a) Die Householder-Transformation, welche den ersten Spaltenvektor a 1 = der Matrix A auf , a 1 αe A = QR, A k =: Q k R k, A k+1 := R k Q k.

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1 Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Prof. Dr. W. Reichel Sommersemester MODULPRÜFUNG Numerische Methoden (Höhere Mathematik IV für die Fachrichtung Meteorologie bzw. Numerische Mathematik für die Fachrichtung Elektroingenieurwesen) Lösungsvorschläge Aufgabe ( ) 4 a) Die Householder-Transformation, welche den ersten Spaltenvektor a = der Matrix A auf ( ) ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors e = abbildet, berechnet sich folgendermaßen: 0 Wir setzen α := a sgn(a ) = sgn 4 = 5. ( ) ( ) 9 Dann ist a αe = = = 0. Setzt man nun w := a αe = ( ), a αe 0 so ist die Householder-Transformation gegeben durch ( ) H := E ww H 0 = ( ) Wählt man Q := H und so gilt wegen H = E R := HA = 5 ( ) ( ) A = QR, = 5 = 5 ( ) 4. 4 ( ) 5 4, 0 7 wobei R eine obere Dreiecksmatrix und Q eine unitäre Matrix ist. b) Es sei A R n n eine reguläre Matrix. Setze A := A. Iteration: Für k =,,... zerlege A k : A k =: Q k R k, wobei Q k unitär und R k obere Dreiecksmatrix ist, und berechne A k+ := R k Q k. Breche die Iteration ab, wenn die Komponenten von A k+ unterhalb der Diagonalen dem Betrag nach kleiner als eine gegebene Fehlerschranke sind. Konvergiert das QR-Verfahren, so stehen die Approximationen an die Eigenwerte von A im k-ten Schritt auf der Diagonalen von A k.

2 Aufgabe Wir bestimmen den maximalen Wert von Z(x, x, x ) mit Hilfe des Simplex-Algorithmus. Um das gegebene Optimierungsproblem in ein Standardmodell zu überführen, substituieren wir x = x. Außerdem multiplizieren wir die zweite Nebenbedingung mit ( ), damit das Standardmodell in Normalform vorliegt. Dann ist das gegebene Problem äquivalent zu Z(x, x, x ) = 4x + x + x mit den Nebenbedingungen x + x + 4x x + x + 7x 8 x 0, x 0, x 0. Das Ausgangstableau des Simplex-Algorithmus lautet also x x x y y y 4 0 y Da 4 das betragsmäßig größte negative Element der Zielfunktionszeile ist und = < 8 = 4 ist, ist a = das Pivotelement im ersten Schritt. Durch Austausch der Basisvariable y gegen die Nicht-Basisvariable x erhält man als neues Tableau x x x y y x 0 y Hier ist einziges negatives Element der Zielfunktionszeile. Da = < 6 = 6 ist, ist a = das neue Pivotelement. Der Austausch der Variable x gegen x führt auf x x x y y x 4 0 y In diesem Tableau stehen in der Zielfunktionszeile nur nichtnegative Elemente, d.h. der Algorithmus endet hier. Wir lesen ab: Der optimale Wert des gegebenen Problems wird für x = 0, x =, x = 0 erreicht. Wir rücksubstituieren x und erhalten als maximalen Wert der Zielfunktion Z(x, x, x ) = Z(0,, ) = = 4. Aufgabe a) Es sei α. Dann ist det(a α ) = α + = α > 0 und A α = ( ) α. α

