Kurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen

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1 Kurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen Wintersemester 2012/201 Zwischentest Teil 1: 1. Was bedeuten die Bezeichnungen O(h) und o(h)? (Definition) (siehe Skript!) 2. Wozu dient die Spaltenpivotierung beim Gaußschen Eliminationsverfahren? Sicherstellen, dass nicht durch Null geteilt wird; Algorithmus stabilisieren.. Man gebe A 1 sowie A für die Matrix an. A 1 = 12, A = Welche Kondition hat eine reguläre Diagonalmatrix bzgl. einer natürlichen Matrizennorm? Gilt das Resultat für beliebige Normen auf R n n bzw. für beliebige Matrizennormen? Sei die zugehörige Vektornorm, dann gilt für die Konditionszahl κ(a) einer regulären Matrix A R n n per Definition zunächst κ(a) := A A 1. Dabei kann man schreiben A = sup Ax und A 1 = sup A 1 x. Letzteres lässt sich aufgrund der Eigenschaften natürlicher Matrixnormen durch entsprechende Skalierung/Substitution schreiben als A 1 = sup y = ( inf Ax ) 1. Ay =1 Also folgt im betrachten Fall κ(a) = sup Ax inf max A i,i Ax = i=1,...,n min A i,i = max{ λ : λ ist Eigenwert von A} min{ λ : λ ist Eigenwert von A}. i=1,...,n Dieses Resultat gilt nur für natürliche Matrizennormen. Als Gegenbeispiel betrachte die Norm in Aufgabenteil Wird die Norm A 2 = n a ij 2 von einer Vektornorm erzeugt? (Kurze Begründung) i, Nein: Betrachte dazu die n-dimensionale Einheitsmatrix I n, dann gilt einerseits nach obiger Definition I n = n. Andererseits müsste aber I n = sup{ I n x = x : x = 1} = 1 gelten. 6. Welche Gestalt hat das charakteristische Polynom einer Matrix mit Spetralradius 0? Es muss für das charakteristische Polynom χ gelten: χ(λ) = ( 1) n λ n. 1

2 7. Was versteht man unter einer LR-Zerlegung von A? Zerlegung der Matrix A über elementare Umformungen in eine untere Dreiecksmatrix L mit lauter Einsen auf der Diagonalen und eine obere Dreiecksmatrix R, so dass ggfs. mit einer Permutationsmatrix P gilt: PA = LR. 8. Durch wie viele Knoten ist die Lösung der Lagrangeschen Interpolationsaufgabe für Polynome in P 7 eindeutig bestimmt? Durch 8 Knoten! 9. Welche Vorgaben an den Intervallenden erlauben die eindeutige Berechnung eines interpolierenden kubischen Splines? Vorgabe der Werte der zweiten Ableitungen des kubischen Splines an den Intervallenden. 10. Welche Genauigkeit lässt sich (für genügend glatte Funktionen) mit Extrapolationsschritten beim Rombergschen Integrationsverfahren erzielen? Teil 2: Gemessen in Termen der Schrittweite h > 0 ergibt sich für das Restglied ein O(h 2m+2 )-Term, d.h. der Fehler ist hier aus O(h 8 ). Es gibt zu jeder der 5 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit "wahr" bzw. "falsch" zu kennzeichnen. Es müssen mindestens zwei Fragen mit wahr oder falsch gekennzeichnet werden. Sonst wird die Aufgabe als nicht bearbeitet gewertet, also mit 0 Punkten. Das ist auch der Fall, wenn eine Teilaufgabe falsch ist. Ansonsten gibt es für jede richtige Teilaufgabe 0.5 Punkte. Beantworten Sie mindestens zwei Fragen mit wahr oder falsch! 1. (a) Die Funktion f (x 1, x 2 ) = cos(x 1 )e x 2 ist in der Nähe von (x 1, x 2 ) = ( Π 2, 1) schlecht konditioniert. Wahr, denn cos( π 2 ) = 0 (rel. Konditionszahlen bilden)! (b) Die Konditionszahl einer Funktion gibt an, wie stark sich Rundungsfehler im verwendeten Algorithmus zur Auswertung der Funktion verstärken. Falsch: Über die (relative) Konditionszahl kann man die Anfälligkeit eines numerischen Algorithmus bez. allgemeiner relativer Fehler, die sich als Störungen der Daten bemerkbar machen, messen. (c) Die Funktion f (x, y) = Falsch: Auslöschung! x + y x 2 ist gut konditioniert für alle x > 0, y < 0. + y2 (d) und + sind Operationen, die für alle Eingangsdaten ungleich Null gut konditioniert sind. Falsch: Die Addition ist bekanntlich schlecht konditioniert! 2. Es sei A R n n beliebig aber regulär. (a) Sei κ(a) := cond(a) die Konditionszahl der Matrix A. Es gilt κ(a 2 ) = κ(a) 2. ( ) 1 1 Gegenbeispiel: A =

