KAPITEL 7. Berechnung von Eigenwerten. Av = λv

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1 KAPITEL 7. Berechnung von Eigenwerten Aufgabe: Sei A R n n eine reelle quadratische Matrix. Gesucht λ C und v C n, v 0, die der Eigenwertgleichung Av = λv genügen. Die Zahl λ heißt Eigenwert und der Vektor v Eigenvektor zum Eigenwert λ. Die Skalierung von v ist frei wählbar. Die Aufgabe: gesucht (λ, v), so daß Av λv = 0, v = 1 ist nichtlinear in den Unbekannten (λ, v). Dahmen-Reusken Kapitel 7 1

2 Beispiel 7.1. Gesucht die Zahl λ und die Funktion u(x), die die Differentialgleichung mit den Randbedingungen u (x) λr(x)u(x) = 0, x (0,1), u(0) = u(1) = 0 erfüllen. Hierbei ist r > 0 eine bekannte stetige Funktion. Wir betrachten dazu Gitterpunkte x j = jh, j = 0,..., n, h = 1 n, und ersetzen u (x j ) durch die Differenz u(x j + h) 2u(x j ) + u(x j h) h 2, j = 1,2,..., n 1. Dahmen-Reusken Kapitel 7 2

3 Es ergibt sich ein Gleichungssystem Au λru = 0 für die Unbekannten λ und u i u(x i ), i = 1,2,..., n 1, wobei A = 1 h 2 Sei , R = r(x 1 ) r(x 2 )... r(x n 1 ) R 1/2 = diag( r(x 1 ),..., r(x n 1 )), R 1/2 := (R 1/2 ) 1, v := R 1/2 u, B := R 1/2 AR 1/2. Man erhält die transformierte Gleichung also ein Eigenwertproblem. Bv = λv,. Dahmen-Reusken Kapitel 7 3

4 Beispiel 7.3. Ein System linearer gekoppelter gewöhnlicher Differentialgleichungen: wobei z = z(t), t [0, T]. z = Az + b, z(0) = z 0, Annahmen: A R n n und b R n hängen nicht von t ab und A ist diagonalisierbar: Av i = λ i v i, i = 1,2,..., n. Sei Λ = diag(λ 1,..., λ n ), V = (v 1 v 2... v n ), und damit AV = V Λ. Dahmen-Reusken Kapitel 7 4

5 So erhält man aus V 1 z = V 1 AV V 1 z + V 1 b, y := V 1 z, c := V 1 b das System y = Λy + c von entkoppelten skalaren Gleichungen der Form y i = λ iy i + c i, i = 1,2,..., n. Hier ergibt sich einfach die Lösung y i (t) = z 0 i eλ it + c i λ i ( e λ i t 1 ), wobei z 0 i := ( V 1 z 0) i. Dahmen-Reusken Kapitel 7 5

6 7.2 Einige theoretische Grundlagen Lemma 7.4. λ ist ein Eigenwert von A genau dann, wenn det(a λi) = 0. Beweis: Av = λv (A λi)v = 0 (v 0). Somit ist die Matrix A λi singulär. Letzteres ist zu det(a λi) = 0 äquivalent. Deshalb: Berechnung der Eigenwerte Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms := det(a λi). Der Weg über die Nullstellen ist im allgemeinen ein untaugliches Vorgehen und nur für sehr kleine n akzeptabel. Dahmen-Reusken Kapitel 7 6

7 Beispiel 7.5. A = I hat Eigenwerte λ i = 1 und Eigenvektoren v i = e i, i = 1,..., n. Das Eigenwertproblem Ax = λx ist gut konditioniert (Satz 7.17): Sei µ ein Eigenwert der Matrix A + E, wobei E mit E 2 ǫ eine Störung der Matrix A ist. Dann gilt die Abschätzung 1 µ ǫ. Das charakteristische Polynom p(λ) := det(a λi): n p(λ) = (1 λ) n = ( n) ( λ) k k k=0 = ( n) ( n) ( n) λ + λ 2 ( n) λ ( 1) n( n) λ n n Dahmen-Reusken Kapitel 7 7

