Vorlesung, 26. Mai 2011, Inhalt. Eigenwerte und Eigenvektoren. Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Vorlesung, 26. Mai 2011, Inhalt Eigenwerte und Eigenvektoren Gewöhnliche Differentialgleichungen 1

2 Eigenwerte und Eigenvektoren Es sei A eine n n-matrix, x ein vom Nullvektor verschiedener Vektor und λ ein Skalar. Erfüllen A, λ und x 0 die Beziehung Ax = λx, so nennt man λ Eigenwert von A und x Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Anwendungen: Schwingungen, Hauptträgheitsachsen starrer Körper, Spannungstensor, Stabilitätstheorie, Hauptkomponentenanalyse, Quantenmechanik... 2

3 Eigenwerte und Eigenvektoren, anschaulich Der Hauptberuf einer Matrix ist, Vektoren zu multiplizieren! m n- Matrix beschreibt allgemein lineare Abbildung R n R m y = Ax: Matrix, angewandt auf Vektor x, gibt neuen Vektor y. Der zeigt normalerweise in andere Richtung, hat andere Länge und eventuell sogar andere Dimension. Jede Matrix hat aber ganz spezielle Eigenvektoren. Für sie ändert sich bei Multiplikation nur die Länge, aber die Richtung bleibt gleich (oder entgegengesetzt). siehe Matlab-Demo EIGSHOW! 3

4 Beispiel: Erreichbarkeit in einem Netzwerk Ein Netzwerk (Verkehrsverbindungen, verlinkte Seiten im Internet, soziales Netz..., mathematisch: ein Graph) lässt sich durch seine Adjazenzmatrix beschreiben A = Welcher Knoten ist am besten erreichbar? Internet: welche Seite listet Google als erste? 4

5 Beispiel: Erreichbarkeit in einem Netzwerk Eigenwertaufgabe Ax = λx Der Eigenvektor x zum größtem Eigenwert λ liefert Bewertung! x =

6 Beispiel: Schwingungen der frei hängenden Kette Das Eigenwertproblem A x = lω2 x beschreibt die Schwingungsformen einer (idealisierten) n-gliedrigen freihängenden Kette (Bild: erste und zweite ng Oberschwingung) 1 1 A = n 0 1 n 2n Schwingungen (Saiten, Membrane, Balken, Platten, Schall,...) führen typischerweise zu Eigenwertaufgaben. 6

7 Methoden Nullstellen im charakteristische Polynom bestimmen (klassisch, ineffizient!) Vektoriteration (langsam!), inverse Iteration QR-Verfahren, Jacobi-Methode (Standard) Lanczos-Verfahren (schwach besetzte Matrix) 7

8 MATLAB-Befehle eig und eigs: Beispiele d = eig(a) liefert Vektor von Eigenwerten [V,D] = eig(a) Spalten von V sind Eigenvektoren, Diagonalelemente von D sind Eigenwerte. d = eigs(a), d = eigs(a) analoge Befehle für schwach besetzte Matrizen. Liefern die sechs betragsgrößten Eigenwerte und zugeh. Eigenvektoren. 8

9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wichtige Feststellungen zur Eigenwertaufgabe Ax = λx: Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(a λi) Eine n n-matrix hat n reelle oder komplexe Eigenwerte (bei entsprechender Zählung) Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind immer reell. Ew. λ von A gilt: λ+s Ew. von von A+sI (Verschiebung um s) 1/λ ist Ew. von A 1. X 1 AX und A haben die gleichen Eigenwerte (Ähnlichkeitstransformation). Symmetrische Matrizen sind durch orthogonale Transformation diagonalisierbar, A = QDQ T. 9

10 Vektoriteration bestimmt den betragsgrößten Eigenwert Iterationsverfahren nach Richard von Mises und Hilda Pollaczek-Geiringer Gegeben eine n n-matrix A, ein Startvektor x (0) 0 und ein fix gewähltes i {1,...,n} Iteriere für k = 1,2,... berechne y (k) = Ax (k 1) setze λ (k) = y (k) i (i-te Komponente von y (k) ) setze x (k) = y (k) /λ (k) (Skalierung) Falls ein reeller Eigenwert betragsmäßig größer ist als alle anderen Eigenwerte und ein zugehöriger Eigenvektor in Komponente i ungleich 0 ist, konvergieren die λ (k) und die x (k). Varianten dieses Verfahrens verwenden unterschiedliche Skalierungsvorschriften. 10

11 Vektoriteration mit Inverser betragskleinster Eigenwert Inverse Iteration mit Verschiebung beliebige Eigenwerte Subtraktion von si verschiebt Eigenwerte λ von A zu λ s. Dadurch wird jener Eigenwert, der s am nächsten liegt, zum betragskleinsten von A si. Iteriere für k = 1,2,... berechne y (k) als Lösung von (A si)y (k) = x (k 1) setze µ (k) = y (k) i (i-te Komponente von y (k) ) setze x (k) = y (k) /µ (k) (Skalierung) Die Werte s+1/µ (k) konvergieren gegen den am nächsten bei s liegenden Eigenwert von A, die Vektoren x (k) zu einem entsprechenden Eigenvektor. 11

