h. das System ist überbestimmt und F i (x g(t i ; x g i! 0 i 1,.., m.

Methode der kleinsten Quadrate

Versus QR Matrizen mit vollem Rang 27. Mai 2011 Versus QR Inhaltsverzeichnis 1 2 3 Beispiel 4 Beispiel 5 6 Versus QR Kondition Vergleich Beispiel Versus QR Zu finden: Gerade, die den Punkten (0, 6), (1,

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen: Ax

44 Orthogonale Matrizen

44 Orthogonale Matrizen 44.1 Motivation Im euklidischen Raum IR n haben wir gesehen, dass Orthonormalbasen zu besonders einfachen und schönen Beschreibungen führen. Wir wollen das Konzept der Orthonormalität

4 Lineare Ausgleichsrechnung

Numerik I 15 4 Lineare Ausgleichsrechnung Die folgende Tabelle zeigt die Bevölkerungsentwicklung in den U.S.A. 19 191 192 193 194 75.995 91.972 15.711 123.23 131.669 195 196 197 198 199 15.697 179.323

Numerisches Programmieren

Informatics V - Scientific Computing Numerisches Programmieren Tutorübung 3 Jürgen Bräckle, Christoph Riesinger 16. Mai 2013 Tutorübung 3, 16. Mai 2013 1 Gauß-Elimination und Pivotsuche LR-Zerlegung QR-Zerlegung

gegeben: G sei endliche Gruppe, jede Untergruppe von G sei ein Normalteiler zu zeigen: je zwei Elemente teilerfremder Ordnung kommutieren

Stefan K. 4.Übungsblatt Algebra I Aufgabe 1 gegeben: G sei endliche Gruppe, jede Untergruppe von G sei ein Normalteiler von G zu zeigen: je zwei Elemente teilerfremder Ordnung kommutieren Beweis: Seien

Diplom VP Informatik / Numerik 2. September 2002

Diplom VP Informatik / Numerik. September 00 Aufgabe Gegeben sei das lineare Gleichungssystem A x = b mit 0 4 0 0 0 0 A = 4 0 0 0 0 0 0 0 0 und b = 4 4 8 5. Punkte a Berechnen Sie die Cholesky Zerlegung

Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik II

Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik II Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik II 1 / 35 Inhalte der Numerik

Matrizen und Drehungen

Matrizen und Drehungen 20. Noember 2003 Diese Ausführungen sind im wesentlichen dem Skript zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Physik I und II on PD Dr. Horst Fichtner entnommen. Dieses entstand

Transformation auf Hessenbergform und Tridiagonalform

Transformation auf Hessenbergform und Tridiagonalform Proseminar - Numerische Mathematik Sommersemerster 200 - Universität Hamburg Fachbereich Mathematik geleitet von Prof. Wolf Hofmann von Patrick Schuch

Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der

7 Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Folgerung: Drehmatrizen haben die Determinante. Folgerung: Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen, das heißt D = D

Kapitel 3: Geometrische Transformationen

[ Computeranimation ] Kapitel 3: Geometrische Transformationen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 3. Geometrische Transformationen

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015

Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler

Elektrischer Schaltkreis lin. Gleichungssystem

Inhalt Kapitel II: Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme II Gestaffelte Systeme II2 LU-Zerlegung II3 QR-Algorithmen Kapitel II (UebersichtKapI) Beispiel : Elektrischer Schaltkreis I R

I) MATRIZEN. 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n

I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y1 = a11x1+ a12x2 + a13x3 y2 = a21x1+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i

Inhalt Kapitel II: Lineare Gleichungssysteme

Inhalt Kapitel II: Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme II1 Gestaffelte Systeme II2 LU-Zerlegung II3 QR-Algorithmen Kapitel II (UebersichtKapI) 1 Beispiel 1: Elektrischer Schaltkreis

Zusammenfassung Numerische Mathematik für Elektrotechniker

Zusammenfassung Numerische Mathematik für Elektrotechniker RWTH Aachen, SS 2006, Prof. Dr. W. Dahmen c 2006 by Sebastian Strache, Ralf Wilke Korrekturen bitte an Ralf.Wilke@rwth-aachen.de 27. August 2006

a ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1, 2,3,..., m I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen

I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x3 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung

6 Lineare Abbildungen der euklidischen Ebene

6 Lineare Aildungen der euklidischen Eene In diesem Kapitel etrachten wir nur noch lineare Aildungen der euklidischen Eene auf sich seler: f : E E oder f : R 2 R 2 Zudem verwenden wir das Skalarprodukt

Ausgleichsrechnung: Methode der kleinsten Quadrate

kleinsten Quadrate Historische Bemerkung In der Neujahrsnacht 1801 entdeckte Giuseppe Piazzi den Zwergplaneten Ceres in der Lücke zwischen Mars und Jupiter. Allerdings verlor man Ceres danach wieder aus

D-ITET. D-MATL, RW Lineare Algebra HS 2017 Dr. V. Gradinaru T. Welti. Online-Test 2. Einsendeschluss: Sonntag, den

D-ITET. D-MATL, RW Lineare Algebra HS 7 Dr. V. Gradinaru T. Welti Online-Test Einsendeschluss: Sonntag, den..7 : Uhr Dieser Test dient, seriös bearbeitet, als Repetition des bisherigen Vorlesungsstoffes

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014

Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................

Hilfsblätter Lineare Algebra

Hilfsblätter Lineare Algebra Sebastian Suchanek unter Mithilfe von Klaus Flittner Matthias Staab c 2002 by Sebastian Suchanek Printed with L A TEX Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 1 11 Norm 1 12 Addition,

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 11. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Dr. V. Gradinaru D. Devaud. Herbstsemester 2015

Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 015 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 11 Aufgabe 11.1 11.1a) Sei die QR-Zerlegung der m n Matrix A (m > n) gegeben

Numerische Mathematik I für Ingenieure Multiple-Choice Klausuraufgaben Frühjahr 08

Numerische Mathematik I für Ingenieure Multiple-Choice Klausuraufgaen Frühjahr 08 Hier einige Hinweise zu den MC-Aufgaen. Die Lösungen sollten nicht auswendig gelernt werden. Man sollte verstehen, warum

a ij x j max a ik = x 1 max max a ij x 0. a ij = e k 1 max

2.1 a) Sei x R n fest, aber beliebig gewählt. Sei i 0 {1,...,n} ein Index mit Dann gilt zunächst x i0 = max,...,n x i. x = max x i = x i0 = ( x i0 p) ( ) 1/p 1/p x i p = x p,...,n für alle p 1. Umgekehrt

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ

Exkurs: Klassifikation orthogonaler 2 2-Matrizen.

Exkurs: Klassifikation orthogonaler 2 2-Matrizen. Aussage: Es gilt: (a) Jede orthogonale 2 2 Matrix A mit det(a) = 1 hat das Aussehen cos(α) sin(α) D(α) = sin(α) cos(α), wobei α [0,2π[. Ist sin(α) 0, so

Lösung der Diplom-Vorprüfung Höhere Mathematik III/IV 6.8.005 1 Aufgabe N1 Gegeben seien A = 5-10 -5-10 8-10 -5-10 13 R 3 3 und b = a) Überprüfen Sie, ob die Matrix A positiv definit ist. b) Bestimmen

Musterlösung 11. D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung

D-INFK Lineare Algebra HS 27 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Musterlösung. Wir bezeichnen die Spalten von A als A (a a 2 a 3 ) und die Spalten des Resultats der QR-Zerlegung mit Q (q q 2 q 3 ), R (r

Orthonormalbasis. Orthogonalentwicklung

Orthonormalbasis Eine Orthogonal- oder Orthonormalbasis des R n (oder eines Teilraums) ist eine Basis {v,..., v n } mit v i = und v i, v j = für i j, d. h. alle Basisvektoren haben Norm und stehen senkrecht

4. Übungsblatt zur Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo

Fachbereich Mathematik Prof. J. Lehn Hasan Gündoğan, Nicole Nowak Sommersemester 8 4./5./8. April 4. Übungsblatt zur Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI, AngGeo Gruppenübung Aufgabe G9 (Multiple Choice Bei

bekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR A = LR

LR-Zerlegung bekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR Definition 2.17 Unter einer LR-Zerlegung einer Matrix A R n n verstehen wir eine

Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011)

M. Sc. Frank Gimbel Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) 1 Motivation Ziel ist es, ein gegebenes lineares Gleichungssystem der Form Ax = b (1) mit x, b R n und A R n n zu lösen.