8 Bei einer (kleinen) Störung ǫ > 0 des Koeffizienten ( ) n 0 = 1 erhält man das gestörte Polynom p ǫ (λ) = 1 ǫ ( n) ( n) λ + λ 2 ( n) λ ( 1) n ( n) λ n n = p(λ) ǫ mit den Nullstellen p ǫ ( λ) = 0 (1 λ) n ǫ = 0 λ = 1 + ǫ 1/n (falls n ungerade) oder λ = 1 ± ǫ 1/n (falls n gerade). Dahmen-Reusken Kapitel 7 8

9 Die Menge aller paarweise verschiedenen Eigenwerte σ(a) = { λ C det(a λi) = 0 } bezeichnet man als das Spektrum von A. Matrizen A und B heißen ähnlich, falls es eine nichtsinguläre Matrix T gibt, so daß gilt. B = T 1 AT Lemma 7.6. Ähnliche Matrizen haben das gleiche Spektrum: für beliebiges nichtsinguläres T. Beweis σ(a) = σ(t 1 AT) det(t 1 AT λi) = det(t 1 (A λi)t) = det(t 1 )det(a λi)det(t) = det(a λi). Dahmen-Reusken Kapitel 7 9

10 Schur-Faktorisierung Satz 7.7 (Komplexe Schur-Faktorisierung) Zu jeder Matrix A C n n gibt es eine unitäre Matrix Q C n n, so daß Q AQ = λ 1 λ gilt. Dabei ist {λ 1,..., λ n } = σ(a). λ n =: R Dahmen-Reusken Kapitel 7 10

11 Satz 7.8 (Reelle Schur-Faktorisierung) Zu jeder Matrix A R n n gibt es eine orthogonale Matrix Q R n n, so daß Q T AQ = R 11 R R mm =: R gilt. Dabei sind alle Matrizen R ii (i = 1,..., m) reell und besitzen entweder die Ordnung eins (d.h. R ii R) oder die Ordnung zwei (d.h. R ii R 2 2 ). Im letzten Fall hat R ii ein Paar von konjugiert komplexen Eigenwerten. Die Menge aller Eigenwerte der Matrizen R ii (i = 1,..., m) ist gerade das Spektrum der Matrix A.

12 R n n Folgerung Jede reelle symmetrische Matrix A läßt sich mittels einer orthogonalen Matrix Q ähnlich auf eine Diagonalmatrix D transformieren: Q 1 AQ = D = diag(λ 1,..., λ n ). A besitzt somit nur reelle Eigenwerte und n linear unabhängige zueinander orthogonale Eigenvektoren (nämlich die Spalten von Q). Dahmen-Reusken Kapitel 7 11

13 7.3 Eigenwertabschätzungen Eigenschaften Seien A, B R n n. Dann gilt (i) Falls A nichtsingulär: (ii) λ σ(a) = λ σ(a), (iii) σ(a) = σ(a T ), (iv) σ(ab) = σ(ba). λ σ(a) λ 1 σ(a 1 ), Satz Für alle λ σ(a) gilt λ A. Dahmen-Reusken Kapitel 7 12

14 Satz Seien K i := { z C z a i,i j i a i,j }, i = 1,2,..., n, die sogenannten Gerschgorin-Kreise. Dann gilt, daß alle Eigenwerte von A in der Vereinigung aller dieser Kreise liegen: σ(a) ( n i=1 K i). Folgerung Seien Ki T die Gerschgorin-Kreise für A T : Ki T := { z C z a i,i a j,i }, i = 1,2,..., n, j i dann folgt aus Eigenschaft 7.11 (iii) und Satz 7.13: σ(a) ( ( n i=1 K i) ( n i=1 KT i )). Falls A symmetrisch ist, sind alle Eigenwerte reell, also gilt: σ(a) ( n i=1 (K i R) ). Dahmen-Reusken Kapitel 7 13