12 Das QR-Verfahren bestimmt alle Eigenwerte einer Matrix A durch eine Folge orthogonaler Transformationen Iteriere bis zur Konvergenz berechne QR-Zerlegung A = Q R setze A = R Q (Ähnlichkeitstransform. A Q T A Q) Das Verfahren konvergiert (unter gew. Voraussetzungen und u.u. sehr langsam) zu einer Matrix in oberer Dreiecksform. Deren Hauptdiagonale enthält die Eigenwerte. Für den praktischen Einsatz wird das Verfahren durch gezielte Verschiebungen der Art à = A+sI beschleunigt. 12

13 Explizite gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit Anfangsbedingung Gesucht ist eine Funktion y(x), welche erfüllt y = f(x,y) y(x 0 ) = y 0 Differentialgleichung Anfangsbedingung Wenn f in x stetig ist und einer Lipschitzbedingung genügt, dann existiert eine eindeutige Lösung in der Umgebung des Anfangspunktes x 0. 13

14 Differentialgleichung gibt Richtungsfeld vor 4 3 y = xy/ Drei Lösungen zu verschiedenen Anfangsbedingungen 0 sind eingetragen

15 Eulersches Polygonzugverfahren 4 Für die Differentialgleichung und Anfangsbedingung y = xy/4 1 y(0) = sind die exakte Lösung sowie 0 drei Näherungen mit Schrittweiten h = 1; 1 2 ; 1 4 eingetragen

16 Einschrittverfahren: Ablaufschema Wähle Schrittweite h und maximale Schrittzahl N; setze x 0 und y 0 laut Anfangsbedingung; für i = 0,1,...,N x i+1 = x i +h ; y i+1 = y i +hf(x i,y i,h). Die Einschrittverfahren unterscheiden sich in der Wahl der Fortschreitungsrichtung F Euler-Verfahren: F(x,y,h) = f(x,y), Modifiziertes Euler-Verfahren: F(x,y,h) = f ( x+ h 2,y + h 2 f(x,y)) 16

17 Modifiziertes Euler-Verfahren Fortschreitungsrichtung F(x, y, h) Verfahren von Heun y m +hy m y m + _h y m 2 y m y m+1 y m y m+1 x m f _ x m + h 2 F(x,y,h) = (x+ h2,y + h2 ) f(x,y) x m+1 x m F(x,y,h) = 1 2 (k 1 +k 2 ) mit x m+1 k 1 = f(x,y) k 2 = f(x+h,y +hf(x,y)), 17

18 Fortschreitungsrichtung F(x, y, h) beim klassischen Verfahren von Runge-Kutta mit F(x,y,h) = 1 6 (k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4 ) k 1 = f(x,y) ( k 2 = f x+ h 2,y + h 2 k 1 ( k 3 = f x+ h 2,y + h 2 k 2 k 4 = f(x+h,y +hk 3 ). ) ) 18

19 Lokaler Diskretisierungsfehler d(x m,y m,h) Unterschied zwischen Fortschreitungsrichtung F eines Einschrittverfahrens und exakte Richtung D. F y m+1 d(x m,y m,h) = F(x m,y m,h) D(x m,y m,h) y m x m D h y m+1 x m+1 19

20 Globaler Diskretisierungsfehler Ist Y die exakte Lösung der Anfangswertaufgabe y = f(x,y), y(x 0 ) = y 0, und y m die Näherungslösung an der Stelle x m, so nennt man die Differenz e(x m,h) = y m Y(x m ) den globalen Diskretisierungsfehler. 20

21 Ordnung eines Einschrittverfahrens Der lokale Diskretisierungsfehler wird für h 0 immer kleiner. Wie rasch? Die größte natürliche Zahl p mit heißt Ordnung des Verfahrens. d(x m,y m,h) = O(h p ) Interpretation Ordnung 2 bedeutet, der Fehler nimmt quadratisch in h ab: halbe Schrittweite viertelt den Fehler 21

22 Konvergenz des Einschrittverfahrens Ist der lokale Diskretisierungsfehler von der Ordnung p 1 und genügt F einer Lipschitzbedingung, so geht auch der globale Diskretisierungsfehler mit dieser Ordnung nach Null: Das Einschrittverfahren ist konvergent von der Ordnung p. 22

23 Numerische Lösung: Wichtige Einschrittverfahren sind Eulersche Polygonzugverfahren (weil es das einfachste ist: Verfahren 1. Ordnung) Verfahren von Heun, modifiziertes Euler-Verfahren (weil sie genauer sind: Verfahren 2. Ordnung) Klassische Runge-Kutta-Verfahren (weil man damit in der Praxis oft rechnet; Verfahren 4. Ordnung). RK-Verfahren mit der Dormand-Prince-Formel (weil Matlabs ode45 damit rechnet, Ordnung 5 mit Kontrollrechnung 4. Ordnung). 23

24 Moderne Runge-Kutta-Verfahren Klassisches RK-Verfahren wertet f(x, y) viermal pro Schritt aus: f(x,y), f ( x+ h 2,y + h ) 2 k 1, f ( x+ h 2,y + h ) 2 k 2, f(x+h,y +hk 3 ). Neuere Verfahren werten f an speziell günstigen Zwischenstellen aus und liefern gleichzeitig zwei Werte mit unterschiedlicher Fehlerordnung (Differenz Fehler). Das Verfahren RK5(4) von Dorman und Prince (MATLAB: ode45) wertet f sechsmal aus und liefert Ergebnis mit Fehlerordnung 5, verwendet Ergebnis mit Fehlerordnung 4 zur Differenzbildung und Fehlerabschätzung 24