3 Die Spaltensummennorm von A α bzw. A α ist wegen α 0 gleich A α = max{ +, + α } = max{, + α } = max{, α}, A α = α max{ α +, + } = max{α, }. α Folglich ist die Kondition von A α bzgl. der. -Norm gegeben durch b) Ist α, so gilt cond (A α ) = A α A α = α (max{α, }). cond (A α ) = α (max{α, }) = α α = α. Gilt andererseits α, so ist Somit gilt für alle α cond (A α ) = α (max{α, }) = α = 4 α 4 =. das Minimum wird für α 0 = angenommen. = cond (A ) cond (A α ), Aufgabe 4 Wir setzen f : R R, f(x) := x cos x. Es ist x genau dann eine Lösung der Gleichung x = cos x, wenn f(x ) = 0 ist. a) Die Funktion f ist auf R stetig, außerdem ist f(0) = und f() = cos > 0. Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein x (0, ) mit f(x ) = 0. b) Die Funktion f ist auf R differenzierbar mit f (x) = + sin x, x R. Ist x [0, ], so ist f (x) 0. Somit lässt sich das Newton-Verfahren zur Berechnung einer Näherung an x bei gegebenem Startwert x 0 [0, ] formulieren: Die k + -te Iterierte an x berechnet sich durch x k+ = x k f(x k) f (x k ) = x k x k cos x k + sin x k, k = 0,,,.... Dabei werde die Konvergenz des Verfahrens gegen die Lösung x vorausgesetzt. Für x 0 ergibt sich x = x 0 x 0 cos x 0 = 0 0 cos 0 + sin x 0 + sin 0 =. c) In Pseudo-Code kann das Verfahren folgendermaßen formuliert werden: input x0 x=x0; i=0; while (abs(x-cos(x))>=0e-4 and i<=00) { } x = x-(x-cos(x))/(+sin(x)); i = i+; output x

4 Aufgabe 5 a) Wir setzen f : [ π, π] R, f(x) = (x + ) cos x. Mit der Simpson-Regel erhalten wir die folgende Näherung des Integrals: π π (x + ) cos x dx = π π f(x) dx π ( π) 6 ( f( π) + 4f ( π + π ) ) + f(π) = π (f( π) + 4f(0) + f(π)) = π ( (π + ) cos( π) + 4 cos(0) + (π + ) cos(π) ) = π( (π + )) b) Damit die gegebene Quadraturformel für alle Polynome vom Grad exakt ist, muss sie insbesondere für die Monome f(x) = und f(x) = x exakt sein. Setzt man diese in die Quadraturformel ein, so erhält man die Gleichungen = ( + a + + ) 8 = 8 (0 + a + x + ). Aus der ersten Gleichung folgt a =. Setzt man dies in die zweite Gleichung ein, so folgt hieraus x =. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Quadraturformel für alle Polynome vom Grad exakt ist, wenn sie nur für die Monome f(x) = und f(x) = x exakt ist. Aufgabe 6 Wir setzen f(x, y) := xy +. a) Das Eulersche Polygonzugverfahren für das Anfangswertproblem lautet y (x) = xy(x) +, y(0) = x n := n h, n 0, y 0 := y(x 0 ) =, y n+ := y n + h f(x n, y n ), n 0. Ist die Schrittweite h =, so ist y eine Näherung an y() = y( ) = y(x ). Wir berechnen die ersten drei Iterierten. Es ist y = y 0 + hf(x 0, y 0 ) = + f(0, ) = 4, y = y + hf(x, y ) = 4 + ( f, 4 ) = 4 7, y = y + hf(x, y ) = ( f, 4 ) =

5 b) Das Verfahren von Heun für das gegebene Anfangswertproblem lautet x n := n h, n 0, y 0 := y(x 0 ) =, y n+ := y n + h (f(x n, y n ) + f(x n + h, y n + hf(x n, y n ))), n 0. Ist die Schrittweite h =, so ist y eine Näherung an y() = y( ) = y(x ). Wir berechnen die ersten zwei Iterierten. Es ist y = y 0 + h (f(x 0, y 0 ) + f(x 0 + h, y 0 + hf(x 0, y 0 ))) = + ( ( f(0, ) + f 4, )) = + 4 ( + 4 ) = 6, y = y + h (f(x, y ) + f(x + h, y + hf(x, y ))) = 6 + ( ( f 4, ) ( + f, 95 )) 6 64 = 6 + ( 4 ) =