15 Beispiel Die Matrix A = hat das Spektrum σ(a) = {3.43 ± 0.14i, 1.86}. Die Gerschgorin-Kreise sind in Abb.7.1 dargestellt. Die Matrix A = hat das Spektrum σ(a) = {1.27, 3.00, 4.73}. Die Gerschgorin-Kreise liefern σ(a) ([1,3] [1,5] [3,5]), also σ(a) [1, 5]. Dahmen-Reusken Kapitel 7 14

16 σ(a) ( 3 i=1 K i ) : Abbildung 7.1. σ(a) ( 3 i=1 K T i ) : 2i.. 2i K3 T. K. K.... i.. i K K2 T K1 T σ(a) (( 3 2i i=1 K i ) ( 3 i=1 K i K T K T K T i )) : Dahmen-Reusken Kapitel 7 15

17 7.4 Kondition des Eigenwertproblems Satz Sei A R n n eine diagonalisierbare Matrix: V 1 AV = diag(λ 1,..., λ n ). Sei µ ein Eigenwert der gestörten Matrix A + E, dann gilt mit p = 1,2,. min λ i µ V p V 1 p E p, 1 i n Beachte: die absolute Kondition der Eigenwerte hängt von der Konditionszahl κ p (V ) V p V 1 p der Eigenvektormatrix V ab und nicht von der Konditionszahl der Matrix A. Dahmen-Reusken Kapitel 7 16

18 Für eine symmetrische Matrix ist das Problem der Bestimmung der Eigenwerte immer gut konditioniert: Satz Sei A R n n eine symmetrische Matrix und µ ein Eigenwert der gestörten Matrix A + E. Dann gilt min λ i µ E 2. 1 i n Dahmen-Reusken Kapitel 7 17

19 Für nichtsymmetrische Matrizen kann das Problem der Eigenwertbestimmung schlecht konditioniert sein, obgleich A selbst eine moderate Konditionszahl hat. Beispiel Sei A = ( ) 1 1 α 2, 0 < α 1 1 2, mit Eigenwerten und zugehörigen Eigenvektoren ( ) λ 1 = 1 α, v 1 1 =, λ α 2 = 1 + α, v 2 = Es gilt V 1 AV = ( λ1 0 0 λ 2 ) mit V = ( ) 1 1. α α ( ) 1. α κ 2 (A) = A 2 A α 2, κ 2(V ) = V 2 V 1 2 = 1 α. Dahmen-Reusken Kapitel 7 18

20 Sei E = ( 0 0 α 3 (2 + α) 0 ). Die gestörte Matrix hat Eigenwerte A + E = ( 1 1 α 2 (1 + α) 2 1 ) µ 1 = 1 α(1 + α) = λ 1 α 2, µ 2 = 1 + α(1 + α) = λ 2 + α 2, also gilt µ i λ i = α 2 = 1 α 3 (2 + α) 2 + α α = α κ 2(V ) E 2. Dahmen-Reusken Kapitel 7 19

21 7.5 Vektoriteration Sei A diagonalisierbar, d.h., es existiert eine Basis aus Eigenvektoren von A: v 1, v 2,..., v n C n. Diese Vektoren v i werden so skaliert, daß v i 2 = 1, i = 1,..., n, gilt. Außerdem nehmen wir an: λ 1 > λ 2 λ 3... λ n. Ein beliebiger Startvektor x 0 R n läßt sich darstellen als x 0 = c 1 v 1 + c 2 v c n v n. Wir nehmen ferner an, daß x 0 so gewählt ist, daß c 1 0. Dahmen-Reusken Kapitel 7 20