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung Die Zerlegung einer regulären Matrix A R n n in die beiden Dreiecksmatrizen L und R basiert auf der Elimination mit Frobeniusmatrizen, d.h. R = FA,

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 29. April 2011

Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 29. April 2011 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................

Matrizen. Stefan Keppeler. 28. November Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen

Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen Matrizen 28. November 2007 Summe & Produkt Beispiel: Einwohnerzahlen Beispiel Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung

Lineare (affine) Abbildung

Lineare affine Aildung A e 2 a e Wir üerziehen die Eene neen dem vertrauten Quadrat-Gitternetz, das durch die Basisvektoren e und e 2 festgelegt ist, mit einem Parallelogramm-Gitternetz, dessen Maschen

MATRIZEN. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet. a 11 a a 1n a 21. a a 2n A = a m1 a m2...

MATRIZEN Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A ist eine m n Matrix, dh: A hat m Zeilen und n Spalten A besitzt

KAPITEL 7. Berechnung von Eigenwerten. Av = λv

KAPITEL 7. Berechnung von Eigenwerten Aufgabe: Sei A R n n eine reelle quadratische Matrix. Gesucht λ C und v C n, v 0, die der Eigenwertgleichung Av = λv genügen. Die Zahl λ heißt Eigenwert und der Vektor

Spezielle Matrixformen

Definition B57 (Transposition) Eine einfache aber wichtige Operation auf Matrizen ist die Transposition, die aus einer (m n) Matrix A eine (n m) Matrix B = A T macht Hierbei gilt β i j = α j i, so daß

Numerische Verfahren

Numerische Verfahren Jens-Peter M. Zemke zemke@tu-harburg.de Institut für Numerische Simulation Technische Universität Hamburg-Harburg 03.06.2008 TUHH Jens-Peter M. Zemke Numerische Verfahren Lineare Ausgleichsprobleme

QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen

1/ QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen Numerische Mathematik 1 WS 011/1 Orthogonales Eliminieren / Sei x R n ein Vektor x = 0. Ziel: Ein orthogonales H R n;n bestimmen, sodass Hx = kxke 1 ; ein

Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)

Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?

Diplom VP Numerik 27. August 2007

Diplom VP Numerik 27. August 2007 Multiple-Choice-Test 30 Punkte Bei jeder MC-Aufgabe ist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoch bei einer MC-Aufgabe keine einzige Aussage angekreuzt, gilt diese

Überbestimmte Gleichungssysteme

Siebente Vorlesung, 8. Mai 2008, Inhalt Überbestimmte Gleichungssysteme Kleinste Quadrate: einfaches Beispiel, elementare Herleitung Normalengleichungen Transformation mit QR-Zerlegung und SVD Nichtlineare

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

13 Lineare Abbildungen

13 Lineare Abbildungen Grob gesprochen sind lineare Abbildungen bei Vektorräumen dasselbe wie Homomorphismen bei Gruppen, nämlich strukturerhaltende Abbildungen. Auch in diesem Kapitel seien V, W Vektorräume.

Lineare Ausgleichsproblems

Lineare Ausgleichsproblems Heinrich Voss voss@tu-harburg.de Hamburg University of Technology Department of Mathematics Lineare Ausgleichsproblems p. /7 Lineare Ausgleichsprobleme In (fast) allen Wissenschaftsbereichen

täglich einmal Scilab!

Mathematik 1 - Übungsblatt 7 täglich einmal Scilab! Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind skalare Größen (=einfache Zahlen im Gegensatz zu vektoriellen

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D

Vektoren, Vektorräume, Astände: D Definition: Die Menge aller (geordneten Paare reeller Zahlen (oder allgemeiner: Elemente eines elieigen Körpers, als Spalten geschrieen, ezeichnen wir als Vektoren: R

Lineare Gleichungssysteme, LR-Zerlegung

Prof Thomas Richter 2 Juni 27 Institut für Analysis und Numerik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg thomasrichter@ovgude Material zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II am 22627 Lineare Gleichungssysteme,