3 (b) Sei A symmetrisch. Dann gilt A = A 1. Richtig, denn es gilt A = A T. ( 1 n (c) Sei D z die Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen definiert durch d i = a ij ). Für die Skalierung mit D z gilt: κ (D z A) κ (DA) für jede reguläre Diagonalmatrix D. Richtig: Es gilt D z A = 1, denn n (D z A) i,j = 1 für alle i {1,..., n}, und damit κ (D z A) = (D z A) 1. Sei D eine beliebige Diagonalmatrix und o.b.d.a. gelte für die Matrix A bereits n A i,j = 1 für alle i (ansonsten Umskalierung!). Es folgt dann Weiter gilt n 1 i n DA = sup (DA) i,j = sup 1 i n { D i n (DA) 1 A = 1 D 1 x sup x R x n sup x R n A i,j } = sup D i = D. 1 i n A = 1 x sup x R Dx n A 1 x D x = D 1 A 1. Und damit schließlich κ (DA) = DA (DA) 1 A 1 = κ (A). (d) Zu A existiert eine Zerlegung A = LR, mit einer normierten unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix R. Falsch: Ohne Pivotierung kommt man i.a. nicht aus (bei den elementaren Umformungen potentielles Teilen durch Null vermeiden!). Es gilt aber die entsprechende Aussage PA = LR mit einer passenden Permutationsmatrix P.. Es sei Φ(x) = e x2. Wir betrachten das Fixpunktproblem: Bestimme x R so, dass Φ(x ) = x. (a) Es existiert eine eindeutige Lösung x. Richtig: Rückführung auf das äquivalente Nullstellenproblem x Φ(x) = 0, das offenbar eindeutig lösbar ist mit einer Lösung x = 0. (b) Es sei x 0 [0, 2] gegeben. Die Fixpunktiteration x k+1 = Φ(x k ), k 0, hat die Konvergenzordnung 1. Richtig: Es gilt 0 < Φ (x) = 2xe 2x2 < 1 für x (0, 2]. (c) Die Fixpunktiteration x k+1 = Φ(x k ), k 0 ist global konvergent. Richtig: Es existiert offenbar zu jedem Startpunkt ein M N, so dass Φ(x k ) (0, 1) [0, 2] für alle k > M. Die Aussage folgt dann mit Teil (b). (d) Sei x 0 > 1 gegeben und x k+1 = Φ(x k ), k 0. Dann gilt: x k+1 x k für alle k > 0. Falsch: Setze z.b. x 0 = 2.

4 4. Es sei p das Lagrange-Interpolationspolynom zu den Daten (x 0, f (x 0 )),..., (x n, f (x n )) mit x 0 < < x n. Es seien δ n der führende Koeffizient dieses Polynoms und f [x 0,..., x n ] die dividierte Differenz der Ordnung n von f. (a) Es gilt: δ n = f [x 0,..., x n ]. Richtig: Newtonsche Darstellung plus Eindeutigkeit der Lösung der Lagrangeschen Interpolationsaufgabe. (b) Es gilt: p (n) (x) = n!δ n für alle x R. Richtig: Nutzung von Aufgabenteil (a). (c) f [x 0, x 1 ] = f (x 1 ) f (x 0 ). I.d.R. falsch: siehe Definition der Dividierten Differenzen! (d) Mit f (x) := 2x 4 gilt f [x 0,..., x n ] = 2 für alle n 4. Falsch: Es wäre z.b. mit n = 5 f [x 0,..., x n ] = 0! 5. Es sei f C [a, b]. Das Integral I( f ) = b a f (x)dx soll numerisch approximiert werden durch eine Quadraturformel I (m) ( f ) = m ω j f (x j ), mit a x 0 < < x m b. j=0 (a) Bei Gauß-Quadraturformeln hängen die Gewichte ω j von der Funktion f ab. Falsch! (b) Newton-Cotes-Formeln basieren auf der analytischen Integration eines Lagrangeschen Interpolationspolynoms zu f mit äquidistanten Stützstellen. Richtig! (c) Sei m = 2. Die Newton-Cotes-Formeln hat dann Gewichte ω 0 = ω 1 = ω 2 = 1. Falsch! (d) Bei der Gauß-Quadratur gilt: I(p) = I (m) (p) für alle Polynome p vom Grade 2m + 1. Richtig! (Für genauere Begründungen noch einmal im Skript nachsehen!) 4

5 Teil 1.) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = , und b = Jede Komponente von b sei mit einem relativen Messfehler von ε = behaftet. Die Matrix A sei ungestört. Mit welchem relativen Fehler in x (bzgl. ) müssen Sie rechnen? Lösung: Bezüglich gilt (siehe Skript) δx x κ (A) 1 κ (A) δa A ( δb b + δa ). A Mit δb = , δa b A berechnet werden) gilt = 0, A 1 1, 702 (hierzu muss zunächst die Inverse A 1 κ (A) 170, 2 und δx x 0, Also ist mit einem relativen Fehler von etwa 27, 4% zu rechnen. 5

6 2.) Gesucht ist eine Näherung des Integrals I = 1 2 sin ( ) πt dt. Berechnen Sie mit der summierten Trapezregel zum obigen Integral eine Näherung, die vom exakten Integral um höchstens abweicht. Vergleichen Sie den genäherten mit dem exakten Wert. (Falls Sie kein geeignetes h durch die Fehlerabschätzung zur summierten Trapezregel bestimmen können, wählen Sie h = 1 2.) Lösung: Der exakte Wert des Integrals ist I = ( ) πt π cos 1 = [ 1 2 π ] = Allgemein gilt für passendes f : [a, b] R und Schrittweite h = b a N Stützstellen) im Falle der summierten Trapezregel ( ) I (1) f (a) + f (b) h ( f ) = h + f (a + ih) 2 N 1 i=1 (N + 1=Anzahl der die Fehlerabschätzung I I (1) h ( f ) b a 12 h2 max f (x). x [a,b] Hier ist b a = 1 ( 2) = 1 und f (x) ( π ) 2 für alle x R. Daraus erhalten wir N 2 bzw. h 1/2 (Quadraturfehler per Vorgabe durch beschränkt). Mit der Wahl h = 1/2 folgt dann I (1) 1/2 ( f ) = sin( π 2π ) sin( ) 1 ( π 4 2 sin 6 ) + = = Der tatsächliche Fehler I I (1) 1/2 in diesem Falle ist somit kleiner als (< 0.025). 6