22 Wendet man eine k-te Potenz von A auf x 0 an, ergibt sich A k x 0 = n j=1 c j A k v j = n j=1 c j λ k j vj. wobei x k := A k x 0 = λ k 1{ c1 v 1 + r k 2 = O n j=2 ( λ 2 λ 1 ( λj λ 1 ) k c j v j} =: λ k 1( c1 v 1 + r k), k ) (k ). Folglich strebt x k = A k x 0 in die Richtung des Vektors v 1 : α k x k = v 1 + c 1 1 rk mit α k := (λ k 1 c 1) 1. Dahmen-Reusken Kapitel 7 21

23 Für die Annäherung des betragsmäßig größten Eigenwertes λ 1 kann man nun verwenden. Es gilt also λ (k) = (xk ) T Ax k x k 2 2 λ (k) (α = λ k x k ) T (α k+1 x k+1 ) 1 α k x k 2 2 = λ O( 1 + O( λ 2 k λ ) 1 λ 2 = (xk ) T x k+1 x k 2 2 ( λ = λ k O( 2 k ) ), λ ) λ 1 1 = λ 1 (v 1 + c 1 1 rk ) T (v 1 + c 1 1 rk+1 ) v 1 + c 1 1 rk 2 2 λ (k) λ 1 = O ( λ 2 k ). λ 1 Dahmen-Reusken Kapitel 7 22

24 Bemerkung Falls A symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren v i orthogonal. Man kann zeigen, daß sogar gilt. λ (k) λ 1 = O ( λ 2 2k ) λ 1 Dahmen-Reusken Kapitel 7 23

25 Da x k 2, falls λ 1 > 1, und x k 2 0 falls λ 1 < 1, ist es zweckmäßig, die Iterierten x k zu skalieren. Insgesamt ergibt sich folgender Algorithmus 7.20 (Vektoriteration/Potenzmethode) Wähle Startvektor y 0 mit y 0 2 = 1. Für k = 0,1,2,... berechne ỹ k+1 = Ay k λ (k) = (y k ) T ỹ k+1 y k+1 = ỹ k+1/ ỹ k+1 2. Mit x 0 := y 0 kann man über Induktion einfach zeigen, daß gilt. y k = xk x k 2 = Ak x 0 A k x 0 2 Dahmen-Reusken Kapitel 7 24

26 Beispiel A = hat das Spektrum σ(a) = {5,8,6, 4 2}, also λ 1 = 8, λ 2 λ 1 = 3 4. k λ (k) λ 1 λ (k) λ 1 λ (k 1) λ Dahmen-Reusken Kapitel 7 25

27 Beispiel Wir betrachten die symmetrische Matrix A = mit dem Spektrum σ(a) = {3,9, 36}, also k λ (k) λ 1 λ 1 = 36, λ 2 λ 1 = 1 4. λ (k) λ 1 λ (k 1) λ 1 q k = λ(k) λ (k 1) λ (k 1) λ (k 2) q k 1 q k (λ (k) λ (k 1) ) e e e e e e e e e e 6 Dahmen-Reusken Kapitel 7 26

28 Beispiel Wir betrachten das Eigenwertproblem in Beispiel 7.1 mit R = I, also Ax = λx, (A R (n 1) (n 1) wie in (7.3)). Für die Matrix A ist eine explizite Formel für die Eigenwerte bekannt: Wegen λ n k = 4 h 2 sin2 ( 1 2 kπh), k = 1,2,..., n 1, h := 1 n. λ 2 λ 1 = π2 h 2 + O(h 4 ) ewartet man langsame Konvergenz λ (k) λ 1 für h 1. Für h = 1 30 : k λ (k) λ 1 λ (k) λ 1 λ (k 1) λ e e e e e Dahmen-Reusken Kapitel 7 27

29 7.6 Inverse Vektoriteration Angenommen, wir hätten eine Annäherung µ λ i eines beliebigen Eigenwertes λ i der Matrix A zur Verfügung, so daß µ λ i < µ λ j für alle j i. Zur Berechnung von (λ i µ) 1, und damit von λ i, kann man die Vektoriteration auf (A µi) 1 anwenden: Algorithmus 7.24.(Inverse Vektoriteration mit Spektralverschiebung) Wähle Startvektor y 0 mit y 0 2 = 1. Für k = 0,1,2,... : Löse (A µi)ỹ k+1 = y k λ (k) := 1 (y k ) T ỹ k+1 + µ y k+1 := ỹ k+1/ ỹ k+1 2. Dahmen-Reusken Kapitel 7 28

30 Es gilt: λ (k) := 1 (y k ) T ỹ k+1 + µ λ i für k. Die Konvergenzgeschwindigkeit wird durch das Verhältnis zwischen 1 λ i µ und dem betragsmäßig zweitgrößten Eigenwert von (A µi) 1, also durch den Faktor max j i 1 λ j µ 1 λ i µ = bestimmt. Hieraus schließen wir: 1 min j i λ j µ 1 λ i µ = λ i µ min j i λj µ Ist µ eine besonders gute Schätzung von λ i, so gilt λ i µ min j i λj µ 1, das Verfahren konvergiert in diesem Fall sehr rasch. Dahmen-Reusken Kapitel 7 29

31 Beispiel Wir betrachten die Matrix aus Beispiel 7.21 und wenden zur Berechnung des Eigenwerts λ 4 = 4 den Algorithmus 7.24 mit µ = 3.5 und y 0 = 1 (1,1,1,1,1) T an. 5 Resultate: k λ (k) λ 4 λ (k) λ 4 λ (k 1) λ e e e e e e Für den theoretischen Konvergenzfaktor ergibt sich λ 4 µ min j 4 λj µ = λ min j 4 λj = = 1 3. Dahmen-Reusken Kapitel 7 30

32 Für die inverse Vektoriteration, wobei man den Parameter µ nach jedem Schritt auf die jeweils aktuellste Annäherung λ (k) von λ 4 = 4 setzt, µ 0 := 3.5, µ k = λ (k 1) für k 1, ist die Konvergenz viel schneller: k λ (k) λ 4 λ (k) λ 4 λ (k 1) λ 4 2 λ (k) λ (k 1) e e e e e e e e e e e Die Konvergenzgeschwindigkeit ist nun quadratisch statt linear. In der vierten Spalte kann man sehen, daß die Fehlerschätzung λ (k) λ λ 1 (k) λ (k+1) befriedigend ist. Dahmen-Reusken Kapitel 7 31

33 7.7 QR-Verfahren Der QR-Algorithmus ist eng mit der sogenannten Unterraumiteration verwandt. Letztere Methode, die sich als Verallgemeinerung der Vektoriteration interpretieren läßt, wird erst behandelt. Algorithmus 7.26 (Stabile Unterraumiteration) Wähle eine orthogonale Startmatrix Q 0 R n n. Für k = 0,1,2,... berechne B = AQ k, eine QR-Zerlegung von B: B =: Q k+1 R k+1, mit Q k+1 orthogonal und R k+1 eine obere Dreiecks-matrix. Notation: Q k = (q 1 k q2 k... qn k ) und V j = v 1,..., v j, 1 j n, der von den Eigenvektoren v 1,..., v j aufgespannte Unterraum. Dahmen-Reusken Kapitel 7 32

34 Sei S j k := Ak q 1 0, Ak q 2 0,..., Ak q j 0 = Bild Ak (q 1 0 q qj 0 ). Nun kann man den Zusammenhang der Räume S j k zu den Q k herstellen, indem man per Induktion zeigt, daß gilt. Für x S j k sei Man kann zeigen: q 1 k, q2 k,..., qj k = Sj k d(v j, x) := min v V j v x 2 d(v j, S j k ) := max { d(v j, x) x S j k, x 2 = 1 }. d(v j, S j k ) = O( λ j+1 λ j k ), k für j = 1,2,..., n 1. Dahmen-Reusken Kapitel 7 33

35 Für die j-te Spalte q j k der Matrix Q k ergibt sich, wegen q j k Sj k V j (k ): und somit q j k = j l=1 α l v l + e k, mit e k 0 (k ), = Wegen S j k V j: Aq j j k = α l Av l + ẽ k (ẽ k := Ae k ) l=1 j l=1 α l λ l v l + ẽ k mit ẽ k 0 (k ). Aq j j k = β l,k qk l + ê k, mit ê k 0 (k ). l=1 Dahmen-Reusken Kapitel 7 34

36 Für i > j erhält man, wegen der Orthogonalität (q i k )T q l k = 0, i l: (q i k )T Aq j k = (qi k )T ê k 0 (k ). Hieraus folgt: Die Folge Q T k AQ k konvergiert für k gegen eine obere Dreiecksmatrix. Dahmen-Reusken Kapitel 7 35

37 Zusammenfassend Sei {Q k } k 0 die Folge orthogonaler Matrizen aus der Unterraumiteration, und A k := Q T k AQ k. Es gilt: σ(a k ) = σ(a) für alle k. Q T k AQ k = A k R = ( ) (k ). Die Diagonaleinträge der Matrix A k sind Annäherungen für die Eigenwerte der Matrix A. Es gilt r i,i = λ i, i = 1,..., n, d.h., die Eigenwerte stehen nach Größe sortiert auf der Diagonale von R. Für k streben die Fehler in diesen Annäherungen gegen 0, wobei die Konvergenzgeschwindigkeit durch die Faktoren λ j+1, λ j j = 1,2,..., n 1, bestimmt ist. Dahmen-Reusken Kapitel 7 36

38 Beispiel Sei A = 1 2 0, mit Eigenwerten λ 1 = 3, λ 2 = 2, λ 3 = 1 und Q die Startmatrix wie in (7.45). Resultate der Unterraumiteration: A 1 = , A 5 = A 15 = ,. und σ(a) = σ(a 1 ) = σ(a 5 ) = σ(a 15 ) diag(a 15 ) = {3.00,2.00,1.00}. Dahmen-Reusken Kapitel 7 37

39 Bemerkung Da wir in diesem Abschnitt annehmen, daß die Matrix A nur einfache Eigenwerte besitzt, hat die reelle Schur-Faktorisierung von A die Form Q T AQ = R, Aus der oben diskutierten Analyse der Unterraumiteration folgt, daß diese Methode eine Folge Q k, k = 0,1,2,..., von orthogonalen Matrizen mit der Eigenschaft Q T k AQ k = A k R liefert, wobei R eine obere Dreiecksmatrix ist. Offensichtlich ergibt die Unterraumiteration eine näherungsweise Konstruktion der reellen Schur-Faktorisierung. Dahmen-Reusken Kapitel 7 38

40 7.7.2 QR-Algorithmus Die über die Unterraumiteration definierten Matrizen A k können einfach rekursiv (d.h. A k aus A k 1 ) berechnet werden. Lemma Sei à 0 := Q T 0 AQ 0, wobei Q 0 die in Algorithmus 7.26 gewählte orthogonale Startmatrix ist, und sei à k, k = 1,2,..., definiert durch à k 1 =: QR (die QR-Zerlegung von à k 1, mit r i,i 0) à k Dann gilt := RQ. à k = A k, k = 0,1,2,..., wobei A k = Q T k AQ k die in (7.51) definierte Matrix ist. Dahmen-Reusken Kapitel 7 39

41 Aufgrund von Lemma 7.32 läßt sich folgende einfache Methode zur Berechnung der Matrizen A k = Q T k AQ k, k = 1,2,..., formulieren: Algorithmus 7.33 (QR-Algorithmus) Gegeben: A R n n und eine orthogonale Matrix Q 0 R n n (z.b. Q 0 = I). Berechne A 0 = Q T 0 AQ 0. Für k = 1,2,... berechne A k 1 =: QR (QR-Zerlegung von A k 1 ) A k := RQ. Dahmen-Reusken Kapitel 7 40

42 Beispiel Für die symmetrische Matrix A aus Beispiel mit σ(a) = {3,9, 36} liefert der QR-Algorithmus mit Q 0 = I folgende Resultate: A 3 = , A 6 = Für die Matrix A aus Beispiel 7.9 mit σ(a) = {9,27 + 9i,27 9i} ergeben sich mit Q 0 = I folgende Resultate: A 3 = , A6 = , ) ( Der 2 2-Diagonalblock Eigenwerte ± 8.993i. der Matrix A 6 hat die Dahmen-Reusken Kapitel 7 41

43 Bemerkungen Die Konvergenz des QR-Verfahrens wird sehr langsam sein, falls es ein j gibt, für das λ j+1 λ 1 gilt. j Der Aufwand pro Schritt beim QR-Verfahren ist erheblich, da man jedes mal die QR-Zerlegung einer n n-matrix (z.b. mit Householder-Spiegelungen) und das Produkt RQ berechnen muß. Der Aufwand pro Iteration ist i.a. O(n 3 ) Multiplikationen/Divisionen. Der QR-Algorithmus 7.33 ist daher im allgemeinen kein effizientes Verfahren! Dahmen-Reusken Kapitel 7 42

44 7.7.3 Praktische Durchführung des QR-Algorithmus Transformation auf Hessenbergform Eine Matrix B R n n heißt obere Hessenberg-Matrix, falls B die Gestalt hat. B = In Beispiel 7.35 wird gezeigt, wie man eine Matrix A über eine orthogonale Ähnlichkeitstransformation, d.h. Q T AQ, mit Q orthogonal auf obere Hessenbergform bringen kann. Dahmen-Reusken Kapitel 7 43

45 Beispiel Sei die Matrix gegeben. Man setze und v 1 := A = Q 1 := , Q v 1 := I 2 v1 (v 1 ) T (v 1 ) T v 1 R Q v 1. Dahmen-Reusken Kapitel 7 44

46 Dann ergibt sich Q 1 A = Bei der Multiplikation von Q 1 A mit Q 1 bleiben die Null-Einträge in der ersten Spalte erhalten: Ã := Q 1 AQ 1 =

47 Sei und v 2 := ( ) 12 5 Dann ergibt sich + 13 Q 2 Ã = ( ) 1 0 = Q 2 := Â := Q 2 ÃQ 2 = ( ) 25, Q 5 v 2 := I 2 v2 (v 2 ) T (v 2 ) T v 2 R2 2, Qv , Dahmen-Reusken Kapitel 7 45

48 Sei Q = Q 1 Q 2, also Q T = Q T 2 QT 1 = Q 2Q 1, dann gilt Q T AQ = Q 2 Q 1 AQ 1 Q 2 = Â, wobei  eine obere Hessenberg-Matrix ist. Man kann eine Matrix A R n n durch Householder- Transformationen auf eine zu A ähnliche Matrix mit oberer Hessenberggestalt bringen. Rechenaufwand Der Rechenaufwand der Ähnlichkeitstransformation auf Hessenbergform über Householder-Transformationen ist etwa 5 3 n3 Operationen. Dahmen-Reusken Kapitel 7 46

49 Wir nehmen im weiteren an, daß A eine nicht-reduzierbare obere Hessenberg-Matrix ist. Wenn A eine nicht-reduzierbare obere Hessenbergmatrix ist, kann man die Identität als Anfangsmatrix bei der Unterraumiteration (also auch beim QR-Algorithmus) nehmen. Das folgende Resultat zeigt, daß im QR-Algorithmus die obere Hessenberggestalt erhalten bleibt. Lemma Sei A k 1 R n n eine obere Hessenberg-Matrix und A k 1 := QR (QR-Zerlegung von A k 1 ) A k := RQ der Iterationsschritt im QR-Algorithmus 7.33, dann ist auch A k eine obere Hessenberg-Matrix. Dahmen-Reusken Kapitel 7 47

50 Aufgrund dieses Ergebnisses ergibt sich als zweiter Vorteil der Transformation auf Hessenberggestalt eine starke Reduktion des Rechenaufwandes: Bemerkung Dadurch, daß man beim QR-Algorithmus in einer Vorbearbeitungsphase die Matrix auf obere Hessenbergform bringt, braucht man nur die QR-Zerlegung einer Hessenberg-Matrix A k 1 zu berechnen. Falls man dazu Givens-Rotationen verwendet, ist der Aufwand für die Berechnung A k 1 =: QR, A k := RQ nur O(n 2 ) Operationen. Falls A symmetrisch ist, ist dieser Aufwand nur O(n) Operationen. Dahmen-Reusken Kapitel 7 48

51 Wegen der oberen Hessenberggestalt der Matrizen A k zeigt das Konvergenzverhalten der Subdiagonalelemente a (k) i+1,i 0 für k (i = 1,2,... n 1) gerade die Konvergenzgeschwindigkeit. Wir betrachten die Matrix A = A 0 = Die Matrizen A k, k 1 haben dann alle eine obere Hessenberg-Gestalt. In Abb.7.2 wird die Größe der Einträge a (k) i+1,i (i = 1,2,3,4) für k = 0,1,2,...,20 dargestellt. Für k = 20 ergibt sich das Resultat: σ(a) = σ(a 20 ) {14.15, 9.53, 5.16, 1.50, 0.34}. Dahmen-Reusken Kapitel 7 49

52 Abbildung 7.2. : a (k) 5,4, : a (k) 4,3, : a (k) 3,2, + : a (k) 2, k a (k) 2,1 a (k) 4,3 c 1 (0.67) k c 1 λ 2 c 3 (0.29) k c 3 λ 4 k, λ 1 k, λ 3 a (k) 3,2 a (k) 5,4 c 2 (0.54) k c 2 λ 3 c 4 (0.22) k c 5 λ 5 k, λ 2 k. λ 4 Dahmen-Reusken Kapitel 7 50

53 QR-Verfahren mit Sprektalverschiebung Angenommen, wir hätten eine Annäherung µ λ i eines Eigenwertes λ i der Matrix A zur Verfügung, so daß µ λ i µ λ j für alle j i Seien τ 1 > τ 2 >... > τ n > 0 die Eigenwerte der Matrix A µi, dann ist τ n = λ i µ und τ n τ n 1 1. Algorithmus 7.40 (QR-Algorithmus + Spektralverschiebung). Gegeben: eine nicht reduzierbare Hessenberg-Matrix A R n n. A 0 := A. Für k = 1,2,...: Bestimme µ k 1 R. A k 1 µ k 1 I =: QR (QR-Zerlegung von A k 1 µ k 1 I). A k := RQ + µ k 1 I Dahmen-Reusken Kapitel 7 51

54 Eine geeignete Wahl für den Verschiebungsparameter: µ k 1 = a (k 1) n,n Mit dieser Spektralverschiebung wird das Subdiagonalelement a (k) n,n 1 sehr rasch gegen 0 streben. Im allgemeinen ist die Konvergenzgeschwindigkeit sogar quadratisch. A k = λ i  λ i Der QR-Algorithmus kann dann mit der Matrix  fortgesetzt werden.., Dahmen-Reusken Kapitel 7 52

55 Beispiel Wir betrachten die Matrix A aus Beispiel 7.39 und wenden den QR- Algorithmus 7.40 an, wobei µ k 1 wie oben genommen wird. Sobald das Subdiagonalelement a (k) a 5,4 die Bedingung (k) 5,4 < erfüllt, wird nur noch die 4 4 Matrix links oben weiter bearbeitet. usw. Für k = 17 ergibt sich A 17 = e e e e Dahmen-Reusken Kapitel 7 53

56 Abbildung 7.3. : a (k) 5,4, : a (k) 4,3, : a (k) 3,2, + : a (k) 2, k Dahmen-Reusken Kapitel 7 54